Файл: Учебнометодическое пособие по подготовке и оформлению курсовой работы Проектирование цифровых систем автоматического управления для бакалавров по направлениям.pdf

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ
КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
Московский технический университет связи и информатики
Кафедра «Интеллектуальные системы в управлении и автоматизации»
Учебно-методическое пособие по подготовке и оформлению курсовой работы
Проектирование цифровых систем автоматического управления
для бакалавров по направлениям:
15.03.04 – Автоматизация технологических процессов и производств
27.03.04 – Управление в технических системах
Москва 2021 г.

2
Учебно-методическое пособие по подготовке и оформлению курсовой работы
Проектирование цифровых систем автоматического управления
Составитель:
Ларин А.И., к.т.н., доцент кафедры ИСУиА
Белов Н.В., ассистент кафедры ИСУиА

3
СОДЕРЖАНИЕ
1.
ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ КУРСОВОЙ РАБОТЫ ............................................. 5 2.
Теоретический материал для выполнения курсовой работы ............... 6 2.1.
Полезные сведения о дискретизации, теореме Котельникова, быстром преобразовании Фурье ................................................................................ 6 2.2.
Частота, круговая частота, период ................................................. 6 2.3.
Нюансы дискретизации. Теорема Котельникова .......................... 6 2.4.
Периодическое повторение спектра при дискретизации ............. 8 2.5.
Иллюстрация теоремы Котельникова ............................................ 9 2.6.
Дискретное преобразование Фурье .............................................. 11 3.
Простейшие присваивания и построение графиков в пакете
MATLAB 14 3.1.
Главное окно MATLAB ................................................................. 14 3.2.
Простейшие присваивания ............................................................ 14 3.3.
Построение графиков .................................................................... 15 4.
ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ ................................................ 19
Задание 1 ............................................................................................................ 19
Задание 2 ............................................................................................................ 19
Задание 3 ............................................................................................................ 20
Задание 4 ............................................................................................................ 20 5.
ТРЕБОВАНИЯ К СТРУКТУРЕ И СОДЕРЖАНИЮ КУРСОВОЙ
РАБОТЫ 22 6.
ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ КР ............................................... 23
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ ........ 23

4

5
1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
Курсовая работа является самостоятельной работой обучающихся по итогам освоения дисциплины «Проектирование цифровых систем автоматического управления», выполняется в соответствии с учебным планом, рабочей программой дисциплины и направлена на получение практических умений и навыков в соответствии с направлением и профилем подготовки.
Курсовая работа – это документ, представляющий собой законченную самостоятельную работу, которая содержит результаты, подтверждающие знания, умения и навыки, полученные при освоении дисциплины
«Проектирование цифровых систем автоматического управления».
Данная курсовая работа направлена на получение навыков применения дискретного преобразования Фурье.
Целью курсовой работы является закрепление и развитие теоретических знаний, практических умений и навыков, полученных студентами в ходе изучения дисциплин, связанных с практическим применением дискретного преобразования Фурье и теоремы Котельникова.
Задачами курсового проекта являются:
– закрепление теоретического материала по дисциплинам, связанным с применением пакета Matlab;
– приобретение умения формулировать и обосновывать актуальность темы, постановку задачи;
– закрепление и развитие навыков владения информационными технологиями, полученными в процессе выполнении практических и лабораторных работ по данной дисциплине;
– приобретение умения предлагать способы решения поставленных задач и реализовывать их;
– приобретение навыков анализа источников и литературы, используемой в процессе выполнения курсовой работы;
– приобретение умения сформулировать результаты выполненной работы и сделать научно-обоснованные рекомендации и выводы;
– приобретение и развитие навыков представления результатов выполненной самостоятельной работы и их последующей защиты.
В качестве программного обеспечения используются: среда разработки
Matlab, пакет имитационного моделирования Simulink.

6
2. Теоретический материал для выполнения курсовой работы
2.1. Полезные сведения о дискретизации, теореме Котельникова, быстром
преобразовании Фурье
Цифровая обработка сигналов рассматривает методы преобразования сигналов, улучшения качества сигналов, добавления к сигналам необходимых свойств. Чтобы познакомиться с этими методами, необходимо овладеть некоторыми базовыми понятиями и навыками. В данной курсовой работе вы получите необходимые сведения о практическом применении дискретного преобразования Фурье и теоремы Котельникова.
2.2. Частота, круговая частота, период
Понятия «частота дискретизации», «круговая частота дискретизации»,
«период дискретизации» (обычно говорят не период, а шаг) важно очень хорошо различать, иначе будут проблемы с построением графиков. Эти три понятия связаны следующей формулой:
????????
????????
=
????????
????????
????????
=
????????
????????
???????? ∗ ????????
где
????????
????????
– частота дискретизации,
????????
????????
– шаг дискретизации,
????????
????????
– круговая частота дискретизации.
При использовании понятий «частота» и «период» нужно отталкиваться от их определения, весьма интуитивного: частота – это сколько раз в одну секунду повторяется функция, а период – это минимальное время, через которое функция начинает повторяться.
Поскольку обычная частота измеряется в герцах, а 1 Гц = 1/секунда, то в случаях, когда мы взаимодействуем с реальным миром (а не проводим теоретические выкладки), нам удобней использовать обычную частоту.
Утверждение 1.
Синус частоты |????????| Гц выглядит так: ????????????????????????(???????? ∗ ???????? ∗ ???????? ∗ ????????),
где t-это время
Далее под частотой подразумевается только обычная частота, измеряемая в
Гц.
2.3. Нюансы дискретизации. Теорема Котельникова
Допустим, есть некоторый процесс, происходящий непрерывно во времени
(например, изменение погоды, движение спутника по орбите и т.д.). Мы хотим уметь делать с этим процессом следующие вещи: находить закономерности,

7 присущие этому процессу; на основе этих закономерностей строить математическую модель процесса; на основе математической модели восстанавливать процесс (повторять его) и предсказывать «поведение» этого процесса при заданных начальных условиях.
Актуальность решения подобных задач очевидна: конкретно для приведенных примеров это позволит предсказывать погоду и рассчитывать траекторию спутника. Но как находить закономерности? Как описать и проанализировать процесс?
Для каждого процесса выделяют основные параметры (величины), которые его характеризуют в наибольшей степени. Так, смена погоды характеризуется изменением температуры, давления, скорости ветра, влажности; движение спутника характеризуется изменением его положения, скорости, ускорения, угловой ориентации. Зная эти величины, мы можем утверждать, что исходный процесс достаточно точно описан. Действительно, измерив лишь положение, скорость, ускорение и угловую ориентацию спутника, мы уже можем многое рассчитать, прикинуть и даже промоделировать. То же относится и к погоде
(погода почти полностью характеризуется температурой, давлением, скоростью ветра, влажностью). Мы не можем учесть все величины и выбираем лишь наиболее значительные, которые и используем для описания и анализа процесса.
Далее возникает следующая проблема: процессы, происходящие в природе, непрерывны. Для анализа данных мы должны их где-то сохранить. Но мы не можем сохранить непрерывный во времени процесс, потому что для такого процесса нам нужно было бы измерить и где-то зафиксировать бесконечное количество значений. Эту проблему решает дискретизация во времени.
Допустим, мы зафиксировали некий непрерывный сигнал, делая замеры каждые ????????
????????
секунд. (T – традиционное обозначение периода, s от английского sample – «выборка»).
Для анализа и моделирования непрерывного сигнала нам нужно уметь его восстанавливать из полученных дискретных отсчетов. Основным вопросом дискретизации является следующий: возможно ли однозначно восстановить непрерывный сигнал из соответствующих дискретных отсчетов и что для этого нужно сделать?
Ответ на этот вопрос дает легендарная теорема отсчетов Котельникова-
Найквиста.
Теорема Котельникова.
Если мы будем производить дискретизацию
какого-нибудь непрерывного сигнала с частотой ????????
????????
, причем ????????
????????
> 2*B, где B
– это наивысшая частота в спектре непрерывного сигнала, то
впоследствии мы сможем точно и однозначно восстановить исходный
непрерывный сигнал, зная лишь дискретные отсчеты и частоту
дискретизации ????????
????????
.

8
Первая часть выделенного утверждения – это условие теоремы
Котельникова. Невыполнение этого условия ведет к искажениям, которые мы рассмотрим в следующем пункте.
Замечание. Значение любой измеренной (зафиксированной) величины квантовано, конечно, не только по времени, но и по уровню. Но вопросом квантования по уровню в данной курсовой мы заниматься не будем.
2.4. Периодическое повторение спектра при дискретизации
Замечание. Поскольку моделирование производится на компьютере, мы в любом случае имеем дело с квантованными сигналами. Когда мы будем задавать «аналоговую» синусоиду, мы подразумеваем дискретную синусоиду со значительной частотой дискретизации, поэтому ее дискретностью можно пренебречь.
Пример, иллюстрирующий замечание.
plot ([0:0.1:2*pi], cos ([0:0.1:2*pi]));
(2)
Рис. 1. Результат выполнения команды (2)
Допустим, что некий непрерывный сигнал имеет спектр, показанный синим цветом на Рис. 2. Спектр сигнала, полученного из исходного непрерывного сигнала путем дискретизации с частотой
????????
????????
, показан ниже на Рис.2. Видим, что из-за появления зеленых «двойников» синего спектра происходит наложение
«хвостов», и исходный синий спектр необратимо искажается. Данный рисунок иллюстрирует невыполнение условий теоремы Котельникова. Восстановить исходный сигнал по его спектру не представляется возможным, потому что его спектр изменен. Обратим внимание, что «расползание» «двойников» напрямую зависит от частоты дискретизации
????????
????????

9
Рис. 2. Необратимые искажения исходного спектра возникают из-за
невыполнения условия теоремы Котельникова
Если же условия теоремы Котельникова выполняются, то все копии исходного спектра будут находиться на безопасном расстоянии друг от друга
(безопасном от наложения), и тогда исходный спектр не будет искажен.
Приведенное выше объяснение весьма элегантно, но не является доказательным. Существует математический аппарат, «ответственный» за сделанные выше преобразования («размножение», наложения), но мы попытаемся на простом примере продемонстрировать, что же происходит. Для этого в качестве пробного сигнала, подвергающегося дискретизации, будем использовать обычную синусоиду.
2.5. Иллюстрация теоремы Котельникова
Утверждение 2.
При дискретизации с частотой
????????
????????
отсчетов в секунду мы
не можем различить дискретизованные значения синусоиды частоты f Гц
и синусоиды частоты (f + n*
????????
????????
) Гц, где n – целое число (положительное или
отрицательное).
Другими словами, при дискретизации любой синусоиды частоты (f + n*
????????
????????
)
Гц мы получим одни и те же отсчеты. Что это значит?
Допустим, была произведена дискретизация некоторой синусоиды и получены отсчеты. Но теперь, если мы захотим по полученным отсчетам понять, какая непрерывная синусоида имелась до дискретизации, то мы получим неоднозначность. Такой непрерывной синусоидой могла быть любая синусоида, имеющая частоту, отличающуюся на n*
????????
????????
от истинной частоты (т.е. от той частоты, которую имела на самом деле подвергнутая дискретизации синусоида). В итоге мы можем сказать, что через полученные отсчеты проходит любая непрерывная синусоида, отличающаяся по частоте на n*
????????
????????
от

10 исходной синусоиды. А так как спектр показывает, синусоиды каких частот содержит сигнал (или коротко, какие частоты содержит спектр), то можно сказать, что все эти синусоиды содержатся в спектре дискретизованного сигнала. Мы получили, что спектр дискретизованного элементарного сигнала
(т.е. синусоиды) содержит исходную частоту (которую имел этот непрерывный элементарный сигнал) и бесконечное множество частот (своеобразных
«двойников»), отличающихся от исходной частоты на n*
????????
????????
Приведенные пояснения иллюстрируют суть теоремы Котельникова применительно к сигналу, содержащему лишь одну частоту. Сама теорема
Котельникова имеет дело со всем набором частот исходного сигнала, но суть остается та же. Следовательно, утверждение 2 в некоторой степени облегчает понимание теоремы Котельникова, поскольку фактически из утверждения 2 следует теорема Котельникова.
Теперь приведем пример, иллюстрирующий правильность утверждения 2.
Произведем дискретизацию какого-либо синуса, частота которого удовлетворяет условию (f + n*
????????
????????
), а затем покажем, что через полученные дискретные отсчеты можно провести еще несколько (а в общем случае – произвольно неограниченное число) синусоид, частоты которых удовлетворяют этому же условию, но для других целых n.
plot ([0:0.01:1], sin (2*pi*1*[0:0.01:1])); (3)
hold on
plot ([0:1/3:1], sin (2*pi*1*[0:1/3:1]), 'o');
plot ([0:0.01:1], sin (2*pi*4*[0:0.01:1]));
plot ([0:0.01:1], sin (2*pi*(-2)*[0:0.01:1]));
Рис. 3. Результат выполнения последовательности команд (3)

11
В первой строчке (3) мы изображаем непрерывную синусоиду, в третьей производим ее дискретизацию. Четвертые и пятые строчки показывают, что при восстановлении непрерывной синусоиды по дискретным отсчетам мы не можем однозначно сказать, какую синусоиду мы изначально имели.
2.6. Дискретное преобразование Фурье
Важно понимать, что в вычислительной технике всегда имеет место алгоритм ДПФ, потому что это единственное осуществимое на практике преобразование из семейства преобразований Фурье.
Напомним, что алгоритм ДПФ предполагает преобразование N дискретных отсчетов сигнала во временной области в N комплексных чисел, каждое из которых обозначает некоторую частотную компоненту. С формальными деталями можно познакомиться в теоретическом курсе, а здесь мы попробуем разобраться, как же использовать ДПФ в том, случае, если нам надо просто провести анализ сигнала. Это не так просто, как может показаться сначала, потому что методы ДПФ подразумевают (как мы уже упомянули) использование сложного аппарата функции комплексной переменной, и с ходу, без примеров, порой достаточно сложно интерпретировать полученный результат.
Научимся пользоваться ДПФ и правильно его интерпретировать. Почему это является проблемой? Давайте вспомним, что у нас есть и какова наша цель.
У нас есть N дискретных отсчетов некоторого сигнала во временной области.
Мы, производя ДПФ, получаем снова N отсчетов, но уже в частотной области и хотим узнать, что же делать, если мы хотим проанализировать частотный состав. Частотный состав чего? Обычно нас интересует не сам дискретизованный сигнал во временной области, а частотный состав исходного непрерывного сигнала, из которого получены отсчеты. Однако тут нас и подстерегает неприятность: мы не знаем, насколько часто мы брали отсчеты при дискретизации. Дискретизованный сигнал – это просто последовательность отсчетов, это функция номера отсчета, и мы не знаем, сколько времени прошло между соседними точками. Когда мы преобразуем эти отсчеты в частотную область, мы по-прежнему не знаем, как соотносится полученный частотный состав дискретизованного сигнала с реальным непрерывным во временной области сигналом. Единственная зацепка – это частота дискретизации. От нее все зависит.
Рассмотрим следующий сигнал:
N=300;
(4) f=20; fs=100; plot([0:1/fs:N/fs],sin ( [0:1/fs:N/fs] * 2 * pi * f));

12
Рис. 4. Результат выполнения команды (4)
Это последовательность, состоящая из N = 300 отсчетов. Дискретизован синус частоты f = 20 Гц. Частота дискретизации fs = 100 Гц.
Следующая запись позволяет с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье найти ДПФ этого же сигнала: plot(abs(fft(sin([0:1/fs:N/fs] * 2 * pi * f))));(5)
Рис. 5. Результат выполнения команды (5)

13
Утверждение 3.
В случае выполнения условия теоремы Котельникова
верно следующее соотношение: f/????????
????????
= k/N. Здесь f – частота в Гц,
соответствующая k-му отсчету, N – общее количество отсчетов ДПФ.
В нашем случае, глядя на частотную область, видим пики, соответствующие k1=60 и k2=240. Посчитаем соответствующие f: f1 = k1*????????
????????
/N = 60 * 100 / 300 = 20 Гц. f2 = k2*????????
????????
/N = 240 * 100 / 300 = 80 Гц.
К сожалению, ДПФ не может различить одинаковые по модулю
«положительные» и «отрицательные» частоты. Это значит, что тот же результат, что и при выполнении команды 5, мы бы получили, введя следующее: plot(abs(fft(sin([0:0.01:3] * 2 * pi * (-20)))); (6)
Здесь, говоря терминами цифровой обработки сигналов (с физической точки зрения никаких отрицательных частот конечно не существует), f = -20, что, в соответствии с утверждением 2 раздела 2.5 о неразличимости частот (f + ????????
????????
*n) означает, что в спектре частота f = -20 начинает периодически повторяться, следовательно, при n=1 f = -20 + 100 * 1 = 80.
Кроме того, из неразличимости «противоположных» частот следует, что график ДПФ является симметричным относительно вертикальной оси в точке нуль.
В общем случае нам нужно анализировать часть графика ДПФ, находящуюся в диапазоне частот [0; f=????????
????????
/2], что с учетом утверждения 3 соответствует диапазону отсчетов [0; k=N/2].
Когда хотят упростить описание частотной оси (или оси отсчетов), говорят о
«долях частоты Найквиста», fn = ????????
????????
/2. Тогда рассматриваемый отрезок [0; ????????
????????
/2] превращается в отрезок [0;1], и мы можем оперировать с десятичными числами.

14
3. Простейшие присваивания и построение графиков в пакете
MATLAB
3.1. Главное окно MATLAB
Рис. 6. Окно MATLAB
По умолчанию окно MATLAB (далее – Матлаб) состоит из трех основных полей, которые занимают большую часть экрана: поле, в котором отображаются используемые в данный момент переменные и их значения (поле
1), поле истории команд (поле 2) и поле командной строки (поле 3).
Работа в Матлабе в основном осуществляется в командной строке: вводим команду, нажимаем enter, видим результат.
Начнем с элементарных операций; по ходу дела будем разбираться более подробно.
3.2. Простейшие присваивания
Присваивание переменной может производиться по-разному. x=10;(7)
Если ввести команду (7), а затем нажать enter, то переменной x присвоится значение 10, после чего поле командной строки перейдет обратно в режим