---

Глава 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. 
   Теоремы сложения и умножения вероятностей
   

Теорема 1. (Теорема сложения вероятностей несовместных событий).

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Следствие 1.1. Если событие А₁, А₂,…, А_n образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

,

.

Следствие 1.2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Следствие 2 есть частный случай первого следствия. Оно имеет большое применение в решении задач теории вероятностей. Иногда оказывается легче вычислить вероятность противоположного события, чем вероятность прямого события. Поэтому очень часто используют формулу, выражающую вероятность события А через вероятность противоположного события (или наоборот):

.

Замечание 1. При решении задач вероятность события обозначают p, а вероятность противоположного события q. Тогда предыдущие формулы принимают вид:

.

Теорема 2. (Теорема сложения вероятностей совместных событий).

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Замечание 2. Теоремы 1, 2 могут быть обобщены на любое конечное число несовместных (совместных) событий.

Например, для трех совместных событий:

Р(А+В+С)= Р(А)+Р(В)+Р(С)–Р(АВ)–Р(АС)–Р(ВС)+Р(АВС).

Введем несколько понятий, которые необходимы для формулировки теоремы умножения вероятностей.

---

Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Например. Два студента сдают экзамен. Пусть событие А – первый студент сдал экзамен, В – второй студент сдал экзамен. Вероятность события А не зависит от того, произошло или нет событие В, т.е. А не зависит от В (и наоборот).

Два события называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от наступления или ненаступления другого события.

Например. В библиотеке 80 учебников, из них 70 – новые. Наудачу берут один учебник, затем, не возвращая его, испытание повторяют. Рассмотрим события:

А – появление нового учебника при первом испытании,

В – появление нового учебника при втором испытании.

Если А произошло, то в библиотеке останется 79 учебников, причем новых будет 69 и тогда .

Если же при первом испытании А не произошло, то на 79 оставшихся учебников будет 70 новых и тогда .

Данный пример демонстрирует вычисление вероятности зависимых событий.

Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А, называется условной вероятностью события В.

Обозначение: .

Если события А и В независимы, то и .

Теорема 3. (Теорема умножения вероятностей зависимых событий).

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

.

Следствие 3.1. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляют в предложении, что все предыдущие события уже наступили.

Например, для трех событий:

---

.

Теорема 4. (Теорема умножения вероятностей независимых событий).

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

Следствие 4.1. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

Например, для трех событий:

.

2. 
   Вероятность появления хотя бы одного события
   

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных событий, либо часть из них, есть события независимые.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂,…, А_n, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий .

или .

Следствие. Если события А₁, А₂,…, А_n имеют одинаковую вероятность появления p, то события имеют вероятность , тогда

.

3. 
   Формулы полной вероятности
   

Пусть событие А может произойти совместно с одним из событий Н₁, Н₂,…, Н_n, образующих полную группу несовместных событий. События Н₁, Н₂,…, Н_n принято называть гипотезами.

Теорема. Вероятность события А, которое может произойти с одной из гипотез Н₁, Н₂,…, Н_n, равна сумме произведений вероятностей каждой из этих гипотез на соответствующие им условные вероятности события А:

---

.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Формула полной вероятности является одним из эффективных методов подсчета вероятностей, с помощью этой формулы решается широкий круг задач.

4. 
   Формула Байеса (теорема гипотез)
   

Пусть имеется полная группа несовместных событий – гипотез Н₁, Н₂,…, Н_n. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно: .

Произведен опыт, в результате которого появилось событие А.

Необходимо найти вероятность гипотезы после проведения опыта (т.е. при условии, что событие А произошло).

Иными словами, необходимо найти условную вероятность для гипотезы .

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события:

.

Эта формула носит название формулы Байеса.

Формула Байеса находится в тесной связи с формулой полной вероятности. Она относится к той же ситуации: событие А может наступить только с одной из гипотез Н₁, Н₂,…, Н_n.

5. 
   Формула Бернулли
   

На практике часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт повторяется неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться событие А, причем нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появлений события А в результате серии опытов.

Например, производится серия выстрелов в мишень. Нас интересует не результат каждого выстрела, а общее число попаданий (или промахов).

В таких задачах требуется уметь определить вероятность любого заданного числа появления события в результате серии опытов.

Несколько опытов называются

---

Смотрите также файлы

• Введение Слово экономика происходит от греческого oikonomia домоводство. Однако в современном языке он более множественный и имеет как минимум три основных значения. Вопервых, экономика.docx

• Крупнейшее ограбление банка.docx

• Отчет по лабораторной работе 1 исследование двухобмоточного трехфазного трансформатора при симметричной нагрузке.docx

• 1 Психологопедагогическая характеристика детей дошкольного возраста с аутизмом.docx

• Подмосковный колледж Энергия Индивидуальный проект Дисциплина Информатика.pptx