Файл: Теория вероятностей рассматривает не сами реальные явления, а их упрощенные схемы математические модели.pptx

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

2020 г.

Садовая Виктория Владимировна

Теория вероятностей рассматривает не сами реальные явления, а их упрощенные схемы — математические модели.

Основные объекты теории вероятностей – случайные события, случайные величины, случайные процессы, то есть фактически весь окружающий нас мир

Например, если анализировать статистику рождения детей, то при увеличении числа рассмотренных фактов рождения доля родившихся мальчиков будет постепенно стабилизироваться, приближаясь к числу 0,516.

Случайным событием называется любой исход опыта, который может произойти или не произойти Случайные события обозначаются: А,В,С,…

Например, А – попадание в цель при выстреле; В – выздоровление больного в клинике; С – выигрыш дела в суде.

Например,

выпадение не более 6 очков при бросании игральной кости.

Например,

выпадение 8 очков при бросании игральной кости.

Несколько событий называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие (т.е. все события имеют равные «шансы»).

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте.

Например,

выпадение орла и решки при однократном бросании монеты;

попадание и промах при одном выстреле.

События А1,А2,…,Аn называются попарно несовместными, если любые два из них несовместны. События А1,А2,…,Аn, образуют полную группу, если они попарно несовместны и в результате каждого опыта происходит одно и только одно из них. Всевозможные исходы одного испытания называются элементарными событиями, т.е. элементарные события рассматриваются как неразложимые и взаимоисключающие исходы опыта. Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий или пространством исходов, обозначается через U.

• Например,
• А – попадание в цель при первом выстреле,
• В – попадание в цель при втором выстреле,
• тогда событие С = А+В - попадание в цель вообще, безразлично при каком выстреле: при первом, при втором или при обоих вместе.

А + В + С = D

---

Например,

событие А – появление дамы при вынимании карты из колоды,

В – появление карты пиковой масти,

то событие С = А·В есть появление пиковой дамы.

.

Свойства операций над событиями

1. A + B = B + A A ∙ B = B ∙ A

2. A + (B + C) = (A + B) + C A ∙ (B ∙ C) = (A ∙ B) ∙ C

3. A ∙ (B + C) = A ∙ B + A ∙ C

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

В справедливости этих формул можно убедиться с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Понятие вероятности

Понятие вероятности

В толковом словаре С.И. Ожегова и Н.Ю. Шведовой:

«Вероятность – возможность исполнения, осуществимости чего-нибудь».

Основатель современной теории вероятностей А.Н.Колмогоров:

«Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях».
КЛАССИЧЕСКОЕ

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

СТАТИСТИЧЕСКОЕ

Пример

подбрасывание монеты.

А – выпадает герб.

Классическая вероятность события А :

Пример . Французский естествоиспытатель Бюффон (XVIII в.) бросил монету 4040 раз, и при этом герб выпал в 2048 случаях. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна:

Жорж Бюффон

Пример.

Английский математик Карл Пирсон (1857-1936) бросал монету 24000 раз, причем герб выпал 12012 раз. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна:

Карл Пирсон

Результаты

Вывод

Последний пример подтверждает естественное предположение о том, что вероятность выпадения герба при одном бросании монеты равна 0,5.

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Пусть производится опыт с n равновозможными исходами, образующими полную группу несовместных событий.

Исход, который приводит к наступлению события А, называется благоприятным ему.

Эта формула известна как классическое определение вероятности.

---

Свойства вероятности 1) Вероятность любого события заключена между нулем и единицей: 2) Вероятность невозможного события равна нулю: 3) Вероятность достоверного события равна единице: 4) Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
ЗАМЕЧАНИЕ

Классическое определение вероятности может применяться лишь в тех случаях, когда:

1) пространство элементарных исходов состоит из конечного числа (сколько студентов сдали экзамен) элементарных исходов;

2) элементарные исходы равновероятны.

Пример. Монета подбрасывается два раза. Найти вероятность того, что выпадут и решка и орел.

Решение:

Пусть событие О – выпадение орла,

событие Р – выпадение решки.

Испытанием здесь является двукратное подбрасывание монеты. Возможны 4 исхода:

OO, РР, ОР, РО

Событие А, состоящее в выпадении и орла и решки имеет два благоприятных исхода

Следовательно,

Пример. В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар будет белым?

Решение.

Пусть событие А – вынут белый шар.

Тогда число всех равновозможных случаев:

Число случае, благоприятствующих событию А:

Следовательно

Пример. В коробке находятся 4 красных и 6зеленых карандашей. Из нее случайно выпали 3 карандаша. Какова вероятность того, что два из них окажутся красными?

Решение: Пусть событие А – среди выпавших карандашей

1 зеленый и 2 красных.

зеленых:

Число случае, благоприятствующих событию А:

Следовательно,

красных:

Число всех исходов испытания:

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Геометрическое определение вероятности применяется в тех случаях, когда имеется бесконечное число равновероятных исходов.

В области U, случайно выбирается точка X. Предполагается, что все точки области U, равноправны (все элементарные события равновозможны)и вероятность попасть в область D пропорциональна площади этой области и не зависит от ее расположения и формы.

Пусть событие А - брошенная точка попадет в область D.

U

Вероятностью события А, состоящего в том, что при

бросании точки на отрезок [A, B] она попадет на отрезок

[С, Д] [А, В], называется число, определяемое по формуле

Наиболее распространены 3 модели

---

1

Имеем отрезок [А, В]. Бросаем в него точку. Теоретически точка может попасть в любую точку X отрезка [А, В].

Пространство элементарных событий состоит из бесконечного числа элементарных исходов, следовательно классическое определение вероятности применить нельзя.

Вероятностью события А, состоящего в том, что при

бросании точки в область G она попадет в область ,

называется число, определяемое по формуле:

Пусть на плоскости задана замкнутая ограниченная область G. Каждой такой области можно поставить в соответствие число S(G) – площадь области. Бросаем точку в область G.

Событие А – точка попадет в область d.

Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного числа равновероятных исходов.

d

Вероятностью события А, состоящего в том, что при

бросании точки в область T она попадет в область ,

называется число, определяемое по формуле

Пусть задано замкнутое ограниченное тело T. Ему можно поставить в соответствие число V(T) - объем тела.

Все три определения можно свести к одному, если вместо числовых характеристик области использовать термин мера области - mes

Вероятностью события А, состоящего в том, что при

бросании точки в область U она попадет

в область , называется число,

определяемое по формуле
Свойства вероятности 1) Геометрическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей: 2) Геометрическая вероятность невозможного события равна нулю: 3) Геометрическая вероятность достоверного события равна единице: 4) Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Примеры задач на подсчет вероятностей

1. Игральную кость подбрасывают три раза. Какова вероятность того, что а) шестерка не появится ни разу; б) шестерка появится хотя бы 1 раз?

2. Два стрелка стреляют в одну цель, причем вероятность поражения цели первым стрелком 0.8, а вторым – 0.5. Стрелки стреляют одновременно. Какова вероятность, что цель будет поражена хотя бы одним из стрелков? Какова вероятность, что оба стрелка поразят цель одновременно?

3. В ящике имеются 7 белых и 5 черных шаров. Опыт состоит в том, что сначала вынимают (не глядя) один шар и, не опуская его обратно, вынимают еще один шар. Какова вероятность того, что: а) оба вынутых шара черные

---

; б) вынутые шары разного цвета?

Решение.

Согласно геометрическому

определению вероятности:

Пусть время прихода одного из них – 12 ч. х мин.; другого – 12 ч. y мин. При этом

Встреча произойдет если:

Пример. (Задача о встрече)

Два человека договорились встретиться в определённом месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый наудачу выбирает время своего прихода?

---