Файл: Решение а. Используем метод интегрирования частями б. Используем метод замены переменной.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.02.2024
Просмотров: 8
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
1. Найти неопределенный интеграл.
а).
; б). 
; в). 
; г). 
.Решение.
а). Используем метод интегрирования частями:
.б). Используем метод замены переменной:
.в). Используем метод интегрирования частями:
.г).
.Разложим последнее подынтегральное выражение на сумму простейших дробей, используя общий метод разложения.
.Освобождаемся от знаменателей:
; 
.Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х левой и правой части, получим:
; 
; 
; 
; 
.Итак,
;
.
2. Вычислить по формулам Ньютона-Лейбница определённый интеграл:
а).
; б). 
.Решение.
а). Найдем сначала соответствующий неопределённый интеграл, используя метод интегрирования частями:
Используя формулу Ньютона-Лейбница, получим:
.б).
.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
, 
, 
и 
Решение.
Сделаем схематический чертеж указанной фигуры, ограниченной гиперболой
или 
и прямыми , , :
Площадь фигуры (закрашенной на чертеже) будем искать по соответствующей формуле через определенный интеграл, и именно
, где 
– функция, график которой ограничивает фигуру сверху, 
– функция, график которой ограничивает фигуру снизу.Тогда, получим:
4. Найти полный дифференциал функции
.Решение.
Находим частные производные первого порядка:
;
.По соответствующей формуле запишем полный дифференциал функции:
.5. Исследовать функцию
на экстремумы.Решение.
Сначала найдем все частные производные первого порядка:
и 
. Приравнивая их к нулю, получаем систему уравнений:
; 
; 
; 
; 
.Решению системы уравнений соответствует одна стационарная точка:
.Найдем частные производные второго порядка указанной функции:
; 
; 
.Следовательно, вторые производные постоянные величины, т.е. в стационарной точке
они равны 
, 
, 
и вычисляем дискриминант 
.Дискриминант имеет положительное значение, следовательно, экстремум в точке
есть и, поскольку 
, то функция здесь имеет локальный минимум.Вычислим минимальное значение функции в точке
:
.
Следовательно, в точке
функция имеет минимум равный -67.6. Найти общее решение дифференциального уравнения
и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям 
при 
.Решение.
Для решения уравнения используем метод Бернулли.
Положим
; тогда 
. Подставив выражения 
и 
в исходное уравнение, получим:
или 
.Считая, что неизвестная функция
является произведением двух (также неизвестных) функций 
и 
, мы тем самым можем одну из этих функций выбрать произвольно. Поэтому приравняем нулю коэффициент при : 
.Разделяя переменные в полученном уравнении, имеем:
; 
;
; 
; 
.Снова в виду произвольности в выборе
мы можем не учитывать произвольную постоянную 
(точнее – можем приравнять её к нулю), т.е. 
Найденное значение
подставляем в уравнение :
;
;
; 
; 
; 
(здесь писать обязательно, иначе получится не общее, а частное решение).Тогда, окончательно получим:
– общее решение уравнения.Используя начальное условие, получим:
; 
; 
Следовательно,
– частное решение.7. а). Найти общее решение уравнения
и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям 
при .б). Найти общее решение уравнения
.Решение.
а). Имеем случай понижения порядка – отсутствует переменная у. Вводим замену
: 
.Заменяя
на 
, получим:
; 
;
;
.Возвращаясь к замене, получим:
; 
; 
;
;