ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.02.2024
Просмотров: 9
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Дифференциальные уравнения высших порядков
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
Метод вариации произвольных постоянных
Линейные неоднородные ДУ второго порядка с правой частью специального вида
1/16
Рассмотрим линейное неоднородное ДУ (ЛНДУ) второго порядка:
2/16
Уравнение:
Теорема 1
(1)
левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (1), называется соответствующим ему однородным уравнением.
(2)
Общим решением y уравнения (1) является сумма его произвольного частного решения y* и общего решения
y = C1y1+C2y2 , соответствующего ему однородного уравнения:
( о структуре общего решения ЛНДУ)
Частное решение у* уравнения (1) можно найти, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
3/16
Пусть
- общее решение уравнения (2)
Заменим в общем решении постоянные С1 и С2 на неизвестные функции С1(х), С2(х) :
Чтобы функция (3) была решением уравнения (1), необходимо чтобы функции С1(х), С2(х) удовлетворяли системе уравнений:
(3)
(4)
Определитель системы:
4/16
так как это определитель Вронского для фундаментальной системы частных решений уравнения (2).
Поэтому система (4) имеет единственное решение:
Интегрируя функции
находим С1(х), С2(х)
а затем по формуле (3) составляем частное решение уравнения (1).
5/16
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Найдем частное решение исходного уравнения:
Составим систему:
6/16
Решим систему методом Крамера:
7/16
Запишем частное решение уравнения:
Следовательно, общим решением уравнения будет:
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:
8/16
(5)
Согласно теореме 1, общее решение этого уравнения ищется в виде:
Для уравнений с постоянными коэффициентами существует более простой способ нахождения y*, если правая часть уравнения f(x) имеет так называемый специальный вид:
I
II
Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, заключается в следующем: по виду правой части
f(x) уравнения (5) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (5) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.
9/16
Правая часть имеет вид:
I
Многочлен n - ой степени
Действительное число
Уравнение (5) запишется в виде:
Частное решение ищем в виде:
где r – число, равное кратности α как корня характеристического уравнения;
записанный с неопределенными коэффициентами
- многочлен степени n,
10/16
| r | n | Y* |
| r = 0 (α не является корнем хар. уравнения: ) | 0 | |
| 1 | ||
| 2 | ||
| r = 1: | 0 | |
| 1 | ||
| 2 | ||
| r = 2: | 0 | |
| 1 | ||
| 2 |
11/16
Найти общее решение уравнения:
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Найдем частное решение исходного уравнения:
α = 0 не является корнем характеристического уравнения
Подставим
в исходное уравнение:
12/16
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:
Общее решение исходного уравнения:
13/16
Правая часть имеет вид:
Частное решение ищем в виде:
где r – число, равное кратности α + iβ как корня характеристического уравнения;
неопределенными коэффициентами, где l - наивысшая степень многочленов P и Q, то есть:
- многочлены степени l, записанные с
II
Многочлены степени n и m
Действительные числа
14/16
| r | l | Y* |
| r = 0 | 0 | |
| 1 | ||
| r = 1: | 0 | |
| 1 |
15/16
Найти общее решение уравнения:
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Найдем частное решение исходного уравнения:
Число
является корнем хар. уравнения, поэтому r = 1
= 36
= 0
16/16
Подставим
в исходное уравнение:
Приравняем коэффициенты при sin x и при cos x