Файл: Ю. Ю. Громов, В. Е. Дидрих, О. Г. Иванова, В. Г. Однолько теория информационных.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.02.2024
Просмотров: 140
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
56
прерывно, а готовые автомобили сходят с него в дискретные моменты времени.
Входные сигналы системы. Второе и третье предположения о ха- рактере функционирования систем направлены на описание взаимо- действия системы с внешней средой. На вход системы могут поступать входные сигналы х
∈
Х, где X – множество входных сигналов систе- мы. Входной сигнал, поступивший в момент времени t
∈
Т, обозна- чается x(t).
Возвратимся к примеру с выпуском предприятием однотипных изделий (часто их называют однопродуктовым производством). В та- кой системе готовность i-гo изделия в момент t (автомобиля, часов, велосипеда, телевизора и т.д.) можно описать как поступление очеред- ного сигнала x(t
1
) = 1. Здесь множество X состоит из одного элемента
х = 1. Если принять за Х = 0 сигнал, когда очередное изделие не готово, а за Х = 1, когда оно готово, то можно считать, что Х = {0, 1}, и в сис- тему входной сигнал поступает в каждый момент t
∈
Т. В случае, ко- гда в моменты t
1
оказываются готовыми одновременно несколько из- делий (на заводе несколько конвейерных линий), например 0
≤ x ≤ x
max
, то множество X – совокупность целых чисел Х = {0, 1, ..., X
max
}.
Входные сигналы могут описываться некоторым набором харак- теристик. Например, если входными сигналами АСУ аэродромом счи- тать самолеты, поступившие в зону аэродрома, то каждый из них мо- жет быть описан: 1) координатами точки взлёта (I, a,
ε) (I – наклонная дальность, а – азимут и
ε – угол места); 2) вектором скорости (V);
3) признаками, характеризующими тип самолета (С), массу груза (G), требованиями к аэродромному обслуживанию (
δ) и т.д.
В общем случае будем предполагать, что входной сигнал X
1
∈
X
i
, где X – заданные множества (i = 1, ..., n).
Прямое произведение X = X
1
× X
2
× .... × Х
n
называется простран- ством входных сигналов. X
i
– элементарные оси. Входной сигнал х представляет собой точку пространства X, описываемую координатами
x
1
, x
2
, ..., х
n
. В общем случае Х
i
⊂
Х.
При исследовании сложных систем приходится оперировать с группами входных сигналов, поступающих в моменты времени
t
l
< t
2
<...< t
k
. Будем предполагать, что множеству X принадлежит и пус- той сигнал х
∅
, означающий отсутствие сигнала в момент t
0
, x(t
0
) = x
∅
Рассмотрим отображение x = L(t), сопоставляющее каждому t
∈
Т некоторый сигнал х
∈
X (отображение f: Т
→
Х). Обозначим через T
L
57
множество моментов времени T
L
⊂
Т, такое, что для любого t
′
∈
T
L
справедливо L(t
′) ≠ x
∅
. Отображение x = L(t) будем называть входным процессом систем, а совокупность упорядоченных пар (t
′, х) для всех
t
′
∈
T
L
(где x = L(t')) – входным сообщением.
Чтобы задать конкретный входной процесс x = L(t), достаточно указать соответствующее ему входное сообщение (t,
X
L
)
T
Интервал времени t
1
< t < t
2
будем обозначать (t
1
, t
2
), а полуинтер- валы t
l
< t
≤ t
2
и t
l
≤ t < t
2
– через (t
1
, t
2
] и [t
1
, t
2
), соответственно t
l
≤ t ≤ t
2
– через [t
1
, t
2
].
Введём понятие «сужение отображения». Пусть множество X имеет область определения отображения y = f(x). Отображение y = g(x) c областью определения X* является сужением отображения f(x) на множество X* в том и только в том случае, когда X*
⊂
X и g (x) = f(x) для каждого х
∈
Х*.
Сужение отображения x = L(t) на множество T
∩
(t
1
, t
2
] будем на- зывать фрагментом входного процесса, соответствующим полуинтервалу
(t
1
, t
2
], а совокупность упорядоченных пар (t', х) для всех t'
∈
T
L
∩
(t
1
, t
2
), где x = L(t') – отрывком входного сообщения, поступающим в систему за полуинтервал (t
1
, t
2
] и обозначать
2 1
]
,
(
1
t
t
L
х
t
Для конечного множества T
L
∩
(t
1
, t
2
], например t
1
, t
2
, ..., t
k
, вход- ное сообщение имеет вид(t
1
, х
1
; t
2
, х
2
; ...; t
k
, x
k
).
Множество всевозможных входных сообщений обозначим {(t,
X
L
)
T
}.
Оно определяется множеством входных процессов вида x = L(t), допус- каемых условиями функционирования системы. К множеству {(t,
X
L
)
T
}
будем причислять и пустое входное сообщение (t, x
L
)
T
=
∅, для кото- рого T
L
= 0.
Кроме того, множество {(t,
X
L
)
T
}
должно удовлетворять ещё од- ному требованию, связанному с сочленением входных сообщений.
Пусть (t,
X
L1
)
T
и (t,
X
L2
)
T
– сообщения из множества {(t,
X
L
)
T
}.
Пусть, далее, t
1
< t
2
< t
3
; t
l
, t
2
, t
3
∈
Т. Образуем отрывки сообщений
2 1
]
,
(
1
t
t
L
X
t
и
3 2
]
,
(
2
t
t
L
X
t
. Совокупность упорядоченных пар (t*, х*) можно рассмат- ривать как отрывок
3 1
]
,
(
t
t
L
X
t
некоторого сообщения (t,
X
L
)
T
,
образо- вавшийся в результате сочленения отрывков
2 1
]
,
(
1
t
t
L
X
t
и
3 2
]
,
(
2
t
t
L
X
t
Сочленение любого числа отрывков входных сообщений из множества
58
{(t,
X
L
)
T
}
представляет собой отрывок некоторого входного сообщения, принадлежащего этому множеству.
Выходные сигналы системы. Система способна выдавать выход- ные сигналы y
∈ Y, где Y – множество выходных сигналов системы.
Выходной сигнал, выдаваемый системой в момент времени t
∈ Т, обо- значается y(i).
∈
∗
t
(
)
{
}
(
)
{
}
(
)
;
,
,
3 2
2 1
2 1
t
t
T
t
t
T
L
L
∩
∪
∩
( )
(
)
{
}
( )
(
)
{
}
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⊂
⊂
=
∩
∩
∗
∗
∗
∗
∗
,
для
;
,
для
3 2
2 2
1 1
2 1
t
t
T
t
t
L
t
t
T
t
t
L
x
L
L
Если выходной сигнал у описывается набором характеристик y
1
,
y
2
, ... y
m
, таких, что у
∈ Y
j
, j = l, ..., m, Y
j
– заданные множества, то пря- мое произведение Y = Y
1
× Y
2
× ... ×Y
m
называется пространством вы- ходных сигналов системы. По аналогии с входным процессом введём понятие выходного процесса y = N(t), а также определим выходное сообщение (t, y
N
)
T
и его отрывок
2 1
]
,
(
t
t
N
y
t
на полуинтервале (t
1
, t
2
].
На этом можно считать исчерпанной формальную интерпретацию второго и третьего предположений о характере функционирования систем.
Глобальное состояние и глобальная реакция системы. Пусть для системы S множество её состояний Z, а функция R: (X
× Z) → Y такова, что (x, y)
∈ S ⇒ (∃
z
)[R(x, z) = y].
Тогда Z называют множеством или объектом глобальных состоя- ний системы, а элементы множества z
∈ Z – глобальными состояниями системы. Функция R называется глобальной реакцией системы S. При этом ни на Z, ни на R не накладывается никаких дополнительных ус- ловий. В случаях, когда глобальную реакцию системы нельзя опреде- лить на всём произведении X
× Z, то R оказывается частичной функци- ей. Таким образом, R можно называть глобальной реакцией системы только тогда, когда она не является частичной функцией. В противном случае её называют частичной глобальной реакцией.
Абстрактные линейные системы. Хотя многие понятия теории систем можно определить, опираясь исключительно на общее понятие системы, получение содержательных математических результатов ста- новится возможным только после введения дополнительных структур.
Таким дополнительным понятием является понятие линейности систем.
В соответствии с линейной алгеброй, операции «+» и умножения на скаляр определяются на X
× Y естественным образом:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 20
59
(x
1
, y
1
) + (x
2
, y
2
) = (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
);
a(x, y) = (ax, ay)
⊂ X × Y, a ∈ A.
В теории линейных систем фундаментальную роль играет сле- дующая теорема.
Пусть X и Y – линейные алгебры над одним и тем же полем А.
Система S
⊂ X × Y является линейной в том случае, когда найдётся такая глобальная реакция R : X
× Z → Y, что
1. Z есть линейная алгебра над А;
2. Существует пара таких линейных отображений R
1
: Z
→ Y и R
2
:
X
→ Y, что для всех (x, y) ∈ X × Y, R(x, z) = R
1
(x) + R
2
(z).
Отображение R называют линейной глобальной реакцией систе- мы тогда, и только тогда, когда
1. R согласуется с S, т.е.
(x, y)
∈ S ⇒ (∃z)[R(x, z) = y].
2. Z является линейной алгеброй над полем А скаляров линейных алгебр X и Y.
Существуют два таких линейных отображений R
1
: Z
→ Y и R
2
:
X
→ Y, что для любых (x, y) ∈ X × Y, R(x, z) = R
1
(x) + R
2
(z)
В этом случае Z называют линейным объектом глобальных со- стояний системы, отображение R
1
: Z
→ Y – глобальной реакцией на состояние, a R
2
: X
→ Y – глобальной реакцией на вход.
2.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ СЕТЯМИ ПЕТРИ
Модель – это представление, как правило, в математических тер- минах наиболее характерных черт изучаемого объекта или системы.
Одним из самых распространённых инструментов для математическо- го моделирования и исследования информационных процессов и сис- тем являются cети Петри. Цель представления системы в виде сети
Петри и последующего анализа этой сети состоит в получении важной информации о структуре и динамическом поведении моделируемой системы. Эта информация может использоваться для оценки модели- руемой системы и выработки предложений по её усовершенствованию.
Впервые сети Петри предложил немецкий математик Карл Адам Петри.
Сети Петри предназначены для моделирования систем, которые состоят из множества взаимодействующих друг с другом компонент.
При этом компонента сама может быть системой. Действиям различ- ных компонент системы присущ параллелизм. Примерами таких сис- тем могут служить вычислительные системы, в том числе и парал- лельные, компьютерные сети, программные системы, обеспечивающие