Файл: Задание 1 Даны комплексные числа Найти z в алгебраической форме. Упростим дробное выражение, умножив и числитель, и знаменатель на сопряженное знаменателя где Упростим комплексное число Возводим в квадрат по формуле где Ответ Задание 2.docx

Скачать файл (0,05Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.02.2024

Просмотров: 16

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Это уравнение вида:

Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта.

Корнями квадратного уравнения будут:

y₁ =

y₂ =

D = = это дискриминант. Т. к.

то,

Уравнение имеет два корня:

y₁ =

y₂ =

Задание 6

Решить линейное дифференциальное уравнение:

Дано уравнение:

Это дифференциальное уравнение имеет вид:

где

Линейное однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка:

Для начала решаем линейное однородное уравнение:

с разделяющимися переменными. Данное уравнение решается по шагам:

– из этого уравнения получаем

при y не равным 0

Или,

Поэтому,

Из выражения видно, что надо найти интеграл:

Т.к.

то

Значит решение однородного линейного уравнения:

что соответствует решению с любой константой С, не равной нулю:

Таким образом мы нашли решение соответствующего однородного уравнения

Теперь надо решить наше неоднородное уравнение:

Используем метод вариации произвольной постоянной. Теперь считаем, что С – функция от х:

И подставим в наше исходное уравнение. Воспользовавшись правилами:

дифференцирования произведения;
производной сложной функции,

находим, что

Подставим Q(x) и P(x) в это уравнение.

Получим простейшее дифференциальное уравнение для C(x):

Значит, C(x)

подставим C(x) в

и получим окончательный ответ для y(x):

Ответ:

Задание 8

Решить дифференциальное уравнение:

a)

Это дифференциальное уравнение имеет вид:

Где

Это дифференциалньое уравнение 2-го порядка. Сначала мы найдем корни характеристического уравнения:

В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:

Корни этого уравнения:

Т.к. характеристическое уравнение имеет два корня, то решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:

Получаем окончательный ответ:

б)

Это дифференциальное уравнение, которое имеет вид:

Где

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

Сперва решаем линейное однородное уравнение:

Ищем корни характеристического уравнения:

В нашем случае уравнение будет иметь вид:

Корни этого уравнения:

Т.к. характеристическое уравнение имеет два корня, то решение соотвтетсующего диффференциального уравнения имеет вид:

По итогу получаем:

в)

Это дифференциальное уравнение имеет вид:

Где

Это дифференциалньое уравнение 2-го порядка. Сначала мы найдем корни характеристического уравнения:

В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:

Корни этого уравнения:

Т.к. характеристическое уравнение имеет один корень, то решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:

Подставляем: k₁ = 4

Получаем окончательный ответ:

Задание 9

Решить дифференциальное уравнение:

Это дифференциальное уравнение имеет вид:

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Сначала отыскиваем корни характеристического уравнения

В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:

Простое квадратное уравнение. Корень этого уравнения:

Т.к. корень уравнения один, то решения дифференциального уравнения имеет вид:

Подставляем:

Теперь надо решить наше неоднородное уравнение

Используем метод вариации произвольной постоянной. Считаем, что С₁ и С₂ – это функции от х.

Общим решением будет:

где С₁(х) и С₂(х), согласно методу вариации постоянных найдем из системы:

где

y₁(x) и y₂(x) – линейно независимые частные решения ЛОДУ,

А свободный член

Значит, система примет вид:

или

Решаем эту систему:

– это простые дифференциальные уравнения, теперь решаем их:

С₁(х) =

С₂(х) =

или

Подставляем найденные С₁(х) и C₂(x) в

y(x) = xC₂(x)e^x + C₁(x)e^x

Получаем окончательный ответ:

Задание 10

Решить дифференциальное уравнение:

Это дифференциальное уравнение, которое имеет вид:

Где

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

Для начала решим подобное линейное однородное уравнение:

Ищем корни характеристического уравнения:

Уравнение в нашем случае будет иметь вид:

– это простое квадратное уравнение, корнем этого уравнения будет являться =

Т.к. корень характеристического уравнения один, то решение соответствующего дифференциального уравнения будет иметь вид:

Теперь надо решить наше неоднородное уравнение:

Используем метод вариации произвольной постоянной. Считаем, что С1 и С2 – это функции от х.

Общим решением будет: y(x) = xC₂(x)e^-2^x + C₁(x)e^-2^x

Где С1(х) и С2(х) согласно методу вариации постоянных найдем из системы:

где y₁(x) и y₂(x) – линейно независимые частный решения ЛОДУ,