Файл: Анализ систем управления.pptx

Анализ систем управления

• точность – в установившемся режиме система должна поддерживать заданное значение выхода системы, причем ошибка (разница между заданным и фактическим значением) не должна превышать допустимую;
• устойчивость – система должна оставаться устойчивой на всех режимах, не должна идти «вразнос»;
• качество переходных процессов – при смене заданного значения система должна переходить в нужное состояние по возможности быстро и плавно;
• робастность – система должна сохранять устойчивость и приемлемое качество даже в том случае, если динамика объекта и свойства внешних возмущений немного отличаются от тех, что использовались при проектировании.

Требования к управлению

Анализ систем управления

Устойчивость

А – устойчивое

В и Б – не устойчиво

Г и Д - нейтральное.

Определение. Устойчивость – это свойство системы возвращаться в состояние равновесия при прекращении действия сил, которые вывели ее из этого состояния

Анализ систем управления

Устойчивость по Ляпунову

Рассмотрим систему первого порядка, с одной переменной состояния x(t) .

Система называется устойчивой по Ляпунову в положении равновесия x*, если при начальном отклонении от положения равновесия x* не более, чем на δ, траектория движения отклоняется от x* не более, чем на ε , причем для каждого ε можно найти соответствующее ему δ(ε):

Система называется асимптотически устойчивой, если кроме того вектор состояния стремится к положению равновесия, то есть,

Положение равновесия неустойчиво, если для него не выполняется условие устойчивости Ляпунова.

Анализ систем управления

Анализ систем управления

Устойчивость линейных систем

Линейные системы обладают рядом особенностей, которые во многих случаях упрощают анализ устойчивости:

• автономная линейная система (на которую не действуют внешние силы) может иметь единственное положение равновесия (в котором все сигналы равны нулю) или бесконечно много положений равновесия (шарик на плоской поверхности);
• устойчивость – это свойство линейной системы, а не отдельного положения равновесия: или все ее движения устойчивы (асимптотически устойчивы), или все неустойчивы;
• асимптотическая устойчивость линейной системы «в малом» сразу означает ее устойчивость «в целом», то есть, при любых отклонениях от положения равновесия;
• асимптотически устойчивая система также обладает устойчивостью «вход-выход», а просто устойчивая (нейтрально устойчивая, не асимптотически устойчивая) – нет.

---

Анализ систем управления

Условия устойчивости

Поскольку устойчивость линейной системы определяют корни полинома ∆(s) – знаменателя передаточной функции W(s) , этот полином называется характеристическим полиномом системы.

Анализ систем управления

Для исследования устойчивости линейной системы достаточно найти корни ее характеристического полинома. Если все корни находятся в левой полуплоскости, то линейная система устойчива. Системы, имеющие хотя бы один корень в правой полуплоскости называются неустойчивыми.

Критерии устойчивости

Критерии

Алгебраические:

Рауса

Гурвица

Льенара-Шипара

Частотные:

Михайлова

Найквиста

ЛАЧХ и ЛФЧХ

На ранней стадии развития теории управления актуальной была задача определения устойчивости полинома без вычисления его корней. Сегодня с развитием компьютерных программ легко найти корни характеристического полинома с, однако такой подход дает нам только количественные (а не качественные) результаты и не позволяет исследовать устойчивость теоретически, например, определять границы областей устойчивости.

Анализ систем управления

Необходимое условие устойчивости

Следует обратить внимание на то, что рассмотренное условие устойчивости является необходимым , но не достаточным.

Если среди коэффициентов характеристического полинома имеются отрицательные, то это означает, что соответствующая система неустойчива. Если все коэффициенты положительны, то система может быть как устойчивой, так и неустойчивой.

В этом случае необходим дополнительный анализ.

Анализ систем управления

Критерий Гурвица

Пусть характеристический полином некоторой системы имеет

Сопоставим этому полиному матрицу Гурвица:

По главной диагонали стоят коэффициенты полинома, остальные элементы строятся по следующему принципу: вверх от диагонального элемента ставятся коэффициенты полинома в порядке возрастания индексов, вниз - коэффициенты полинома в порядке убывания индексов. Элементы, требующие индексов, больших степени полинома, или отрицательных, устанавливаются нулевыми.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно чтобы при а0>0 были положительны все (n) главные миноры матрицы Гурвица.

---

По этому критерию можно определить критическое значение параметра, при котором система находится на границе устойчивости. Однако для уравнений выше четвертого порядка теряет смысл.

Анализ систем управления

Пример.

Определить устойчивость системы, при Т=2сек, к=3

Анализ систем управления

При исследовании устойчивости систем автоматического регулирования, имеющих порядок характеристического уравнения n ≥ 5, рекомендуется использовать одну из модификаций критерия Гурвица, предложенную в 1914 г. П. Льенаром и Р. Шипаром и вошедшую в теорию автоматического управления как критерий устойчивости Льенара-Шипаро, который формулируется следующим образом.

Для того, чтобы система автоматического управления была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось необходимое условие устойчивости и чтобы определители Гурвица с четными индексами (или с нечетными индексами) были положительны, т.е.

КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЛЬЕНАРА-ШИПАРО

В такой формулировке критерия устойчивости требуется раскрытие меньшего числа определителей, чем по критерию Гурвица.

Анализ систем управления

КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ раусса

Применение критерия требует составления таблицы Раусса

Анализ систем управления

Формулировка критерия Раусса: Система устойчива, если все коэффициенты первого столбца таблицы Раусса положительные

Анализ систем управления

Анализ систем управления

КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА

Критерий предполагает построение годографа Михайлова, то есть кривой которую описывает конец вектора D(jω) на комплексной плоскости при изменении ω от 0 до + ∞ . Вектор D(jω) получается из характеристического полинома замкнутой системы при подстановке p = jω :

Формулировка: для устойчивости системы n -ого порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова обошел в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно n квадрантов, нигде не обращаясь в ноль.

Анализ систем управления

Угол поворота вектора D( jω) определяется выражением

Если система на границе устойчивости, то годограф проходит через начало осей координат

Анализ систем управления

Годографы неустойчивых систем по критерию Михайлова

---

Анализ систем управления

КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА

Частотный критерий Найквиста дает возможность определить устойчивость замкнутой системы автоматического регулирования по амплитудно - фазовой характеристике ее разомкнутой цепи.

Предварительно должна быть определена устойчивость исследуемой системы в разомкнутом состоянию Для неустойчивой системы нужно выяснить, какое число корней ее характеристического полинома имеет положительные вещественные части.

Анализ систем управления

Различают три случая применения критерия Найквиста.

1. Разомкнутая система устойчива.

В этом случае для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно – фазовая характеристика разомкнутой системы при изменении ω от 0 до + ∞ не охватывала точку с координатами (-1,j0).

На рисунке изображены основные из возможных ситуаций. При АФХ, представленной кривой 1, замкнутая система абсолютно устойчива – она остается устойчивой и при уменьшении коэффициента передачи разомкнутой системы. Если АФХ представляет собой кривую 2, то замкнутая система будет устойчива в некотором диапазоне изменения коэффициента усиления разомкнутого контура. Кривая 3 проходит через критическую точкус координатами (-1, j0). Это означает, что замкнутая система находится на колебательной границе устойчивости. Кривая 4 охватывает критическую точку, поэтому замкнутая система неустойчива.

Анализ систем управления

Приведенные примеры соответствуют случаю устойчивой системы, границе устойчивости и неустойчивой системы.

Анализ систем управления

Пример АФХ соответствующей неустойчивой системе в разомкнутом состоянии ( l = 4 ) приведен на рисунке. Замкнутая система будет устойчива, поскольку количество переходов +2.

Анализ систем управления

Характеристический полином разомкнутой системы, кроме корней с вещественной частью (положительной или отрицательной), может иметь нулевые или чисто мнимые корни. В этом случае на участках разрыва АФХ должна быть дополнена дугой бесконечно большого радиуса.

При сложной форме АФХ разомкнутой системы удобнее пользоваться правилом перехода – переход АФХ при увеличении ω через отрезок вещественной оси от -1 до - ∞ сверху вниз считают положительным и снизу вверх – отрицательным. АФХ может начинаться на указанном отрезке при ω = 0 или заканчиваться при ω = ∞ , в этом случае считается, что она совершает пол перехода

---

Анализ систем управления

Исследование устойчивости собственно говоря включает в себя два случая: определение устойчивости САР для заданных значений коэффициентов и исследование влияния на устойчивость САР некоторых ее параметров (например, настроечных коэффициентов регулятора). Допустимые значения одного или двух параметров определяются при неизменных значениях остальных. В последнем случае на плоскости двух коэффициентов строят область устойчивости, то есть область изменения рассматриваемых коэффициентов, при которых САР остается устойчивой.

Построение областей устойчивости возможно с помощью любого критерия устойчивости.

Построение областей устойчивости

Анализ систем управления

Анализ систем управления

Анализ систем управления

Анализ систем управления

Анализ систем управления

Анализ систем управления

Анализ систем управления

---