Добавлен: 16.02.2024
Просмотров: 23
Скачиваний: 0
Решая систему уравнений (7), определяем контурные токи .
Для однозначного определения токов ветвей выбираем их положительные направления и указываем на схеме (рис. 3).
Токи ветвей
1.3 Метод узловых напряжений (потенциалов)
Сущность метода заключается в том, что в качестве неизвестных принимаются узловые напряжения (потенциалы) независимых узлов цепи относительно одного узла, выбранного в качестве опорного или базисного. Потенциал базисного узла принимается равным нулю, и расчет сводится к определению (q-1) узловых напряжений, существующих между остальными узлами и базисным.
Уравнения узловых напряжений в канонической форме при числе независимых узлов n=q-1 имеют вид
Коэффициент называется собственной проводимостью n-го узла. Собственная проводимость равна сумме проводимостей всех ветвей, присоединенных к узлу n .
Коэффициент называется взаимной или межузловой проводимостью. Она равна взятой со знаком «минус» сумме проводимостей всех ветвей, соединяющих напрямую узлы i и n .
Правая часть уравнений (9) называется узловым током, Узловой ток равен алгебраической сумме всех источников тока, подключенных к рассматриваемому узлу, плюс алгебраическая сумма произведений ЭДС источников на проводимость ветви с ЭДС
При этом со знаком «плюс» слагаемые записываются в том случае, если ток источника тока и ЭДС источника напряжения направлены к узлу, для которого составляется уравнение.
Приведенная закономерность определения коэффициентов существенно упрощает составление уравнений, которое сводится к записи симметричной матрицы узловых параметров
и вектора узловых токов источников
Уравнения узловых напряжений можно записать в матричной форме
.
Если в какой-либо ветви заданной схемы содержатся только идеальный источник ЭДС (сопротивление этой ветви равно нулю, т.е. проводимость ветви равна бесконечности), целесообразно в качестве базисного выбрать один из двух узлов, между которыми включена эта ветвь. Тогда потенциал второго узла становится также известным и равным по величине ЭДС (с учетом знака). В этом случае для узла с известным узловым напряжением (потенциалом) уравнение составлять не следует и общее число уравнений системы уменьшается на единицу.
Решая систему уравнений (9), определяем узловые напряжения, а затем по закону Ома определяем токи в ветвях. Так для ветви, включенной между узлами m и n ток равен
При этом с положительным знаком записываются те величины (напряжения, ЭДС), направление которых совпадает с выбранным координатным направлением. В нашем случае (11) – от узла m к узлу n . Напряжение между узлами определяется через узловые напряжения
.
Рассмотрим метод узловых напряжений на примере электрической цепи, схема которой представлена на рис. 4.
Рисунок 4
Определяем число узлов (в данном примере число узлов q=4) и обозначаем их на схеме.
Так как схема не содержит идеальных источников напряжения, то в качестве базисного может быть выбран любой узел, например узел 4.
При этом .
Для остальных независимых узлов схемы (q-1=3) составляем уравнения узловых напряжений в канонической форме.
Определяем коэффициенты уравнений.
Собственные проводимости узлов
Взаимные (межузловые) проводимости
Определяем узловые токи.
Для 1-го узла
.
Для 2-го узла
.
Для 3-го узла
Подставив значения коэффициентов (проводимостей) и узловых токов в уравнения (12), определяем узловые напряжения
Прежде чем перейти к определению токов ветвей, задаемся их положительным направлением и наносим на схему (рис. 5).
Токи определяем по закону Ома. Так, например, ток направлен от узла 3 к узлу 1. Так же направлена и ЭДС этой ветви. Следовательно
Токи остальных ветвей определяем по тому же принципу
Так как то
Глава 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.
2.1 Расчет методом контурных токов
Проведем эквивалентное преобразование источника тока в источники ЭДС
Введем контурные токи I11 , I22 , I33, I44.
Рисунок 5
I11z11 + I22z 12 + I33z13 + I44z14 = E11
I11z21 + I22z22 + I33z23 + I44z24 = E22
I11z31 + I22z32 + I33z33 + I44z34 = E33
I11z41 + I22z42 + I33z43 + I44z44 = E44
Определим собственные сопротивления контуров:
z11 = z1 + z3 + z6 = j50 + 38 + j20 = 38 + j70 Ом
z22 = z6 + z8 + z10 + z12 = j20 + 215 – j75 + 10 = 225 – j55 Ом
z33 = z4 + z5 + z11 = 14 + j16 – j75 = 15 – j59 Ом
z44 = z10 + z13 = – j75 + j25 = – j50 Ом
и общие сопротивления контуров:
z12 = z21= – z6 = – j20 Ом
z24 = z42= – z10 = j75 Ом
Определим собственные ЭДС контуров:
Е11 = J2z 1 + Е4 – Е1 = j50‧3 +25 – 6 = j150 + 19 В
Е22 = – Е6 – Е9 – J4z 10 = – 4 – 6 + j75‧7 = j525 – 10 В
Е33 = Е7 – Е8 + Е3 = 15 – 9 – 39 = – 33 В
Е44 = J4z 10 + Е10 – Е7 = j75‧7 + 13 – 15 = j525 – 2 В
Для определения контурных токов составим систему уравнений:
(39 + j70) I11 – j20 I22 = 19 + j150
– j20 I11 + (225 – j55) I22 – j75 I44 = – 10 + j525
(15 – j59) I33 = – 33
J75 I22 – j50 I44 = – 2 + j525
В результате получим следующие значения контурных токов:
I11 = 1,3713 + j1,9139 А;
I22 = 0,9361 + j5,0435 А;
I33 = – 0,1335 – j0,5253 А;
I44 = – 9,0957 + j7,5252 А;
Находим реальные токи в ветвях:
I1 = 1,3713 + j1,9139 А;
I2 = 0,9361 + j5,0435 А;
I3 = – 0,1335 – j0,5253 А;
I4 = – 9,0957 + j7,5252 А;
I5 = + 3,1375 – j1,5553 А;
I6 = – 3,0152 + j3,5054 А;
2.2 Потенциальная диаграммa
R,Ом ,Ом
Размещено на Allbest.ru
5
1
2
3
U, В
4
6
4
Список литературы
1. Атабеков Г.И. Основы теории цепей: Учебник. – СПб.: Издательство «Лань», 2009. - 432 с.
2. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей: Учебное пособие для вузов. Под ред. В.П. Бакалова. – М.: Горячая линия – Телеком, 2013. - 596 с.
3. Новиков Ю.Н. Основные понятия и законы теории цепей, методы анализа процессов в цепях: Учебное пособие. – СПб.: Издательство «Лань», 2011. - 368 с.
4. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи: Учебное пособие. – СПб.: Издательство «Лань», 2009. - 592 с.
5. Атабеков Г.И., Купалян С.Д., Тимофеев А.Б., Хухриков С.С. Теоретические основы электротехники. Нелинейные электрические цепи. Электромагнитное поле: Учебное пособие / Под ред. Г.И. Атабекова. – СПб.: Издательство «Лань», 2010. - 432 с.