ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.03.2024
Просмотров: 4
Скачиваний: 0
где аппроксимирующая функция – полином степени
Если , то говорят, что полином равномерно приближает на отрезке с точностью .
Если степень задана, то ставится задача выбора коэффициентов полинома так, чтобы , т.е. , где – наименьшее отклонение функции, а сам полином при этом – полином наилучшего равномерного приближения – ПНРП.
Теорема Чебышева:
Для того, чтобы полином
был ПНРП на отрезке , необходимо и достаточно, чтобы на отрезке нашлись ( ) точки, в которых разность
последовательно чередуясь, принимает свои максимальные и минимальные значения, по модулю равные . Такая система точек называется Чебышевский альтернанс.
Если на отрезке , то полином, дающий минимум величине
есть полином, наименее уклоняющийся от нуля, или является полиномом Чебышева первого рода.
Теорема: Полином Чебышева степени с единичным старшим коэффициентом наименее отклоняется от нуля на отрезке по сравнению с другими полиномами того же класса, т.е.:
Пример: для функции полиномом НРП степени
на отрезке является полином:
Отрезок , замена переменной
Старший коэффициент при будет равен , т.е.
Тогда:
Пример: равномерно приблизить на отрезке с помощью полинома первого порядка функцию
Решение: смещенный полином Чебышева первого рода второго порядка наименее уклоняется от нуля на отрезке . Следовательно,
Т.е.:
Причем максимальное отклонение при этом:
И достигается в трех точках ( ): , чередуясь .
Вариант методики построения ПНРП
- Чебышевский альтернанс
; число точек альтернанса равно
Возьмем
Неизвестные:
Имеем систему:
