Файл: Учебное пособие для вузов. М. Радио и связь, 1985. Кушнир В. Д. Электрорадиоизмерения Учебное пособие для вузов. М. Радио и связь, 1985.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.02.2024
Просмотров: 38
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
14
Рис. иллюстрирует характер графической зависимости интенсивности отказов от вре- мени старения T
A
для электронных элементов и устройств, а рис. на следующей странице - характер такой зависимости для механических устройств и систем, у которых первые экс- плуатационные отказы появляются раньше, чем у электронных устройств.
При анализе надежности различают системы нерезервируемые и резервируемые. В по- следних отказавший элемент заменяется резервным работоспособным; такие системы рас- сматривают как параллельные. Считается, что нерезервируемые системы имеют последова- тельную структуру (последовательно включенные элементы).
При расчете надежности R
s
нерезервируемой системы, состоящей из r элементов, их полагают независимыми (в смысле отказов) и указанную надежность определяют как произ- ведение вероятностей р
i
безотказной ра- боты этих элементов:
r
i
i
s
p
R
1
Если функция надежности для каж- дого из элементов системы может быть принята экспоненциальной, то, как дока- зано, интенсивность отказов системы равна
r
i
i
s
t
1
)
(
, а надежность систе- мы определяется выражением
r
i
i
s
t
R
1
)
(
exp
Интенсивности отказов, опреде- ленные для конкретных элементов и приборов, выдерживаются лишь при соблюдении тре- буемых нормальных условий их эксплуатации, включая и нагрузки. В экстремальных усло- виях эксплуатации интенсивность отказов возрастает и необходимо вводить поправочные коэффициенты, учитывающие эти условия. Так, на основе опыта известно, что для средств измерений, установленных на кораблях, этот коэффициент равен 20, на самолетах - 150, а на современных ракетах достигает 1000.
Важное значение с точки зрения эксплуатационной надежности промышленных СИ имеет их защищенность от климатических, химических, механических и иных воздействий, которые могут приводить к появлению дополнительных погрешностей измерений, повре- ждению или отказу в работе. При этом используются как внутренние (схемотехнические) средства (защита от перенапряжения, короткого замыкания и т. п.), так и конструктивные меры. К последним следует отнести выбор конструкционных материалов с со- ответствующими свойствами и исполнение СИ, предусматривающее защиту против клима- тических, радиационных, механических и прочих вредных воздействий. Для этих целей во многих странах разработаны и действуют нормы по исполнению средств измерений, в част- ности, для различных климатических условий эксплуатации с учетом перепадов температур и влажности, с повышенной вибро-, пыле- и влагозащищенностью, с защитой от электро- магнитных помех и ионизирующего излучения. Кроме того, существуют нормы исполнения средств измерений, учитывающие требования безопасности обслуживающего персонала и окружающей среды.
Эталоны времени и частоты
Измерения времени и частоты колебаний тесно связаны друг с другом, и их единица воспроизводится одним и тем же эталоном. Астрономические шкалы времени базируются на явлениях вращения Земли вокруг собственной оси и обращения Земли вокруг Солнца по
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
15 слегка эллиптической орбите. Однако такие шкалы не могут быть достаточно точными т. к. параметры движения небесных тел не постоянны.
В 1967 г. XIII Генеральная конференция по мерам и весам постановила, что квантовый переход между линиями сверхтонкой структуры атома
133
Cs, а именно невозмущенный внешними полями переход F = 4, m
F
= 0
F = 3; m
F
= 0 основного состояния
2
S
1/2
, дает ча- стоту 9,192631770 ГГц точно. Тем самым определяется, и единица времени — секунда — как интервал времени, в течение которого совершается 9 192 631 770 колебаний излучения при этом переходе.
Ядро атома цезия, обладающее магнитным моментом (спин I=7/2), взаимодействует с магнитным моментом валентного электрона (спин I=1/2). Это и приводит к расщеплению ос- новного электронного уровня атома на ряд подуровней т. е. к образованию так называемой сверхтонкой структуры. Частоты, соответствующие переходам между уровнями сверхтонкой структуры, попадают в диапазон радиочастот. Очень важно, что энергия перехода между уровнями сверхтонкой структуры, а стало быть, и соответствующая частота, очень мало за- висят от внешних магнитных полей.
В эталонах удается настолько снизить напряженность внешних магнитных полей, что смещение частоты, соответствую- щей используемому переходу, со- ставляет всего 10
-12
от частоты при полном отсутствии внешних маг- нитных полей. От других парамет- ров (электрического поля, давления, плотности пучка и т. п.) частота пе- рехода зависит еще меньше.
На рис. приведена схема це- зиевого атомно-лучевого эталона времени и частоты.
Источник 1 атомного пучка представляет собой контейнер из металла, стойкого по от- ношению к щелочам. В стенке контейнера имеются каналы, формирующие пучок. Темпера- тура источника 100
150°С. Магниты 2 служат для сортировки атомов пучка по состояниям сверхтонкой структуры: выделяются атомы, находящиеся в состояниях F = 3, m
F
=0 и F =4, m
F
= 0.
К резонаторам 3 подводится сверхвысокочастотный сигнал, частоту которого можно в некоторых пределах изменять около значения 9192631770 Гц. В результате действия этого сигнала, выделенные атомы переходят из состояния F = 3, m
F
=0 в состояние F =4, m
F
= 0 или обратно. Второй сортирующий магнит выделяет из пучка только те атомы, которые пе- решли из одного состояния в другое в результате взаимодействия сполем сигнала. Атомы, совершившие переход, попадают в приемник 4 и регистрируются индикатором 5.
Если частота подводимого сигнала точно соответствует частоте перехода, то показания индикатора максимальны. Если же частота сигнала отличается от частоты перехода, то пока- зания индикатора резко уменьшаются. Это и служит основой стабилизации частоты. Частота сигнала, соответствующая максимальным показаниям индикатора, принимается за
9192631770 Гц.
Все узлы установки помещены в камеру, в которой поддерживается высокий вакуум.
Стабильность эталона с атомным пучком цезия равна 10
-11
, в настоящее время их ис- пользуют службы времени и часто- ты.
Принцип работы водородных генераторов (на атомарном водоро- де) основан на использовании кван-
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
16 тового перехода между состояниями F = 1, m
F
= 0 и F = 0, m
F
= 0 в сверхтонкой структуре основного состояния атомовводорода,частота которого при отсутствии внешних воздей- ствий постоянна и равна 1420405751,8 Гц.
Схема и принцип действия водородного генератора изображены на рис.
Атомы водорода получаются в источнике 1, представляющем собой стеклянную труб- ку, где происходит диссоциация молекул водорода под действием высокочастотного элек- трического разряда. Пучок атомов водорода выходит из источника через коллиматор, обес- печивающий его направленность, и попадает в поле шестиполюсного аксиального магнита 2.
В сильном неоднородном поле, создаваемом этим магнитом, происходит пространственная сортировка атомов в пучке, так что атомы, находящиеся на уровне F = 1, m
F
= 0, фокусиру- ются на вход накопительной ячейки 3, которая расположена внутри высокодобротного объ- емного резонатора 4, настроенного на частоту используемого перехода.
Конструкция ячейки такова, что атомы находятся в резонаторе около секунды. Ее стен- ки покрыты фторопластом, в результате чего даже при более чем 10 5
соударениях атома во- дорода со стенкой его энергетическое состояние не меняется.
Взаимодействие возбужденных атомов с высокочастотным полем резонатора в течение секунды повышает вероятность их перехода в нижнее энергетическое состояние и вызывает самовозбуждение генератора, а также увеличивает добротность линии излучения и соответ- ственно стабильность частоты генератора.
Для уменьшения влияния внешних магнитных полей на частоту водородного генерато- ра резонатор помещают в многослойный экран 5.
В Государственном первичном эталоне времени и частоты используются квантовые меры, в которых за опорную принимается частота, соответствующая частоте энергетическо- го перехода в атомах или молекулах выбранного вещества. Квантовые меры подразделяются на реперы и хранители. Они различаются тем, что реперы включаются эпизодически с целью осуществления поверок и регулировок средств измерения частоты, а хранители (часы) рабо- тают непрерывно и для них определяется значение фазы выходного сигнала относительно некоторого начального момента. Таким образом, квантовые меры частоты (реперы) обеспе- чивают воспроизведение единицы времени и частоты, а квантовые часы (хранители времени) служат для воспроизведения шкал времени ТА (SU) и UTC(SU).
В состав Государственного первичного эталона входят: цезиевый репер; цезиевые ча- сы; водородные реперы и часы; рубидиевые часы (квантовый генератор на рубидии с опти- ческой накачкой); аппаратура внутренних и внешних сличений эталонов и аппаратура средств обеспечения.
Цезиевый репер, входящий в состав эталона, включается два раза в месяц, и с его по- мощью определяют частоту рубидиевых часов, отличающихся высокой кратковременной стабильностью (порядка 1*10
-13
—2*10
-13
в течение 1
10 с, за сутки приблизительно на два порядка хуже). Одновременно путем сравнения с частотой рубидиевых часов, определяют частоту водородных реперов. После этого в течение полумесяца с ними сравнивают основ- ные хранители эталона — водородные и цезиевые часы.
Государственный первичный эталон времени и частоты обеспечивает воспроизведение единиц с относительным средним квадратическим отклонением результата измерений, не большим 1 * 10
-13
, при неисключенной относительной систематической погрешности, не превышающей 1*10
-12
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
17
Л4. Классификация способов и методов измерений.
По способу получения результатов измерения (виду уравнения измерения) различают прямые, косвенные, совокупные и совместные измерения.
Прямыми измерениями называют такие, при которых значение физической величины находят непосредственно из опытных данных (уравнение Q = X). Пример: измерение тока с помощью амперметра.
Косвенные измерения - такие, при которых искомое значение физической величины Y находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами X
1
,
X
2
,….X
n подвергаемыми прямым измерениям. Y= f(X
1
, X
2
,….X
n
). Пример: измерение мощ- ности методом амперметра, вольтметра. P = U*I.
Совокупными измерениями называют измерения, производимые одновременно для не- скольких одноименных величин, при которых искомую величину находят решением систе- мы уравнений, для получаемых при прямых измерениях различных сочетаний этих величин.
Пример: измерение индуктивности катушки и межвитковой ёмкости.
Совместными измерениями называют проводимые одновременно измерения двух или нескольких неодноимённых величин для нахождения зависимости между ними.
Пример: определение температурного коэффициента сопротивление резистора.
Принцип измерений - совокупность физических явлений, на которых основаны измере- ния. Пример: измерение напряжения на основе электростатического взаимодействия заря- жённых проводников.
Метод измерений - совокупность приёмов, используемых принципов и средств измере- ния. Различают два основных метода измерений: непосредственной оценки и сравнения с мерой.
Метод непосредственной оценки - метод измерений, в котором значение физической величины определяют непосредственно по отсчётному устройству измерительного прибора прямого действия.
Методы сравнения с мерой - методы измерений, в которых измеряемую величину находят, сравнивая с величиной, воспроизводимой мерой. Пример: измерение напряжения постоянного тока на компенсаторе сравнением с Э.Д.С. нормального элемента. В методе сравнения с мерой можно выделить следующие разновидности: а) Метод противопоставления, - в котором измеряемая величина и величина воспроиз- водимая мерой одновременно воздействуют на прибор сравнения, с помощью которого уста- навливается соотношение между этими величинами. Пример: измерение частоты на осцил- лографе с помощью фигур Лиссажу. б) Нулевой метод – разновидность метода сравнения, в котором результирующий эф- фект воздействия на прибор сравнения доводят до нуля. в) Метод дифференциальный, в котором на измерительный прибор (не обязательно прибор сравнения) действует разность измеряемой величины и величины воспроизводимой мерой. Пример: измерение электрического сопротивления мостом с неполным его уравнове- шиванием. г) Метод замещения, - в котором измеряемую величину замещают в измерительной установке известной величиной, воспроизводимой мерой, Пример: измерение амплитуды напряжения на осциллографе, имеющем калибратор напряжения. д) Метод совпадения - о значении разности измеряемой величины и величины воспро- изводимой мерой судят по совпадению отметок шкал или периодических сигналов. На этом методе основана работа многих цифровых измерительных приборов, стробоскопа, нони- усной шкалы.
Элементы теории погрешностей
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
18
В зависимости от характера проявления, причин возникновения, а также способов учё- та или исключения все погрешности измерений можно разделить на три группы:
1) случайные;
2) систематические;
3) Грубые погрешности и промахи.
Случайной погрешностью называется составляющая погрешности измерений, изменя- ющаяся случайно при повторных измерениях одной и той же величины. Причины их возник- новения и закономерности неизвестны или их невозможно учесть. Эти погрешности обу- словлены случайными факторами.
Систематической погрешностью измерений называется составляющая погрешности, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. Эти погрешности обусловлены факторами, которые в процессе измере- ний остаются постоянными или изменяются по определённому закону. Их можно учесть или исключить из результатов измерений.
Грубые погрешности - погрешности измерения, существенно превышающие ожидае- мые при данных условиях. Они возникают под влиянием неожиданно сильного проявления одного из случайных факторов. Промахи связаны с неверными действиями оператора.
По причине возникновения погрешности можно разделить на инструментальные, по- грешности установок, внешних влияний, методические, субъективные.
Инструментальные погрешности - обусловлены несовершенством инструментальных средств. Пример: погрешность из-за неточности нанесения делений на отсчетную шкалу, погрешность из-за люфтов и износа деталей.
Погрешность установок - возникает при работе приборов в неправильном положении или из–за несогласованности характеристик приборов, составляющих измерительную уста- новку.
Погрешности внешних влияний появляются в связи с тем, что на работу прибора или количество меры могут оказать влияние температура окружающей среды, влажность, давле- ние, вибрация, воздушные потоки, электрические и магнитные поля
Методические (теоретические) погрешности возникают вследствие недостаточной раз- работки теории метода измерения, а также от упрощений, допускаемых при проведении из- мерений. Пример: Подключение вольтметра с недостаточной чувствительностью (малым внутренним сопротивлением) может существенно изменить распределение токов и напряже- ний в исследуемой схеме.
Субъективные (личные) погрешности обусловлены индивидуальными особенностями оператора (слухом, зрением и т.д.).
Случайные погрешности
Причин, вызывающих погрешности, может быть много, а влияние каждой из них мало и изменчиво. В этом случае величина погрешности является случайной. Устранить случай- ные погрешности невозможно, но существуют методы их оценки, основанные на теории ве- роятности и математической статистике. Задача оценки погрешности результата измерения состоит в том, чтобы охарактеризовать неопределённость полученного результата, т.е. ука- зать границы изменения погрешности результата измерения при повторных измерениях.
Наиболее полной характеристикой случайной погрешности, как и любой случайной величи- ны, является закон распределения их вероятностей, определяющий возможные значения слу- чайной погрешности и вероятность их появления.
В большинстве физических измерений случайные погрешности подчиняются закону нормального распределения - закону Гаусса.
Случайную погрешность
X
i
i -го результата измерения можно представить как раз- ность между результатом измерения и математическим ожиданием М[Х] измеряемой вели-
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
19 чины, которое при отсутствии систематических погрешностей принимается за истинное зна- чение измеряемой величины:
Плотность нормального распределения вероятностей случайных погрешностей или дифференциальная функция нормального распределения Р(x) выражается формулой Гаусса:
;
2
]
[
exp
2 1
)
(
2 2
x
M
x
x
P
2 2
2
exp
2 1
)
(
x
x
P
где
X
- случайная абсолютная погрешность;
- среднеквадратическое отклонение.
Величина
2
- дисперсия случайной погрешности. Она представляет собой математи- ческое ожидание квадрата случайной погрешности, характеризуя разброс результатов изме- рения из-за наличия случайных погрешностей. В теории вероятности эта величина называет- ся вторым центральным моментом:
)
(
)
(
2 2
x
d
x
P
x
. Математическое ожидание – 1-й начальный момент:
dx
x
xP
x
M
)
(
]
[
. Заметим, что математическое ожидание, статистиче- ским аналогом которого является среднее арифметическое в общем случае не равно истин- ному значению измеряемой величины при конечном числе измерений. При N
и отсут- ствии систематической погрешности M[x]
x
0
, где x
0
- истинное значение.
Наряду с нормальным законом распределения случайной величины могут иметь место и другие законы распределения: прямоугольный, треугольный, трапецеидальный. Примера- ми случайных погрешностей с прямоугольным распределением являются погрешности, обу- словленные сухим трением в опорах стрелочного прибора, погрешности отсчёта по равно- мерной шкале аналоговых приборов, погрешности цифрового отсчёта. Дисперсию для этих распределений можно определить по приведенной выше формуле, рассчитав предварительно
P(x). Для расчета P(x) используем свойство
1
)
(
)
(
x
d
x
P
. Например, для прямоугольно- го распределения находим, что P(x)=1/2a в интервале – а
x
а. Полученное значение
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
20
P(x)=1/2a
подставляем в инте- грал
)
(
)
(
2 2
x
d
x
P
x
. Тогда
2
=a
2
/3;
3
a
. Аналогично можно определить, что для треугольного закона
6
a
Оценка погрешности результата изме- рения при n равноточных измерениях.
Наиболее достоверным значением, ко- торое можно приписать измеряемой вели- чине, является среднее арифметическое зна- чение ряда одинаковых измерений:
n
x
X
n
i
i
1
Оценкой математического ожидания
M[x] измеряемой величины будет
X . От- клонение результата каждого измерения (по числовому значению и по знаку) определя- ется из выражения
X
x
x
i
i
. Имеют ме- сто следующие свойства
n
i
i
n
i
i
A
x
x
1 2
1
)
(
;
0
минимальна при А= M[x].
Приближённое значение среднеквадратического отклонения определяется по прибли- жённой формуле Бесселя
1
1 2
n
x
n
i
i
. Оценка среднеквадратического отклонения
харак- теризует точность отдельного измерения и определяется всей совокупностью условий изме- рений. Оценка
2
(дисперсия) характеризует степень рассеяния результата измерений во- круг среднего арифметического. Так как среднее арифметическое обладает некоторой слу- чайной погрешностью, то вводится понятие оценки среднеквадратического отклонения среднеарифметического, равного
;
)
1
(
2 2
1 2
n
n
n
n
x
X
n
i
i
X
Рассмотренные оценки результата измерения, выраженные одним числом, называются точечными оценками.
Точечная оценка погрешности измерения неполная, поскольку
X
указывает на грани- цы интервала, в котором может находиться истинное значение x
0
, но ничего не говорит о ве- роятности попадания x
0 в этот интервал. При интервальной оценке определяется доверитель- ный интервал, между границами которого с определённой вероятностью находится истинное значение x
0
Вероятность попадания случайной погрешности в некоторый заданный интервал между
1
и
2
равна
2 1
2 1
).
(
2
exp
2 1
)
(
)
(
P
2 2
x
d
x
x
d
x
P
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
21
Введя замену переменной k =
x/
для симметричного интервала
1
= -
2
, получим
t
dk
k
t
0 2
2
exp
/
2
)
(
P
, где t =
2
/
. 0
Ф(t)
1. Вычисление данного интеграла поз- воляет установить соответствие между значениями Р и t.
Р
0,5 0,68 0,95 0,98 0,99 0,997 t
0,667 1
2 2,33 2,58 3
Для оценки случайных погрешностей кроме доверительного интервала [-
;
] иногда используют доверительный интервал [-2/3
; 2/3
], но чаще всего [-3
;3
]. При
1,2
= 2/3
(см таблицу) появление случайных погрешностей в пределах и за пределами интервала рав- новероятно. Вероятность появления случайных погрешностей, абсолютное значение которых более 3
, составляет 0,3% (0,003). Интервал
3
в случае нормального закона представляет собой интервал достаточно достоверного результата измерения. Поэтому принято считать при практических измерениях, что появление погрешности, большей 3
, почти исключено.
При технических измерениях, когда значение измеряемой величины определяется при малом числе измерений 2
n <20, размер доверительного интервала увеличивается и пра- вильнее определить его по формуле
1,2
= t
p,n
X
, где t
p,n
- коэффициент распределения Сть- юдента - зависит от задаваемой вероятности P, числа измерений n, и определяется по таб- лице, рассчитанной на основании уравнения
2 1
2 1
2 2
1
)
,
(
k
k
t
k
k
k
k
t
S
где k = n-1
число степеней свободы, S(t,n) -плотность распределения Стьюдента; n – число измерений
P 0,9 0,95 0,98 n
2 6,314 12,706 31,821 3
2,920 4,303 6.965 6
2,015 2,571 3,36
Обработка результатов измерения
Обработка результатов измерения состоит в определении приближённого значения из- меряемой величины x c указанием погрешности. В случае n равноточных измерений она производится по следующему алгоритму.
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
22
Промахи
x i
>3
да
Среднеквадратическое отклонение
1
1 2
n
x
n
i
i
n измерений x
i
Математическое ожидание
M[x] =
X
Остаточные погрешности
x i
= x i
-
X
Ис кл ю
чи ть нет
Среднеквадратическое отклонение сред- него арифметического
n
n
n
x
n
i
i
X
)
1
(
1 2
Результат измерения
X
1,2
Доверительный интервал
1,2
= t
p,n
X
,
Задание доверительной вероятности P.
Определение t
p,n
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
23
Л5.Систематические погрешности,
Систематические погрешности, делятся на постоянные и переменные. Постоянные си- стематические погрешности не изменяются в течение всего времени измерения.
Переменные систематические погрешности могут изменять свою величину и знак в процессе измерений по определённому закону
Обнаружение, оценка и исключение систематических погрешностей является сложной задачей метрологии.
Исключение систематических погрешностей
В любом методе измерений отсутствие тех или иных систематических погрешностей или то, что они имеют малую величину, необходимо доказать. Необнаруженная системати- ческая погрешность опаснее случайной, т.к. случайная погрешность может быть сведена к минимуму большим числом измерений. Поэтому при разработке новых методов измерений или новых приборов необходимо выявить и исключить систематические погрешности. Су- ществуют следующие способы исключение систематических погрешностей:
I.
Устранение источников погрешности до начала измерений.
II.
Исключение погрешности в процессе измерений.
III.
Внесение поправок в результат измерений.
До начала измерения можно провести поверку прибора и его регулировку, т.е. исклю- чить инструментальную погрешность, носящую систематический характер.
Исключение погрешности в процессе измерения осуществляется двумя способами: а) Способ замещения заключается в том, что измеряемый объект заменяется образцом, при неизменном условии проведения опыта. б) Способ компенсации систематической погрешности по знаку заключается в том, что производится два измерения, при которых систематическая погрешность один раз входит в результат со знаком "+", а в другой раз со знаком "-". Среднее арифметическое не содержит погрешности.
Исключение систематической погрешности после измерения производится путём вне- сения поправок или умножения на поправочный коэффициент результата измерения. Если поправка складывается с результатом, то такая систематическая погрешность называется ад- дитивной (погрешность установки нуля). Если для устранения погрешности необходимо умножить результат на некоторый коэффициент, то такая погрешность называется мульти- пликативной (погрешность чувствительности прибора).
Часто исключить систематическую погрешность не удаётся по одной из двух причин:
1. Не с чем сравнить результат для поверки.
2. Измерение проводилось с помощью интегрирующих приборов, когда сама измеряе- мая величина непрерывно изменяется. В таких случаях необходимо определить границы возможных систематических погрешностей.
Погрешности средств измерений.
Различают погрешности результата измерения и погрешность самого прибора или ме- ры. Погрешность результата измерения включает помимо погрешности прибора и другие со- ставляющие, например, погрешность метода, субъективную погрешность. Погрешность средств измерений может иметь обе составляющие - систематическую и случайную.
Все средства измерений, независимо от их конкретного исполнения, обладают рядом общих свойств, необходимых для выполнения ими их функционального назначения. Техни- ческие характеристики, описывающие эти свойства и оказывающие влияние на результаты и на погрешности измерений, называются метрологическими характеристиками. Перечень важнейших из них регламентируется ГОСТ 8.009—72 «ГСИ. Нормируемые метрологические
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
24 характеристики средств измерений». Комплекс нормируемых метрологических характери- стик устанавливается таким образом, чтобы с их помощью можно было оценить погреш- ность измерений, осуществляемых в известных рабочих условиях эксплуатации посредством отдельных средств измерений или совокупности средств измерений, например, автоматиче- ских измерительных систем.
Одной из основных метрологических характеристик измерительных преобразователей является статическая характеристика преобразования (иначе называемая функцией преобра- зования или градуировочной характеристикой). Она устанавливает зависимость у = f(х) ин- формативного параметра
1 2 3 4 5
Эталоны времени и частоты
Измерения времени и частоты колебаний тесно связаны друг с другом, и их единица воспроизводится одним и тем же эталоном. Астрономические шкалы времени базируются на явлениях вращения Земли вокруг собственной оси и обращения Земли вокруг Солнца по
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
15 слегка эллиптической орбите. Однако такие шкалы не могут быть достаточно точными т. к. параметры движения небесных тел не постоянны.
В 1967 г. XIII Генеральная конференция по мерам и весам постановила, что квантовый переход между линиями сверхтонкой структуры атома
133
Cs, а именно невозмущенный внешними полями переход F = 4, m
F
= 0
F = 3; m
F
= 0 основного состояния
2
S
1/2
, дает ча- стоту 9,192631770 ГГц точно. Тем самым определяется, и единица времени — секунда — как интервал времени, в течение которого совершается 9 192 631 770 колебаний излучения при этом переходе.
Ядро атома цезия, обладающее магнитным моментом (спин I=7/2), взаимодействует с магнитным моментом валентного электрона (спин I=1/2). Это и приводит к расщеплению ос- новного электронного уровня атома на ряд подуровней т. е. к образованию так называемой сверхтонкой структуры. Частоты, соответствующие переходам между уровнями сверхтонкой структуры, попадают в диапазон радиочастот. Очень важно, что энергия перехода между уровнями сверхтонкой структуры, а стало быть, и соответствующая частота, очень мало за- висят от внешних магнитных полей.
В эталонах удается настолько снизить напряженность внешних магнитных полей, что смещение частоты, соответствую- щей используемому переходу, со- ставляет всего 10
-12
от частоты при полном отсутствии внешних маг- нитных полей. От других парамет- ров (электрического поля, давления, плотности пучка и т. п.) частота пе- рехода зависит еще меньше.
На рис. приведена схема це- зиевого атомно-лучевого эталона времени и частоты.
Источник 1 атомного пучка представляет собой контейнер из металла, стойкого по от- ношению к щелочам. В стенке контейнера имеются каналы, формирующие пучок. Темпера- тура источника 100
150°С. Магниты 2 служат для сортировки атомов пучка по состояниям сверхтонкой структуры: выделяются атомы, находящиеся в состояниях F = 3, m
F
=0 и F =4, m
F
= 0.
К резонаторам 3 подводится сверхвысокочастотный сигнал, частоту которого можно в некоторых пределах изменять около значения 9192631770 Гц. В результате действия этого сигнала, выделенные атомы переходят из состояния F = 3, m
F
=0 в состояние F =4, m
F
= 0 или обратно. Второй сортирующий магнит выделяет из пучка только те атомы, которые пе- решли из одного состояния в другое в результате взаимодействия сполем сигнала. Атомы, совершившие переход, попадают в приемник 4 и регистрируются индикатором 5.
Если частота подводимого сигнала точно соответствует частоте перехода, то показания индикатора максимальны. Если же частота сигнала отличается от частоты перехода, то пока- зания индикатора резко уменьшаются. Это и служит основой стабилизации частоты. Частота сигнала, соответствующая максимальным показаниям индикатора, принимается за
9192631770 Гц.
Все узлы установки помещены в камеру, в которой поддерживается высокий вакуум.
Стабильность эталона с атомным пучком цезия равна 10
-11
, в настоящее время их ис- пользуют службы времени и часто- ты.
Принцип работы водородных генераторов (на атомарном водоро- де) основан на использовании кван-
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
16 тового перехода между состояниями F = 1, m
F
= 0 и F = 0, m
F
= 0 в сверхтонкой структуре основного состояния атомовводорода,частота которого при отсутствии внешних воздей- ствий постоянна и равна 1420405751,8 Гц.
Схема и принцип действия водородного генератора изображены на рис.
Атомы водорода получаются в источнике 1, представляющем собой стеклянную труб- ку, где происходит диссоциация молекул водорода под действием высокочастотного элек- трического разряда. Пучок атомов водорода выходит из источника через коллиматор, обес- печивающий его направленность, и попадает в поле шестиполюсного аксиального магнита 2.
В сильном неоднородном поле, создаваемом этим магнитом, происходит пространственная сортировка атомов в пучке, так что атомы, находящиеся на уровне F = 1, m
F
= 0, фокусиру- ются на вход накопительной ячейки 3, которая расположена внутри высокодобротного объ- емного резонатора 4, настроенного на частоту используемого перехода.
Конструкция ячейки такова, что атомы находятся в резонаторе около секунды. Ее стен- ки покрыты фторопластом, в результате чего даже при более чем 10 5
соударениях атома во- дорода со стенкой его энергетическое состояние не меняется.
Взаимодействие возбужденных атомов с высокочастотным полем резонатора в течение секунды повышает вероятность их перехода в нижнее энергетическое состояние и вызывает самовозбуждение генератора, а также увеличивает добротность линии излучения и соответ- ственно стабильность частоты генератора.
Для уменьшения влияния внешних магнитных полей на частоту водородного генерато- ра резонатор помещают в многослойный экран 5.
В Государственном первичном эталоне времени и частоты используются квантовые меры, в которых за опорную принимается частота, соответствующая частоте энергетическо- го перехода в атомах или молекулах выбранного вещества. Квантовые меры подразделяются на реперы и хранители. Они различаются тем, что реперы включаются эпизодически с целью осуществления поверок и регулировок средств измерения частоты, а хранители (часы) рабо- тают непрерывно и для них определяется значение фазы выходного сигнала относительно некоторого начального момента. Таким образом, квантовые меры частоты (реперы) обеспе- чивают воспроизведение единицы времени и частоты, а квантовые часы (хранители времени) служат для воспроизведения шкал времени ТА (SU) и UTC(SU).
В состав Государственного первичного эталона входят: цезиевый репер; цезиевые ча- сы; водородные реперы и часы; рубидиевые часы (квантовый генератор на рубидии с опти- ческой накачкой); аппаратура внутренних и внешних сличений эталонов и аппаратура средств обеспечения.
Цезиевый репер, входящий в состав эталона, включается два раза в месяц, и с его по- мощью определяют частоту рубидиевых часов, отличающихся высокой кратковременной стабильностью (порядка 1*10
-13
—2*10
-13
в течение 1
10 с, за сутки приблизительно на два порядка хуже). Одновременно путем сравнения с частотой рубидиевых часов, определяют частоту водородных реперов. После этого в течение полумесяца с ними сравнивают основ- ные хранители эталона — водородные и цезиевые часы.
Государственный первичный эталон времени и частоты обеспечивает воспроизведение единиц с относительным средним квадратическим отклонением результата измерений, не большим 1 * 10
-13
, при неисключенной относительной систематической погрешности, не превышающей 1*10
-12
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
17
Л4. Классификация способов и методов измерений.
По способу получения результатов измерения (виду уравнения измерения) различают прямые, косвенные, совокупные и совместные измерения.
Прямыми измерениями называют такие, при которых значение физической величины находят непосредственно из опытных данных (уравнение Q = X). Пример: измерение тока с помощью амперметра.
Косвенные измерения - такие, при которых искомое значение физической величины Y находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами X
1
,
X
2
,….X
n подвергаемыми прямым измерениям. Y= f(X
1
, X
2
,….X
n
). Пример: измерение мощ- ности методом амперметра, вольтметра. P = U*I.
Совокупными измерениями называют измерения, производимые одновременно для не- скольких одноименных величин, при которых искомую величину находят решением систе- мы уравнений, для получаемых при прямых измерениях различных сочетаний этих величин.
Пример: измерение индуктивности катушки и межвитковой ёмкости.
Совместными измерениями называют проводимые одновременно измерения двух или нескольких неодноимённых величин для нахождения зависимости между ними.
Пример: определение температурного коэффициента сопротивление резистора.
Принцип измерений - совокупность физических явлений, на которых основаны измере- ния. Пример: измерение напряжения на основе электростатического взаимодействия заря- жённых проводников.
Метод измерений - совокупность приёмов, используемых принципов и средств измере- ния. Различают два основных метода измерений: непосредственной оценки и сравнения с мерой.
Метод непосредственной оценки - метод измерений, в котором значение физической величины определяют непосредственно по отсчётному устройству измерительного прибора прямого действия.
Методы сравнения с мерой - методы измерений, в которых измеряемую величину находят, сравнивая с величиной, воспроизводимой мерой. Пример: измерение напряжения постоянного тока на компенсаторе сравнением с Э.Д.С. нормального элемента. В методе сравнения с мерой можно выделить следующие разновидности: а) Метод противопоставления, - в котором измеряемая величина и величина воспроиз- водимая мерой одновременно воздействуют на прибор сравнения, с помощью которого уста- навливается соотношение между этими величинами. Пример: измерение частоты на осцил- лографе с помощью фигур Лиссажу. б) Нулевой метод – разновидность метода сравнения, в котором результирующий эф- фект воздействия на прибор сравнения доводят до нуля. в) Метод дифференциальный, в котором на измерительный прибор (не обязательно прибор сравнения) действует разность измеряемой величины и величины воспроизводимой мерой. Пример: измерение электрического сопротивления мостом с неполным его уравнове- шиванием. г) Метод замещения, - в котором измеряемую величину замещают в измерительной установке известной величиной, воспроизводимой мерой, Пример: измерение амплитуды напряжения на осциллографе, имеющем калибратор напряжения. д) Метод совпадения - о значении разности измеряемой величины и величины воспро- изводимой мерой судят по совпадению отметок шкал или периодических сигналов. На этом методе основана работа многих цифровых измерительных приборов, стробоскопа, нони- усной шкалы.
Элементы теории погрешностей
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
18
В зависимости от характера проявления, причин возникновения, а также способов учё- та или исключения все погрешности измерений можно разделить на три группы:
1) случайные;
2) систематические;
3) Грубые погрешности и промахи.
Случайной погрешностью называется составляющая погрешности измерений, изменя- ющаяся случайно при повторных измерениях одной и той же величины. Причины их возник- новения и закономерности неизвестны или их невозможно учесть. Эти погрешности обу- словлены случайными факторами.
Систематической погрешностью измерений называется составляющая погрешности, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. Эти погрешности обусловлены факторами, которые в процессе измере- ний остаются постоянными или изменяются по определённому закону. Их можно учесть или исключить из результатов измерений.
Грубые погрешности - погрешности измерения, существенно превышающие ожидае- мые при данных условиях. Они возникают под влиянием неожиданно сильного проявления одного из случайных факторов. Промахи связаны с неверными действиями оператора.
По причине возникновения погрешности можно разделить на инструментальные, по- грешности установок, внешних влияний, методические, субъективные.
Инструментальные погрешности - обусловлены несовершенством инструментальных средств. Пример: погрешность из-за неточности нанесения делений на отсчетную шкалу, погрешность из-за люфтов и износа деталей.
Погрешность установок - возникает при работе приборов в неправильном положении или из–за несогласованности характеристик приборов, составляющих измерительную уста- новку.
Погрешности внешних влияний появляются в связи с тем, что на работу прибора или количество меры могут оказать влияние температура окружающей среды, влажность, давле- ние, вибрация, воздушные потоки, электрические и магнитные поля
Методические (теоретические) погрешности возникают вследствие недостаточной раз- работки теории метода измерения, а также от упрощений, допускаемых при проведении из- мерений. Пример: Подключение вольтметра с недостаточной чувствительностью (малым внутренним сопротивлением) может существенно изменить распределение токов и напряже- ний в исследуемой схеме.
Субъективные (личные) погрешности обусловлены индивидуальными особенностями оператора (слухом, зрением и т.д.).
Случайные погрешности
Причин, вызывающих погрешности, может быть много, а влияние каждой из них мало и изменчиво. В этом случае величина погрешности является случайной. Устранить случай- ные погрешности невозможно, но существуют методы их оценки, основанные на теории ве- роятности и математической статистике. Задача оценки погрешности результата измерения состоит в том, чтобы охарактеризовать неопределённость полученного результата, т.е. ука- зать границы изменения погрешности результата измерения при повторных измерениях.
Наиболее полной характеристикой случайной погрешности, как и любой случайной величи- ны, является закон распределения их вероятностей, определяющий возможные значения слу- чайной погрешности и вероятность их появления.
В большинстве физических измерений случайные погрешности подчиняются закону нормального распределения - закону Гаусса.
Случайную погрешность
X
i
i -го результата измерения можно представить как раз- ность между результатом измерения и математическим ожиданием М[Х] измеряемой вели-
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
19 чины, которое при отсутствии систематических погрешностей принимается за истинное зна- чение измеряемой величины:
Плотность нормального распределения вероятностей случайных погрешностей или дифференциальная функция нормального распределения Р(x) выражается формулой Гаусса:
;
2
]
[
exp
2 1
)
(
2 2
x
M
x
x
P
2 2
2
exp
2 1
)
(
x
x
P
где
X
- случайная абсолютная погрешность;
- среднеквадратическое отклонение.
Величина
2
- дисперсия случайной погрешности. Она представляет собой математи- ческое ожидание квадрата случайной погрешности, характеризуя разброс результатов изме- рения из-за наличия случайных погрешностей. В теории вероятности эта величина называет- ся вторым центральным моментом:
)
(
)
(
2 2
x
d
x
P
x
. Математическое ожидание – 1-й начальный момент:
dx
x
xP
x
M
)
(
]
[
. Заметим, что математическое ожидание, статистиче- ским аналогом которого является среднее арифметическое в общем случае не равно истин- ному значению измеряемой величины при конечном числе измерений. При N
и отсут- ствии систематической погрешности M[x]
x
0
, где x
0
- истинное значение.
Наряду с нормальным законом распределения случайной величины могут иметь место и другие законы распределения: прямоугольный, треугольный, трапецеидальный. Примера- ми случайных погрешностей с прямоугольным распределением являются погрешности, обу- словленные сухим трением в опорах стрелочного прибора, погрешности отсчёта по равно- мерной шкале аналоговых приборов, погрешности цифрового отсчёта. Дисперсию для этих распределений можно определить по приведенной выше формуле, рассчитав предварительно
P(x). Для расчета P(x) используем свойство
1
)
(
)
(
x
d
x
P
. Например, для прямоугольно- го распределения находим, что P(x)=1/2a в интервале – а
x
а. Полученное значение
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
20
P(x)=1/2a
подставляем в инте- грал
)
(
)
(
2 2
x
d
x
P
x
. Тогда
2
=a
2
/3;
3
a
. Аналогично можно определить, что для треугольного закона
6
a
Оценка погрешности результата изме- рения при n равноточных измерениях.
Наиболее достоверным значением, ко- торое можно приписать измеряемой вели- чине, является среднее арифметическое зна- чение ряда одинаковых измерений:
n
x
X
n
i
i
1
Оценкой математического ожидания
M[x] измеряемой величины будет
X . От- клонение результата каждого измерения (по числовому значению и по знаку) определя- ется из выражения
X
x
x
i
i
. Имеют ме- сто следующие свойства
n
i
i
n
i
i
A
x
x
1 2
1
)
(
;
0
минимальна при А= M[x].
Приближённое значение среднеквадратического отклонения определяется по прибли- жённой формуле Бесселя
1
1 2
n
x
n
i
i
. Оценка среднеквадратического отклонения
харак- теризует точность отдельного измерения и определяется всей совокупностью условий изме- рений. Оценка
2
(дисперсия) характеризует степень рассеяния результата измерений во- круг среднего арифметического. Так как среднее арифметическое обладает некоторой слу- чайной погрешностью, то вводится понятие оценки среднеквадратического отклонения среднеарифметического, равного
;
)
1
(
2 2
1 2
n
n
n
n
x
X
n
i
i
X
Рассмотренные оценки результата измерения, выраженные одним числом, называются точечными оценками.
Точечная оценка погрешности измерения неполная, поскольку
X
указывает на грани- цы интервала, в котором может находиться истинное значение x
0
, но ничего не говорит о ве- роятности попадания x
0 в этот интервал. При интервальной оценке определяется доверитель- ный интервал, между границами которого с определённой вероятностью находится истинное значение x
0
Вероятность попадания случайной погрешности в некоторый заданный интервал между
1
и
2
равна
2 1
2 1
).
(
2
exp
2 1
)
(
)
(
P
2 2
x
d
x
x
d
x
P
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
21
Введя замену переменной k =
x/
для симметричного интервала
1
= -
2
, получим
t
dk
k
t
0 2
2
exp
/
2
)
(
P
, где t =
2
/
. 0
Ф(t)
1. Вычисление данного интеграла поз- воляет установить соответствие между значениями Р и t.
Р
0,5 0,68 0,95 0,98 0,99 0,997 t
0,667 1
2 2,33 2,58 3
Для оценки случайных погрешностей кроме доверительного интервала [-
;
] иногда используют доверительный интервал [-2/3
; 2/3
], но чаще всего [-3
;3
]. При
1,2
= 2/3
(см таблицу) появление случайных погрешностей в пределах и за пределами интервала рав- новероятно. Вероятность появления случайных погрешностей, абсолютное значение которых более 3
, составляет 0,3% (0,003). Интервал
3
в случае нормального закона представляет собой интервал достаточно достоверного результата измерения. Поэтому принято считать при практических измерениях, что появление погрешности, большей 3
, почти исключено.
При технических измерениях, когда значение измеряемой величины определяется при малом числе измерений 2
n <20, размер доверительного интервала увеличивается и пра- вильнее определить его по формуле
1,2
= t
p,n
X
, где t
p,n
- коэффициент распределения Сть- юдента - зависит от задаваемой вероятности P, числа измерений n, и определяется по таб- лице, рассчитанной на основании уравнения
2 1
2 1
2 2
1
)
,
(
k
k
t
k
k
k
k
t
S
где k = n-1
число степеней свободы, S(t,n) -плотность распределения Стьюдента; n – число измерений
P 0,9 0,95 0,98 n
2 6,314 12,706 31,821 3
2,920 4,303 6.965 6
2,015 2,571 3,36
Обработка результатов измерения
Обработка результатов измерения состоит в определении приближённого значения из- меряемой величины x c указанием погрешности. В случае n равноточных измерений она производится по следующему алгоритму.
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
22
Промахи
x i
>3
да
Среднеквадратическое отклонение
1
1 2
n
x
n
i
i
n измерений x
i
Математическое ожидание
M[x] =
X
Остаточные погрешности
x i
= x i
-
X
Ис кл ю
чи ть нет
Среднеквадратическое отклонение сред- него арифметического
n
n
n
x
n
i
i
X
)
1
(
1 2
Результат измерения
X
1,2
Доверительный интервал
1,2
= t
p,n
X
,
Задание доверительной вероятности P.
Определение t
p,n
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
23
Л5.Систематические погрешности,
Систематические погрешности, делятся на постоянные и переменные. Постоянные си- стематические погрешности не изменяются в течение всего времени измерения.
Переменные систематические погрешности могут изменять свою величину и знак в процессе измерений по определённому закону
Обнаружение, оценка и исключение систематических погрешностей является сложной задачей метрологии.
Исключение систематических погрешностей
В любом методе измерений отсутствие тех или иных систематических погрешностей или то, что они имеют малую величину, необходимо доказать. Необнаруженная системати- ческая погрешность опаснее случайной, т.к. случайная погрешность может быть сведена к минимуму большим числом измерений. Поэтому при разработке новых методов измерений или новых приборов необходимо выявить и исключить систематические погрешности. Су- ществуют следующие способы исключение систематических погрешностей:
I.
Устранение источников погрешности до начала измерений.
II.
Исключение погрешности в процессе измерений.
III.
Внесение поправок в результат измерений.
До начала измерения можно провести поверку прибора и его регулировку, т.е. исклю- чить инструментальную погрешность, носящую систематический характер.
Исключение погрешности в процессе измерения осуществляется двумя способами: а) Способ замещения заключается в том, что измеряемый объект заменяется образцом, при неизменном условии проведения опыта. б) Способ компенсации систематической погрешности по знаку заключается в том, что производится два измерения, при которых систематическая погрешность один раз входит в результат со знаком "+", а в другой раз со знаком "-". Среднее арифметическое не содержит погрешности.
Исключение систематической погрешности после измерения производится путём вне- сения поправок или умножения на поправочный коэффициент результата измерения. Если поправка складывается с результатом, то такая систематическая погрешность называется ад- дитивной (погрешность установки нуля). Если для устранения погрешности необходимо умножить результат на некоторый коэффициент, то такая погрешность называется мульти- пликативной (погрешность чувствительности прибора).
Часто исключить систематическую погрешность не удаётся по одной из двух причин:
1. Не с чем сравнить результат для поверки.
2. Измерение проводилось с помощью интегрирующих приборов, когда сама измеряе- мая величина непрерывно изменяется. В таких случаях необходимо определить границы возможных систематических погрешностей.
Погрешности средств измерений.
Различают погрешности результата измерения и погрешность самого прибора или ме- ры. Погрешность результата измерения включает помимо погрешности прибора и другие со- ставляющие, например, погрешность метода, субъективную погрешность. Погрешность средств измерений может иметь обе составляющие - систематическую и случайную.
Все средства измерений, независимо от их конкретного исполнения, обладают рядом общих свойств, необходимых для выполнения ими их функционального назначения. Техни- ческие характеристики, описывающие эти свойства и оказывающие влияние на результаты и на погрешности измерений, называются метрологическими характеристиками. Перечень важнейших из них регламентируется ГОСТ 8.009—72 «ГСИ. Нормируемые метрологические
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
24 характеристики средств измерений». Комплекс нормируемых метрологических характери- стик устанавливается таким образом, чтобы с их помощью можно было оценить погреш- ность измерений, осуществляемых в известных рабочих условиях эксплуатации посредством отдельных средств измерений или совокупности средств измерений, например, автоматиче- ских измерительных систем.
Одной из основных метрологических характеристик измерительных преобразователей является статическая характеристика преобразования (иначе называемая функцией преобра- зования или градуировочной характеристикой). Она устанавливает зависимость у = f(х) ин- формативного параметра
1 2 3 4 5
Эталоны времени и частоты
Измерения времени и частоты колебаний тесно связаны друг с другом, и их единица воспроизводится одним и тем же эталоном. Астрономические шкалы времени базируются на явлениях вращения Земли вокруг собственной оси и обращения Земли вокруг Солнца по
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
15 слегка эллиптической орбите. Однако такие шкалы не могут быть достаточно точными т. к. параметры движения небесных тел не постоянны.
В 1967 г. XIII Генеральная конференция по мерам и весам постановила, что квантовый переход между линиями сверхтонкой структуры атома
133
Cs, а именно невозмущенный внешними полями переход F = 4, m
F
= 0
F = 3; m
F
= 0 основного состояния
2
S
1/2
, дает ча- стоту 9,192631770 ГГц точно. Тем самым определяется, и единица времени — секунда — как интервал времени, в течение которого совершается 9 192 631 770 колебаний излучения при этом переходе.
Ядро атома цезия, обладающее магнитным моментом (спин I=7/2), взаимодействует с магнитным моментом валентного электрона (спин I=1/2). Это и приводит к расщеплению ос- новного электронного уровня атома на ряд подуровней т. е. к образованию так называемой сверхтонкой структуры. Частоты, соответствующие переходам между уровнями сверхтонкой структуры, попадают в диапазон радиочастот. Очень важно, что энергия перехода между уровнями сверхтонкой структуры, а стало быть, и соответствующая частота, очень мало за- висят от внешних магнитных полей.
В эталонах удается настолько снизить напряженность внешних магнитных полей, что смещение частоты, соответствую- щей используемому переходу, со- ставляет всего 10
-12
от частоты при полном отсутствии внешних маг- нитных полей. От других парамет- ров (электрического поля, давления, плотности пучка и т. п.) частота пе- рехода зависит еще меньше.
На рис. приведена схема це- зиевого атомно-лучевого эталона времени и частоты.
Источник 1 атомного пучка представляет собой контейнер из металла, стойкого по от- ношению к щелочам. В стенке контейнера имеются каналы, формирующие пучок. Темпера- тура источника 100
150°С. Магниты 2 служат для сортировки атомов пучка по состояниям сверхтонкой структуры: выделяются атомы, находящиеся в состояниях F = 3, m
F
=0 и F =4, m
F
= 0.
К резонаторам 3 подводится сверхвысокочастотный сигнал, частоту которого можно в некоторых пределах изменять около значения 9192631770 Гц. В результате действия этого сигнала, выделенные атомы переходят из состояния F = 3, m
F
=0 в состояние F =4, m
F
= 0 или обратно. Второй сортирующий магнит выделяет из пучка только те атомы, которые пе- решли из одного состояния в другое в результате взаимодействия сполем сигнала. Атомы, совершившие переход, попадают в приемник 4 и регистрируются индикатором 5.
Если частота подводимого сигнала точно соответствует частоте перехода, то показания индикатора максимальны. Если же частота сигнала отличается от частоты перехода, то пока- зания индикатора резко уменьшаются. Это и служит основой стабилизации частоты. Частота сигнала, соответствующая максимальным показаниям индикатора, принимается за
9192631770 Гц.
Все узлы установки помещены в камеру, в которой поддерживается высокий вакуум.
Стабильность эталона с атомным пучком цезия равна 10
-11
, в настоящее время их ис- пользуют службы времени и часто- ты.
Принцип работы водородных генераторов (на атомарном водоро- де) основан на использовании кван-
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
16 тового перехода между состояниями F = 1, m
F
= 0 и F = 0, m
F
= 0 в сверхтонкой структуре основного состояния атомовводорода,частота которого при отсутствии внешних воздей- ствий постоянна и равна 1420405751,8 Гц.
Схема и принцип действия водородного генератора изображены на рис.
Атомы водорода получаются в источнике 1, представляющем собой стеклянную труб- ку, где происходит диссоциация молекул водорода под действием высокочастотного элек- трического разряда. Пучок атомов водорода выходит из источника через коллиматор, обес- печивающий его направленность, и попадает в поле шестиполюсного аксиального магнита 2.
В сильном неоднородном поле, создаваемом этим магнитом, происходит пространственная сортировка атомов в пучке, так что атомы, находящиеся на уровне F = 1, m
F
= 0, фокусиру- ются на вход накопительной ячейки 3, которая расположена внутри высокодобротного объ- емного резонатора 4, настроенного на частоту используемого перехода.
Конструкция ячейки такова, что атомы находятся в резонаторе около секунды. Ее стен- ки покрыты фторопластом, в результате чего даже при более чем 10 5
соударениях атома во- дорода со стенкой его энергетическое состояние не меняется.
Взаимодействие возбужденных атомов с высокочастотным полем резонатора в течение секунды повышает вероятность их перехода в нижнее энергетическое состояние и вызывает самовозбуждение генератора, а также увеличивает добротность линии излучения и соответ- ственно стабильность частоты генератора.
Для уменьшения влияния внешних магнитных полей на частоту водородного генерато- ра резонатор помещают в многослойный экран 5.
В Государственном первичном эталоне времени и частоты используются квантовые меры, в которых за опорную принимается частота, соответствующая частоте энергетическо- го перехода в атомах или молекулах выбранного вещества. Квантовые меры подразделяются на реперы и хранители. Они различаются тем, что реперы включаются эпизодически с целью осуществления поверок и регулировок средств измерения частоты, а хранители (часы) рабо- тают непрерывно и для них определяется значение фазы выходного сигнала относительно некоторого начального момента. Таким образом, квантовые меры частоты (реперы) обеспе- чивают воспроизведение единицы времени и частоты, а квантовые часы (хранители времени) служат для воспроизведения шкал времени ТА (SU) и UTC(SU).
В состав Государственного первичного эталона входят: цезиевый репер; цезиевые ча- сы; водородные реперы и часы; рубидиевые часы (квантовый генератор на рубидии с опти- ческой накачкой); аппаратура внутренних и внешних сличений эталонов и аппаратура средств обеспечения.
Цезиевый репер, входящий в состав эталона, включается два раза в месяц, и с его по- мощью определяют частоту рубидиевых часов, отличающихся высокой кратковременной стабильностью (порядка 1*10
-13
—2*10
-13
в течение 1
10 с, за сутки приблизительно на два порядка хуже). Одновременно путем сравнения с частотой рубидиевых часов, определяют частоту водородных реперов. После этого в течение полумесяца с ними сравнивают основ- ные хранители эталона — водородные и цезиевые часы.
Государственный первичный эталон времени и частоты обеспечивает воспроизведение единиц с относительным средним квадратическим отклонением результата измерений, не большим 1 * 10
-13
, при неисключенной относительной систематической погрешности, не превышающей 1*10
-12
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
17
Л4. Классификация способов и методов измерений.
По способу получения результатов измерения (виду уравнения измерения) различают прямые, косвенные, совокупные и совместные измерения.
Прямыми измерениями называют такие, при которых значение физической величины находят непосредственно из опытных данных (уравнение Q = X). Пример: измерение тока с помощью амперметра.
Косвенные измерения - такие, при которых искомое значение физической величины Y находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами X
1
,
X
2
,….X
n подвергаемыми прямым измерениям. Y= f(X
1
, X
2
,….X
n
). Пример: измерение мощ- ности методом амперметра, вольтметра. P = U*I.
Совокупными измерениями называют измерения, производимые одновременно для не- скольких одноименных величин, при которых искомую величину находят решением систе- мы уравнений, для получаемых при прямых измерениях различных сочетаний этих величин.
Пример: измерение индуктивности катушки и межвитковой ёмкости.
Совместными измерениями называют проводимые одновременно измерения двух или нескольких неодноимённых величин для нахождения зависимости между ними.
Пример: определение температурного коэффициента сопротивление резистора.
Принцип измерений - совокупность физических явлений, на которых основаны измере- ния. Пример: измерение напряжения на основе электростатического взаимодействия заря- жённых проводников.
Метод измерений - совокупность приёмов, используемых принципов и средств измере- ния. Различают два основных метода измерений: непосредственной оценки и сравнения с мерой.
Метод непосредственной оценки - метод измерений, в котором значение физической величины определяют непосредственно по отсчётному устройству измерительного прибора прямого действия.
Методы сравнения с мерой - методы измерений, в которых измеряемую величину находят, сравнивая с величиной, воспроизводимой мерой. Пример: измерение напряжения постоянного тока на компенсаторе сравнением с Э.Д.С. нормального элемента. В методе сравнения с мерой можно выделить следующие разновидности: а) Метод противопоставления, - в котором измеряемая величина и величина воспроиз- водимая мерой одновременно воздействуют на прибор сравнения, с помощью которого уста- навливается соотношение между этими величинами. Пример: измерение частоты на осцил- лографе с помощью фигур Лиссажу. б) Нулевой метод – разновидность метода сравнения, в котором результирующий эф- фект воздействия на прибор сравнения доводят до нуля. в) Метод дифференциальный, в котором на измерительный прибор (не обязательно прибор сравнения) действует разность измеряемой величины и величины воспроизводимой мерой. Пример: измерение электрического сопротивления мостом с неполным его уравнове- шиванием. г) Метод замещения, - в котором измеряемую величину замещают в измерительной установке известной величиной, воспроизводимой мерой, Пример: измерение амплитуды напряжения на осциллографе, имеющем калибратор напряжения. д) Метод совпадения - о значении разности измеряемой величины и величины воспро- изводимой мерой судят по совпадению отметок шкал или периодических сигналов. На этом методе основана работа многих цифровых измерительных приборов, стробоскопа, нони- усной шкалы.
Элементы теории погрешностей
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
18
В зависимости от характера проявления, причин возникновения, а также способов учё- та или исключения все погрешности измерений можно разделить на три группы:
1) случайные;
2) систематические;
3) Грубые погрешности и промахи.
Случайной погрешностью называется составляющая погрешности измерений, изменя- ющаяся случайно при повторных измерениях одной и той же величины. Причины их возник- новения и закономерности неизвестны или их невозможно учесть. Эти погрешности обу- словлены случайными факторами.
Систематической погрешностью измерений называется составляющая погрешности, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. Эти погрешности обусловлены факторами, которые в процессе измере- ний остаются постоянными или изменяются по определённому закону. Их можно учесть или исключить из результатов измерений.
Грубые погрешности - погрешности измерения, существенно превышающие ожидае- мые при данных условиях. Они возникают под влиянием неожиданно сильного проявления одного из случайных факторов. Промахи связаны с неверными действиями оператора.
По причине возникновения погрешности можно разделить на инструментальные, по- грешности установок, внешних влияний, методические, субъективные.
Инструментальные погрешности - обусловлены несовершенством инструментальных средств. Пример: погрешность из-за неточности нанесения делений на отсчетную шкалу, погрешность из-за люфтов и износа деталей.
Погрешность установок - возникает при работе приборов в неправильном положении или из–за несогласованности характеристик приборов, составляющих измерительную уста- новку.
Погрешности внешних влияний появляются в связи с тем, что на работу прибора или количество меры могут оказать влияние температура окружающей среды, влажность, давле- ние, вибрация, воздушные потоки, электрические и магнитные поля
Методические (теоретические) погрешности возникают вследствие недостаточной раз- работки теории метода измерения, а также от упрощений, допускаемых при проведении из- мерений. Пример: Подключение вольтметра с недостаточной чувствительностью (малым внутренним сопротивлением) может существенно изменить распределение токов и напряже- ний в исследуемой схеме.
Субъективные (личные) погрешности обусловлены индивидуальными особенностями оператора (слухом, зрением и т.д.).
Случайные погрешности
Причин, вызывающих погрешности, может быть много, а влияние каждой из них мало и изменчиво. В этом случае величина погрешности является случайной. Устранить случай- ные погрешности невозможно, но существуют методы их оценки, основанные на теории ве- роятности и математической статистике. Задача оценки погрешности результата измерения состоит в том, чтобы охарактеризовать неопределённость полученного результата, т.е. ука- зать границы изменения погрешности результата измерения при повторных измерениях.
Наиболее полной характеристикой случайной погрешности, как и любой случайной величи- ны, является закон распределения их вероятностей, определяющий возможные значения слу- чайной погрешности и вероятность их появления.
В большинстве физических измерений случайные погрешности подчиняются закону нормального распределения - закону Гаусса.
Случайную погрешность
X
i
i -го результата измерения можно представить как раз- ность между результатом измерения и математическим ожиданием М[Х] измеряемой вели-
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
19 чины, которое при отсутствии систематических погрешностей принимается за истинное зна- чение измеряемой величины:
Плотность нормального распределения вероятностей случайных погрешностей или дифференциальная функция нормального распределения Р(x) выражается формулой Гаусса:
;
2
]
[
exp
2 1
)
(
2 2
x
M
x
x
P
2 2
2
exp
2 1
)
(
x
x
P
где
X
- случайная абсолютная погрешность;
- среднеквадратическое отклонение.
Величина
2
- дисперсия случайной погрешности. Она представляет собой математи- ческое ожидание квадрата случайной погрешности, характеризуя разброс результатов изме- рения из-за наличия случайных погрешностей. В теории вероятности эта величина называет- ся вторым центральным моментом:
)
(
)
(
2 2
x
d
x
P
x
. Математическое ожидание – 1-й начальный момент:
dx
x
xP
x
M
)
(
]
[
. Заметим, что математическое ожидание, статистиче- ским аналогом которого является среднее арифметическое в общем случае не равно истин- ному значению измеряемой величины при конечном числе измерений. При N
и отсут- ствии систематической погрешности M[x]
x
0
, где x
0
- истинное значение.
Наряду с нормальным законом распределения случайной величины могут иметь место и другие законы распределения: прямоугольный, треугольный, трапецеидальный. Примера- ми случайных погрешностей с прямоугольным распределением являются погрешности, обу- словленные сухим трением в опорах стрелочного прибора, погрешности отсчёта по равно- мерной шкале аналоговых приборов, погрешности цифрового отсчёта. Дисперсию для этих распределений можно определить по приведенной выше формуле, рассчитав предварительно
P(x). Для расчета P(x) используем свойство
1
)
(
)
(
x
d
x
P
. Например, для прямоугольно- го распределения находим, что P(x)=1/2a в интервале – а
x
а. Полученное значение
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
20
P(x)=1/2a
подставляем в инте- грал
)
(
)
(
2 2
x
d
x
P
x
. Тогда
2
=a
2
/3;
3
a
. Аналогично можно определить, что для треугольного закона
6
a
Оценка погрешности результата изме- рения при n равноточных измерениях.
Наиболее достоверным значением, ко- торое можно приписать измеряемой вели- чине, является среднее арифметическое зна- чение ряда одинаковых измерений:
n
x
X
n
i
i
1
Оценкой математического ожидания
M[x] измеряемой величины будет
X . От- клонение результата каждого измерения (по числовому значению и по знаку) определя- ется из выражения
X
x
x
i
i
. Имеют ме- сто следующие свойства
n
i
i
n
i
i
A
x
x
1 2
1
)
(
;
0
минимальна при А= M[x].
Приближённое значение среднеквадратического отклонения определяется по прибли- жённой формуле Бесселя
1
1 2
n
x
n
i
i
. Оценка среднеквадратического отклонения
харак- теризует точность отдельного измерения и определяется всей совокупностью условий изме- рений. Оценка
2
(дисперсия) характеризует степень рассеяния результата измерений во- круг среднего арифметического. Так как среднее арифметическое обладает некоторой слу- чайной погрешностью, то вводится понятие оценки среднеквадратического отклонения среднеарифметического, равного
;
)
1
(
2 2
1 2
n
n
n
n
x
X
n
i
i
X
Рассмотренные оценки результата измерения, выраженные одним числом, называются точечными оценками.
Точечная оценка погрешности измерения неполная, поскольку
X
указывает на грани- цы интервала, в котором может находиться истинное значение x
0
, но ничего не говорит о ве- роятности попадания x
0 в этот интервал. При интервальной оценке определяется доверитель- ный интервал, между границами которого с определённой вероятностью находится истинное значение x
0
Вероятность попадания случайной погрешности в некоторый заданный интервал между
1
и
2
равна
2 1
2 1
).
(
2
exp
2 1
)
(
)
(
P
2 2
x
d
x
x
d
x
P
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
21
Введя замену переменной k =
x/
для симметричного интервала
1
= -
2
, получим
t
dk
k
t
0 2
2
exp
/
2
)
(
P
, где t =
2
/
. 0
Ф(t)
1. Вычисление данного интеграла поз- воляет установить соответствие между значениями Р и t.
Р
0,5 0,68 0,95 0,98 0,99 0,997 t
0,667 1
2 2,33 2,58 3
Для оценки случайных погрешностей кроме доверительного интервала [-
;
] иногда используют доверительный интервал [-2/3
; 2/3
], но чаще всего [-3
;3
]. При
1,2
= 2/3
(см таблицу) появление случайных погрешностей в пределах и за пределами интервала рав- новероятно. Вероятность появления случайных погрешностей, абсолютное значение которых более 3
, составляет 0,3% (0,003). Интервал
3
в случае нормального закона представляет собой интервал достаточно достоверного результата измерения. Поэтому принято считать при практических измерениях, что появление погрешности, большей 3
, почти исключено.
При технических измерениях, когда значение измеряемой величины определяется при малом числе измерений 2
n <20, размер доверительного интервала увеличивается и пра- вильнее определить его по формуле
1,2
= t
p,n
X
, где t
p,n
- коэффициент распределения Сть- юдента - зависит от задаваемой вероятности P, числа измерений n, и определяется по таб- лице, рассчитанной на основании уравнения
2 1
2 1
2 2
1
)
,
(
k
k
t
k
k
k
k
t
S
где k = n-1
число степеней свободы, S(t,n) -плотность распределения Стьюдента; n – число измерений
P 0,9 0,95 0,98 n
2 6,314 12,706 31,821 3
2,920 4,303 6.965 6
2,015 2,571 3,36
Обработка результатов измерения
Обработка результатов измерения состоит в определении приближённого значения из- меряемой величины x c указанием погрешности. В случае n равноточных измерений она производится по следующему алгоритму.
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
22
Промахи
x i
>3
да
Среднеквадратическое отклонение
1
1 2
n
x
n
i
i
n измерений x
i
Математическое ожидание
M[x] =
X
Остаточные погрешности
x i
= x i
-
X
Ис кл ю
чи ть нет
Среднеквадратическое отклонение сред- него арифметического
n
n
n
x
n
i
i
X
)
1
(
1 2
Результат измерения
X
1,2
Доверительный интервал
1,2
= t
p,n
X
,
Задание доверительной вероятности P.
Определение t
p,n
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
23
Л5.Систематические погрешности,
Систематические погрешности, делятся на постоянные и переменные. Постоянные си- стематические погрешности не изменяются в течение всего времени измерения.
Переменные систематические погрешности могут изменять свою величину и знак в процессе измерений по определённому закону
Обнаружение, оценка и исключение систематических погрешностей является сложной задачей метрологии.
Исключение систематических погрешностей
В любом методе измерений отсутствие тех или иных систематических погрешностей или то, что они имеют малую величину, необходимо доказать. Необнаруженная системати- ческая погрешность опаснее случайной, т.к. случайная погрешность может быть сведена к минимуму большим числом измерений. Поэтому при разработке новых методов измерений или новых приборов необходимо выявить и исключить систематические погрешности. Су- ществуют следующие способы исключение систематических погрешностей:
I.
Устранение источников погрешности до начала измерений.
II.
Исключение погрешности в процессе измерений.
III.
Внесение поправок в результат измерений.
До начала измерения можно провести поверку прибора и его регулировку, т.е. исклю- чить инструментальную погрешность, носящую систематический характер.
Исключение погрешности в процессе измерения осуществляется двумя способами: а) Способ замещения заключается в том, что измеряемый объект заменяется образцом, при неизменном условии проведения опыта. б) Способ компенсации систематической погрешности по знаку заключается в том, что производится два измерения, при которых систематическая погрешность один раз входит в результат со знаком "+", а в другой раз со знаком "-". Среднее арифметическое не содержит погрешности.
Исключение систематической погрешности после измерения производится путём вне- сения поправок или умножения на поправочный коэффициент результата измерения. Если поправка складывается с результатом, то такая систематическая погрешность называется ад- дитивной (погрешность установки нуля). Если для устранения погрешности необходимо умножить результат на некоторый коэффициент, то такая погрешность называется мульти- пликативной (погрешность чувствительности прибора).
Часто исключить систематическую погрешность не удаётся по одной из двух причин:
1. Не с чем сравнить результат для поверки.
2. Измерение проводилось с помощью интегрирующих приборов, когда сама измеряе- мая величина непрерывно изменяется. В таких случаях необходимо определить границы возможных систематических погрешностей.
Погрешности средств измерений.
Различают погрешности результата измерения и погрешность самого прибора или ме- ры. Погрешность результата измерения включает помимо погрешности прибора и другие со- ставляющие, например, погрешность метода, субъективную погрешность. Погрешность средств измерений может иметь обе составляющие - систематическую и случайную.
Все средства измерений, независимо от их конкретного исполнения, обладают рядом общих свойств, необходимых для выполнения ими их функционального назначения. Техни- ческие характеристики, описывающие эти свойства и оказывающие влияние на результаты и на погрешности измерений, называются метрологическими характеристиками. Перечень важнейших из них регламентируется ГОСТ 8.009—72 «ГСИ. Нормируемые метрологические
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
24 характеристики средств измерений». Комплекс нормируемых метрологических характери- стик устанавливается таким образом, чтобы с их помощью можно было оценить погреш- ность измерений, осуществляемых в известных рабочих условиях эксплуатации посредством отдельных средств измерений или совокупности средств измерений, например, автоматиче- ских измерительных систем.
Одной из основных метрологических характеристик измерительных преобразователей является статическая характеристика преобразования (иначе называемая функцией преобра- зования или градуировочной характеристикой). Она устанавливает зависимость у = f(х) ин- формативного параметра
1 2 3 4 5
Эталоны времени и частоты
Измерения времени и частоты колебаний тесно связаны друг с другом, и их единица воспроизводится одним и тем же эталоном. Астрономические шкалы времени базируются на явлениях вращения Земли вокруг собственной оси и обращения Земли вокруг Солнца по
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
15 слегка эллиптической орбите. Однако такие шкалы не могут быть достаточно точными т. к. параметры движения небесных тел не постоянны.
В 1967 г. XIII Генеральная конференция по мерам и весам постановила, что квантовый переход между линиями сверхтонкой структуры атома
133
Cs, а именно невозмущенный внешними полями переход F = 4, m
F
= 0
F = 3; m
F
= 0 основного состояния
2
S
1/2
, дает ча- стоту 9,192631770 ГГц точно. Тем самым определяется, и единица времени — секунда — как интервал времени, в течение которого совершается 9 192 631 770 колебаний излучения при этом переходе.
Ядро атома цезия, обладающее магнитным моментом (спин I=7/2), взаимодействует с магнитным моментом валентного электрона (спин I=1/2). Это и приводит к расщеплению ос- новного электронного уровня атома на ряд подуровней т. е. к образованию так называемой сверхтонкой структуры. Частоты, соответствующие переходам между уровнями сверхтонкой структуры, попадают в диапазон радиочастот. Очень важно, что энергия перехода между уровнями сверхтонкой структуры, а стало быть, и соответствующая частота, очень мало за- висят от внешних магнитных полей.
В эталонах удается настолько снизить напряженность внешних магнитных полей, что смещение частоты, соответствую- щей используемому переходу, со- ставляет всего 10
-12
от частоты при полном отсутствии внешних маг- нитных полей. От других парамет- ров (электрического поля, давления, плотности пучка и т. п.) частота пе- рехода зависит еще меньше.
На рис. приведена схема це- зиевого атомно-лучевого эталона времени и частоты.
Источник 1 атомного пучка представляет собой контейнер из металла, стойкого по от- ношению к щелочам. В стенке контейнера имеются каналы, формирующие пучок. Темпера- тура источника 100
150°С. Магниты 2 служат для сортировки атомов пучка по состояниям сверхтонкой структуры: выделяются атомы, находящиеся в состояниях F = 3, m
F
=0 и F =4, m
F
= 0.
К резонаторам 3 подводится сверхвысокочастотный сигнал, частоту которого можно в некоторых пределах изменять около значения 9192631770 Гц. В результате действия этого сигнала, выделенные атомы переходят из состояния F = 3, m
F
=0 в состояние F =4, m
F
= 0 или обратно. Второй сортирующий магнит выделяет из пучка только те атомы, которые пе- решли из одного состояния в другое в результате взаимодействия сполем сигнала. Атомы, совершившие переход, попадают в приемник 4 и регистрируются индикатором 5.
Если частота подводимого сигнала точно соответствует частоте перехода, то показания индикатора максимальны. Если же частота сигнала отличается от частоты перехода, то пока- зания индикатора резко уменьшаются. Это и служит основой стабилизации частоты. Частота сигнала, соответствующая максимальным показаниям индикатора, принимается за
9192631770 Гц.
Все узлы установки помещены в камеру, в которой поддерживается высокий вакуум.
Стабильность эталона с атомным пучком цезия равна 10
-11
, в настоящее время их ис- пользуют службы времени и часто- ты.
Принцип работы водородных генераторов (на атомарном водоро- де) основан на использовании кван-
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
16 тового перехода между состояниями F = 1, m
F
= 0 и F = 0, m
F
= 0 в сверхтонкой структуре основного состояния атомовводорода,частота которого при отсутствии внешних воздей- ствий постоянна и равна 1420405751,8 Гц.
Схема и принцип действия водородного генератора изображены на рис.
Атомы водорода получаются в источнике 1, представляющем собой стеклянную труб- ку, где происходит диссоциация молекул водорода под действием высокочастотного элек- трического разряда. Пучок атомов водорода выходит из источника через коллиматор, обес- печивающий его направленность, и попадает в поле шестиполюсного аксиального магнита 2.
В сильном неоднородном поле, создаваемом этим магнитом, происходит пространственная сортировка атомов в пучке, так что атомы, находящиеся на уровне F = 1, m
F
= 0, фокусиру- ются на вход накопительной ячейки 3, которая расположена внутри высокодобротного объ- емного резонатора 4, настроенного на частоту используемого перехода.
Конструкция ячейки такова, что атомы находятся в резонаторе около секунды. Ее стен- ки покрыты фторопластом, в результате чего даже при более чем 10 5
соударениях атома во- дорода со стенкой его энергетическое состояние не меняется.
Взаимодействие возбужденных атомов с высокочастотным полем резонатора в течение секунды повышает вероятность их перехода в нижнее энергетическое состояние и вызывает самовозбуждение генератора, а также увеличивает добротность линии излучения и соответ- ственно стабильность частоты генератора.
Для уменьшения влияния внешних магнитных полей на частоту водородного генерато- ра резонатор помещают в многослойный экран 5.
В Государственном первичном эталоне времени и частоты используются квантовые меры, в которых за опорную принимается частота, соответствующая частоте энергетическо- го перехода в атомах или молекулах выбранного вещества. Квантовые меры подразделяются на реперы и хранители. Они различаются тем, что реперы включаются эпизодически с целью осуществления поверок и регулировок средств измерения частоты, а хранители (часы) рабо- тают непрерывно и для них определяется значение фазы выходного сигнала относительно некоторого начального момента. Таким образом, квантовые меры частоты (реперы) обеспе- чивают воспроизведение единицы времени и частоты, а квантовые часы (хранители времени) служат для воспроизведения шкал времени ТА (SU) и UTC(SU).
В состав Государственного первичного эталона входят: цезиевый репер; цезиевые ча- сы; водородные реперы и часы; рубидиевые часы (квантовый генератор на рубидии с опти- ческой накачкой); аппаратура внутренних и внешних сличений эталонов и аппаратура средств обеспечения.
Цезиевый репер, входящий в состав эталона, включается два раза в месяц, и с его по- мощью определяют частоту рубидиевых часов, отличающихся высокой кратковременной стабильностью (порядка 1*10
-13
—2*10
-13
в течение 1
10 с, за сутки приблизительно на два порядка хуже). Одновременно путем сравнения с частотой рубидиевых часов, определяют частоту водородных реперов. После этого в течение полумесяца с ними сравнивают основ- ные хранители эталона — водородные и цезиевые часы.
Государственный первичный эталон времени и частоты обеспечивает воспроизведение единиц с относительным средним квадратическим отклонением результата измерений, не большим 1 * 10
-13
, при неисключенной относительной систематической погрешности, не превышающей 1*10
-12
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
17
Л4. Классификация способов и методов измерений.
По способу получения результатов измерения (виду уравнения измерения) различают прямые, косвенные, совокупные и совместные измерения.
Прямыми измерениями называют такие, при которых значение физической величины находят непосредственно из опытных данных (уравнение Q = X). Пример: измерение тока с помощью амперметра.
Косвенные измерения - такие, при которых искомое значение физической величины Y находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами X
1
,
X
2
,….X
n подвергаемыми прямым измерениям. Y= f(X
1
, X
2
,….X
n
). Пример: измерение мощ- ности методом амперметра, вольтметра. P = U*I.
Совокупными измерениями называют измерения, производимые одновременно для не- скольких одноименных величин, при которых искомую величину находят решением систе- мы уравнений, для получаемых при прямых измерениях различных сочетаний этих величин.
Пример: измерение индуктивности катушки и межвитковой ёмкости.
Совместными измерениями называют проводимые одновременно измерения двух или нескольких неодноимённых величин для нахождения зависимости между ними.
Пример: определение температурного коэффициента сопротивление резистора.
Принцип измерений - совокупность физических явлений, на которых основаны измере- ния. Пример: измерение напряжения на основе электростатического взаимодействия заря- жённых проводников.
Метод измерений - совокупность приёмов, используемых принципов и средств измере- ния. Различают два основных метода измерений: непосредственной оценки и сравнения с мерой.
Метод непосредственной оценки - метод измерений, в котором значение физической величины определяют непосредственно по отсчётному устройству измерительного прибора прямого действия.
Методы сравнения с мерой - методы измерений, в которых измеряемую величину находят, сравнивая с величиной, воспроизводимой мерой. Пример: измерение напряжения постоянного тока на компенсаторе сравнением с Э.Д.С. нормального элемента. В методе сравнения с мерой можно выделить следующие разновидности: а) Метод противопоставления, - в котором измеряемая величина и величина воспроиз- водимая мерой одновременно воздействуют на прибор сравнения, с помощью которого уста- навливается соотношение между этими величинами. Пример: измерение частоты на осцил- лографе с помощью фигур Лиссажу. б) Нулевой метод – разновидность метода сравнения, в котором результирующий эф- фект воздействия на прибор сравнения доводят до нуля. в) Метод дифференциальный, в котором на измерительный прибор (не обязательно прибор сравнения) действует разность измеряемой величины и величины воспроизводимой мерой. Пример: измерение электрического сопротивления мостом с неполным его уравнове- шиванием. г) Метод замещения, - в котором измеряемую величину замещают в измерительной установке известной величиной, воспроизводимой мерой, Пример: измерение амплитуды напряжения на осциллографе, имеющем калибратор напряжения. д) Метод совпадения - о значении разности измеряемой величины и величины воспро- изводимой мерой судят по совпадению отметок шкал или периодических сигналов. На этом методе основана работа многих цифровых измерительных приборов, стробоскопа, нони- усной шкалы.
Элементы теории погрешностей
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
18
В зависимости от характера проявления, причин возникновения, а также способов учё- та или исключения все погрешности измерений можно разделить на три группы:
1) случайные;
2) систематические;
3) Грубые погрешности и промахи.
Случайной погрешностью называется составляющая погрешности измерений, изменя- ющаяся случайно при повторных измерениях одной и той же величины. Причины их возник- новения и закономерности неизвестны или их невозможно учесть. Эти погрешности обу- словлены случайными факторами.
Систематической погрешностью измерений называется составляющая погрешности, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. Эти погрешности обусловлены факторами, которые в процессе измере- ний остаются постоянными или изменяются по определённому закону. Их можно учесть или исключить из результатов измерений.
Грубые погрешности - погрешности измерения, существенно превышающие ожидае- мые при данных условиях. Они возникают под влиянием неожиданно сильного проявления одного из случайных факторов. Промахи связаны с неверными действиями оператора.
По причине возникновения погрешности можно разделить на инструментальные, по- грешности установок, внешних влияний, методические, субъективные.
Инструментальные погрешности - обусловлены несовершенством инструментальных средств. Пример: погрешность из-за неточности нанесения делений на отсчетную шкалу, погрешность из-за люфтов и износа деталей.
Погрешность установок - возникает при работе приборов в неправильном положении или из–за несогласованности характеристик приборов, составляющих измерительную уста- новку.
Погрешности внешних влияний появляются в связи с тем, что на работу прибора или количество меры могут оказать влияние температура окружающей среды, влажность, давле- ние, вибрация, воздушные потоки, электрические и магнитные поля
Методические (теоретические) погрешности возникают вследствие недостаточной раз- работки теории метода измерения, а также от упрощений, допускаемых при проведении из- мерений. Пример: Подключение вольтметра с недостаточной чувствительностью (малым внутренним сопротивлением) может существенно изменить распределение токов и напряже- ний в исследуемой схеме.
Субъективные (личные) погрешности обусловлены индивидуальными особенностями оператора (слухом, зрением и т.д.).
Случайные погрешности
Причин, вызывающих погрешности, может быть много, а влияние каждой из них мало и изменчиво. В этом случае величина погрешности является случайной. Устранить случай- ные погрешности невозможно, но существуют методы их оценки, основанные на теории ве- роятности и математической статистике. Задача оценки погрешности результата измерения состоит в том, чтобы охарактеризовать неопределённость полученного результата, т.е. ука- зать границы изменения погрешности результата измерения при повторных измерениях.
Наиболее полной характеристикой случайной погрешности, как и любой случайной величи- ны, является закон распределения их вероятностей, определяющий возможные значения слу- чайной погрешности и вероятность их появления.
В большинстве физических измерений случайные погрешности подчиняются закону нормального распределения - закону Гаусса.
Случайную погрешность
X
i
i -го результата измерения можно представить как раз- ность между результатом измерения и математическим ожиданием М[Х] измеряемой вели-
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
19 чины, которое при отсутствии систематических погрешностей принимается за истинное зна- чение измеряемой величины:
Плотность нормального распределения вероятностей случайных погрешностей или дифференциальная функция нормального распределения Р(x) выражается формулой Гаусса:
;
2
]
[
exp
2 1
)
(
2 2
x
M
x
x
P
2 2
2
exp
2 1
)
(
x
x
P
где
X
- случайная абсолютная погрешность;
- среднеквадратическое отклонение.
Величина
2
- дисперсия случайной погрешности. Она представляет собой математи- ческое ожидание квадрата случайной погрешности, характеризуя разброс результатов изме- рения из-за наличия случайных погрешностей. В теории вероятности эта величина называет- ся вторым центральным моментом:
)
(
)
(
2 2
x
d
x
P
x
. Математическое ожидание – 1-й начальный момент:
dx
x
xP
x
M
)
(
]
[
. Заметим, что математическое ожидание, статистиче- ским аналогом которого является среднее арифметическое в общем случае не равно истин- ному значению измеряемой величины при конечном числе измерений. При N
и отсут- ствии систематической погрешности M[x]
x
0
, где x
0
- истинное значение.
Наряду с нормальным законом распределения случайной величины могут иметь место и другие законы распределения: прямоугольный, треугольный, трапецеидальный. Примера- ми случайных погрешностей с прямоугольным распределением являются погрешности, обу- словленные сухим трением в опорах стрелочного прибора, погрешности отсчёта по равно- мерной шкале аналоговых приборов, погрешности цифрового отсчёта. Дисперсию для этих распределений можно определить по приведенной выше формуле, рассчитав предварительно
P(x). Для расчета P(x) используем свойство
1
)
(
)
(
x
d
x
P
. Например, для прямоугольно- го распределения находим, что P(x)=1/2a в интервале – а
x
а. Полученное значение
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
20
P(x)=1/2a
подставляем в инте- грал
)
(
)
(
2 2
x
d
x
P
x
. Тогда
2
=a
2
/3;
3
a
. Аналогично можно определить, что для треугольного закона
6
a
Оценка погрешности результата изме- рения при n равноточных измерениях.
Наиболее достоверным значением, ко- торое можно приписать измеряемой вели- чине, является среднее арифметическое зна- чение ряда одинаковых измерений:
n
x
X
n
i
i
1
Оценкой математического ожидания
M[x] измеряемой величины будет
X . От- клонение результата каждого измерения (по числовому значению и по знаку) определя- ется из выражения
X
x
x
i
i
. Имеют ме- сто следующие свойства
n
i
i
n
i
i
A
x
x
1 2
1
)
(
;
0
минимальна при А= M[x].
Приближённое значение среднеквадратического отклонения определяется по прибли- жённой формуле Бесселя
1
1 2
n
x
n
i
i
. Оценка среднеквадратического отклонения
харак- теризует точность отдельного измерения и определяется всей совокупностью условий изме- рений. Оценка
2
(дисперсия) характеризует степень рассеяния результата измерений во- круг среднего арифметического. Так как среднее арифметическое обладает некоторой слу- чайной погрешностью, то вводится понятие оценки среднеквадратического отклонения среднеарифметического, равного
;
)
1
(
2 2
1 2
n
n
n
n
x
X
n
i
i
X
Рассмотренные оценки результата измерения, выраженные одним числом, называются точечными оценками.
Точечная оценка погрешности измерения неполная, поскольку
X
указывает на грани- цы интервала, в котором может находиться истинное значение x
0
, но ничего не говорит о ве- роятности попадания x
0 в этот интервал. При интервальной оценке определяется доверитель- ный интервал, между границами которого с определённой вероятностью находится истинное значение x
0
Вероятность попадания случайной погрешности в некоторый заданный интервал между
1
и
2
равна
2 1
2 1
).
(
2
exp
2 1
)
(
)
(
P
2 2
x
d
x
x
d
x
P
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
21
Введя замену переменной k =
x/
для симметричного интервала
1
= -
2
, получим
t
dk
k
t
0 2
2
exp
/
2
)
(
P
, где t =
2
/
. 0
Ф(t)
1. Вычисление данного интеграла поз- воляет установить соответствие между значениями Р и t.
Р
0,5 0,68 0,95 0,98 0,99 0,997 t
0,667 1
2 2,33 2,58 3
Для оценки случайных погрешностей кроме доверительного интервала [-
;
] иногда используют доверительный интервал [-2/3
; 2/3
], но чаще всего [-3
;3
]. При
1,2
= 2/3
(см таблицу) появление случайных погрешностей в пределах и за пределами интервала рав- новероятно. Вероятность появления случайных погрешностей, абсолютное значение которых более 3
, составляет 0,3% (0,003). Интервал
3
в случае нормального закона представляет собой интервал достаточно достоверного результата измерения. Поэтому принято считать при практических измерениях, что появление погрешности, большей 3
, почти исключено.
При технических измерениях, когда значение измеряемой величины определяется при малом числе измерений 2
n <20, размер доверительного интервала увеличивается и пра- вильнее определить его по формуле
1,2
= t
p,n
X
, где t
p,n
- коэффициент распределения Сть- юдента - зависит от задаваемой вероятности P, числа измерений n, и определяется по таб- лице, рассчитанной на основании уравнения
2 1
2 1
2 2
1
)
,
(
k
k
t
k
k
k
k
t
S
где k = n-1
число степеней свободы, S(t,n) -плотность распределения Стьюдента; n – число измерений
P 0,9 0,95 0,98 n
2 6,314 12,706 31,821 3
2,920 4,303 6.965 6
2,015 2,571 3,36
Обработка результатов измерения
Обработка результатов измерения состоит в определении приближённого значения из- меряемой величины x c указанием погрешности. В случае n равноточных измерений она производится по следующему алгоритму.
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
22
Промахи
x i
>3
да
Среднеквадратическое отклонение
1
1 2
n
x
n
i
i
n измерений x
i
Математическое ожидание
M[x] =
X
Остаточные погрешности
x i
= x i
-
X
Ис кл ю
чи ть нет
Среднеквадратическое отклонение сред- него арифметического
n
n
n
x
n
i
i
X
)
1
(
1 2
Результат измерения
X
1,2
Доверительный интервал
1,2
= t
p,n
X
,
Задание доверительной вероятности P.
Определение t
p,n
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
23
Л5.Систематические погрешности,
Систематические погрешности, делятся на постоянные и переменные. Постоянные си- стематические погрешности не изменяются в течение всего времени измерения.
Переменные систематические погрешности могут изменять свою величину и знак в процессе измерений по определённому закону
Обнаружение, оценка и исключение систематических погрешностей является сложной задачей метрологии.
Исключение систематических погрешностей
В любом методе измерений отсутствие тех или иных систематических погрешностей или то, что они имеют малую величину, необходимо доказать. Необнаруженная системати- ческая погрешность опаснее случайной, т.к. случайная погрешность может быть сведена к минимуму большим числом измерений. Поэтому при разработке новых методов измерений или новых приборов необходимо выявить и исключить систематические погрешности. Су- ществуют следующие способы исключение систематических погрешностей:
I.
Устранение источников погрешности до начала измерений.
II.
Исключение погрешности в процессе измерений.
III.
Внесение поправок в результат измерений.
До начала измерения можно провести поверку прибора и его регулировку, т.е. исклю- чить инструментальную погрешность, носящую систематический характер.
Исключение погрешности в процессе измерения осуществляется двумя способами: а) Способ замещения заключается в том, что измеряемый объект заменяется образцом, при неизменном условии проведения опыта. б) Способ компенсации систематической погрешности по знаку заключается в том, что производится два измерения, при которых систематическая погрешность один раз входит в результат со знаком "+", а в другой раз со знаком "-". Среднее арифметическое не содержит погрешности.
Исключение систематической погрешности после измерения производится путём вне- сения поправок или умножения на поправочный коэффициент результата измерения. Если поправка складывается с результатом, то такая систематическая погрешность называется ад- дитивной (погрешность установки нуля). Если для устранения погрешности необходимо умножить результат на некоторый коэффициент, то такая погрешность называется мульти- пликативной (погрешность чувствительности прибора).
Часто исключить систематическую погрешность не удаётся по одной из двух причин:
1. Не с чем сравнить результат для поверки.
2. Измерение проводилось с помощью интегрирующих приборов, когда сама измеряе- мая величина непрерывно изменяется. В таких случаях необходимо определить границы возможных систематических погрешностей.
Погрешности средств измерений.
Различают погрешности результата измерения и погрешность самого прибора или ме- ры. Погрешность результата измерения включает помимо погрешности прибора и другие со- ставляющие, например, погрешность метода, субъективную погрешность. Погрешность средств измерений может иметь обе составляющие - систематическую и случайную.
Все средства измерений, независимо от их конкретного исполнения, обладают рядом общих свойств, необходимых для выполнения ими их функционального назначения. Техни- ческие характеристики, описывающие эти свойства и оказывающие влияние на результаты и на погрешности измерений, называются метрологическими характеристиками. Перечень важнейших из них регламентируется ГОСТ 8.009—72 «ГСИ. Нормируемые метрологические
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
24 характеристики средств измерений». Комплекс нормируемых метрологических характери- стик устанавливается таким образом, чтобы с их помощью можно было оценить погреш- ность измерений, осуществляемых в известных рабочих условиях эксплуатации посредством отдельных средств измерений или совокупности средств измерений, например, автоматиче- ских измерительных систем.
Одной из основных метрологических характеристик измерительных преобразователей является статическая характеристика преобразования (иначе называемая функцией преобра- зования или градуировочной характеристикой). Она устанавливает зависимость у = f(х) ин- формативного параметра
1 2 3 4 5
Эталоны времени и частоты
Измерения времени и частоты колебаний тесно связаны друг с другом, и их единица воспроизводится одним и тем же эталоном. Астрономические шкалы времени базируются на явлениях вращения Земли вокруг собственной оси и обращения Земли вокруг Солнца по
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
15 слегка эллиптической орбите. Однако такие шкалы не могут быть достаточно точными т. к. параметры движения небесных тел не постоянны.
В 1967 г. XIII Генеральная конференция по мерам и весам постановила, что квантовый переход между линиями сверхтонкой структуры атома
133
Cs, а именно невозмущенный внешними полями переход F = 4, m
F
= 0
F = 3; m
F
= 0 основного состояния
2
S
1/2
, дает ча- стоту 9,192631770 ГГц точно. Тем самым определяется, и единица времени — секунда — как интервал времени, в течение которого совершается 9 192 631 770 колебаний излучения при этом переходе.
Ядро атома цезия, обладающее магнитным моментом (спин I=7/2), взаимодействует с магнитным моментом валентного электрона (спин I=1/2). Это и приводит к расщеплению ос- новного электронного уровня атома на ряд подуровней т. е. к образованию так называемой сверхтонкой структуры. Частоты, соответствующие переходам между уровнями сверхтонкой структуры, попадают в диапазон радиочастот. Очень важно, что энергия перехода между уровнями сверхтонкой структуры, а стало быть, и соответствующая частота, очень мало за- висят от внешних магнитных полей.
В эталонах удается настолько снизить напряженность внешних магнитных полей, что смещение частоты, соответствую- щей используемому переходу, со- ставляет всего 10
-12
от частоты при полном отсутствии внешних маг- нитных полей. От других парамет- ров (электрического поля, давления, плотности пучка и т. п.) частота пе- рехода зависит еще меньше.
На рис. приведена схема це- зиевого атомно-лучевого эталона времени и частоты.
Источник 1 атомного пучка представляет собой контейнер из металла, стойкого по от- ношению к щелочам. В стенке контейнера имеются каналы, формирующие пучок. Темпера- тура источника 100
150°С. Магниты 2 служат для сортировки атомов пучка по состояниям сверхтонкой структуры: выделяются атомы, находящиеся в состояниях F = 3, m
F
=0 и F =4, m
F
= 0.
К резонаторам 3 подводится сверхвысокочастотный сигнал, частоту которого можно в некоторых пределах изменять около значения 9192631770 Гц. В результате действия этого сигнала, выделенные атомы переходят из состояния F = 3, m
F
=0 в состояние F =4, m
F
= 0 или обратно. Второй сортирующий магнит выделяет из пучка только те атомы, которые пе- решли из одного состояния в другое в результате взаимодействия сполем сигнала. Атомы, совершившие переход, попадают в приемник 4 и регистрируются индикатором 5.
Если частота подводимого сигнала точно соответствует частоте перехода, то показания индикатора максимальны. Если же частота сигнала отличается от частоты перехода, то пока- зания индикатора резко уменьшаются. Это и служит основой стабилизации частоты. Частота сигнала, соответствующая максимальным показаниям индикатора, принимается за
9192631770 Гц.
Все узлы установки помещены в камеру, в которой поддерживается высокий вакуум.
Стабильность эталона с атомным пучком цезия равна 10
-11
, в настоящее время их ис- пользуют службы времени и часто- ты.
Принцип работы водородных генераторов (на атомарном водоро- де) основан на использовании кван-
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
16 тового перехода между состояниями F = 1, m
F
= 0 и F = 0, m
F
= 0 в сверхтонкой структуре основного состояния атомовводорода,частота которого при отсутствии внешних воздей- ствий постоянна и равна 1420405751,8 Гц.
Схема и принцип действия водородного генератора изображены на рис.
Атомы водорода получаются в источнике 1, представляющем собой стеклянную труб- ку, где происходит диссоциация молекул водорода под действием высокочастотного элек- трического разряда. Пучок атомов водорода выходит из источника через коллиматор, обес- печивающий его направленность, и попадает в поле шестиполюсного аксиального магнита 2.
В сильном неоднородном поле, создаваемом этим магнитом, происходит пространственная сортировка атомов в пучке, так что атомы, находящиеся на уровне F = 1, m
F
= 0, фокусиру- ются на вход накопительной ячейки 3, которая расположена внутри высокодобротного объ- емного резонатора 4, настроенного на частоту используемого перехода.
Конструкция ячейки такова, что атомы находятся в резонаторе около секунды. Ее стен- ки покрыты фторопластом, в результате чего даже при более чем 10 5
соударениях атома во- дорода со стенкой его энергетическое состояние не меняется.
Взаимодействие возбужденных атомов с высокочастотным полем резонатора в течение секунды повышает вероятность их перехода в нижнее энергетическое состояние и вызывает самовозбуждение генератора, а также увеличивает добротность линии излучения и соответ- ственно стабильность частоты генератора.
Для уменьшения влияния внешних магнитных полей на частоту водородного генерато- ра резонатор помещают в многослойный экран 5.
В Государственном первичном эталоне времени и частоты используются квантовые меры, в которых за опорную принимается частота, соответствующая частоте энергетическо- го перехода в атомах или молекулах выбранного вещества. Квантовые меры подразделяются на реперы и хранители. Они различаются тем, что реперы включаются эпизодически с целью осуществления поверок и регулировок средств измерения частоты, а хранители (часы) рабо- тают непрерывно и для них определяется значение фазы выходного сигнала относительно некоторого начального момента. Таким образом, квантовые меры частоты (реперы) обеспе- чивают воспроизведение единицы времени и частоты, а квантовые часы (хранители времени) служат для воспроизведения шкал времени ТА (SU) и UTC(SU).
В состав Государственного первичного эталона входят: цезиевый репер; цезиевые ча- сы; водородные реперы и часы; рубидиевые часы (квантовый генератор на рубидии с опти- ческой накачкой); аппаратура внутренних и внешних сличений эталонов и аппаратура средств обеспечения.
Цезиевый репер, входящий в состав эталона, включается два раза в месяц, и с его по- мощью определяют частоту рубидиевых часов, отличающихся высокой кратковременной стабильностью (порядка 1*10
-13
—2*10
-13
в течение 1
10 с, за сутки приблизительно на два порядка хуже). Одновременно путем сравнения с частотой рубидиевых часов, определяют частоту водородных реперов. После этого в течение полумесяца с ними сравнивают основ- ные хранители эталона — водородные и цезиевые часы.
Государственный первичный эталон времени и частоты обеспечивает воспроизведение единиц с относительным средним квадратическим отклонением результата измерений, не большим 1 * 10
-13
, при неисключенной относительной систематической погрешности, не превышающей 1*10
-12
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
17
Л4. Классификация способов и методов измерений.
По способу получения результатов измерения (виду уравнения измерения) различают прямые, косвенные, совокупные и совместные измерения.
Прямыми измерениями называют такие, при которых значение физической величины находят непосредственно из опытных данных (уравнение Q = X). Пример: измерение тока с помощью амперметра.
Косвенные измерения - такие, при которых искомое значение физической величины Y находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами X
1
,
X
2
,….X
n подвергаемыми прямым измерениям. Y= f(X
1
, X
2
,….X
n
). Пример: измерение мощ- ности методом амперметра, вольтметра. P = U*I.
Совокупными измерениями называют измерения, производимые одновременно для не- скольких одноименных величин, при которых искомую величину находят решением систе- мы уравнений, для получаемых при прямых измерениях различных сочетаний этих величин.
Пример: измерение индуктивности катушки и межвитковой ёмкости.
Совместными измерениями называют проводимые одновременно измерения двух или нескольких неодноимённых величин для нахождения зависимости между ними.
Пример: определение температурного коэффициента сопротивление резистора.
Принцип измерений - совокупность физических явлений, на которых основаны измере- ния. Пример: измерение напряжения на основе электростатического взаимодействия заря- жённых проводников.
Метод измерений - совокупность приёмов, используемых принципов и средств измере- ния. Различают два основных метода измерений: непосредственной оценки и сравнения с мерой.
Метод непосредственной оценки - метод измерений, в котором значение физической величины определяют непосредственно по отсчётному устройству измерительного прибора прямого действия.
Методы сравнения с мерой - методы измерений, в которых измеряемую величину находят, сравнивая с величиной, воспроизводимой мерой. Пример: измерение напряжения постоянного тока на компенсаторе сравнением с Э.Д.С. нормального элемента. В методе сравнения с мерой можно выделить следующие разновидности: а) Метод противопоставления, - в котором измеряемая величина и величина воспроиз- водимая мерой одновременно воздействуют на прибор сравнения, с помощью которого уста- навливается соотношение между этими величинами. Пример: измерение частоты на осцил- лографе с помощью фигур Лиссажу. б) Нулевой метод – разновидность метода сравнения, в котором результирующий эф- фект воздействия на прибор сравнения доводят до нуля. в) Метод дифференциальный, в котором на измерительный прибор (не обязательно прибор сравнения) действует разность измеряемой величины и величины воспроизводимой мерой. Пример: измерение электрического сопротивления мостом с неполным его уравнове- шиванием. г) Метод замещения, - в котором измеряемую величину замещают в измерительной установке известной величиной, воспроизводимой мерой, Пример: измерение амплитуды напряжения на осциллографе, имеющем калибратор напряжения. д) Метод совпадения - о значении разности измеряемой величины и величины воспро- изводимой мерой судят по совпадению отметок шкал или периодических сигналов. На этом методе основана работа многих цифровых измерительных приборов, стробоскопа, нони- усной шкалы.
Элементы теории погрешностей
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
18
В зависимости от характера проявления, причин возникновения, а также способов учё- та или исключения все погрешности измерений можно разделить на три группы:
1) случайные;
2) систематические;
3) Грубые погрешности и промахи.
Случайной погрешностью называется составляющая погрешности измерений, изменя- ющаяся случайно при повторных измерениях одной и той же величины. Причины их возник- новения и закономерности неизвестны или их невозможно учесть. Эти погрешности обу- словлены случайными факторами.
Систематической погрешностью измерений называется составляющая погрешности, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. Эти погрешности обусловлены факторами, которые в процессе измере- ний остаются постоянными или изменяются по определённому закону. Их можно учесть или исключить из результатов измерений.
Грубые погрешности - погрешности измерения, существенно превышающие ожидае- мые при данных условиях. Они возникают под влиянием неожиданно сильного проявления одного из случайных факторов. Промахи связаны с неверными действиями оператора.
По причине возникновения погрешности можно разделить на инструментальные, по- грешности установок, внешних влияний, методические, субъективные.
Инструментальные погрешности - обусловлены несовершенством инструментальных средств. Пример: погрешность из-за неточности нанесения делений на отсчетную шкалу, погрешность из-за люфтов и износа деталей.
Погрешность установок - возникает при работе приборов в неправильном положении или из–за несогласованности характеристик приборов, составляющих измерительную уста- новку.
Погрешности внешних влияний появляются в связи с тем, что на работу прибора или количество меры могут оказать влияние температура окружающей среды, влажность, давле- ние, вибрация, воздушные потоки, электрические и магнитные поля
Методические (теоретические) погрешности возникают вследствие недостаточной раз- работки теории метода измерения, а также от упрощений, допускаемых при проведении из- мерений. Пример: Подключение вольтметра с недостаточной чувствительностью (малым внутренним сопротивлением) может существенно изменить распределение токов и напряже- ний в исследуемой схеме.
Субъективные (личные) погрешности обусловлены индивидуальными особенностями оператора (слухом, зрением и т.д.).
Случайные погрешности
Причин, вызывающих погрешности, может быть много, а влияние каждой из них мало и изменчиво. В этом случае величина погрешности является случайной. Устранить случай- ные погрешности невозможно, но существуют методы их оценки, основанные на теории ве- роятности и математической статистике. Задача оценки погрешности результата измерения состоит в том, чтобы охарактеризовать неопределённость полученного результата, т.е. ука- зать границы изменения погрешности результата измерения при повторных измерениях.
Наиболее полной характеристикой случайной погрешности, как и любой случайной величи- ны, является закон распределения их вероятностей, определяющий возможные значения слу- чайной погрешности и вероятность их появления.
В большинстве физических измерений случайные погрешности подчиняются закону нормального распределения - закону Гаусса.
Случайную погрешность
X
i
i -го результата измерения можно представить как раз- ность между результатом измерения и математическим ожиданием М[Х] измеряемой вели-
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
19 чины, которое при отсутствии систематических погрешностей принимается за истинное зна- чение измеряемой величины:
Плотность нормального распределения вероятностей случайных погрешностей или дифференциальная функция нормального распределения Р(x) выражается формулой Гаусса:
;
2
]
[
exp
2 1
)
(
2 2
x
M
x
x
P
2 2
2
exp
2 1
)
(
x
x
P
где
X
- случайная абсолютная погрешность;
- среднеквадратическое отклонение.
Величина
2
- дисперсия случайной погрешности. Она представляет собой математи- ческое ожидание квадрата случайной погрешности, характеризуя разброс результатов изме- рения из-за наличия случайных погрешностей. В теории вероятности эта величина называет- ся вторым центральным моментом:
)
(
)
(
2 2
x
d
x
P
x
. Математическое ожидание – 1-й начальный момент:
dx
x
xP
x
M
)
(
]
[
. Заметим, что математическое ожидание, статистиче- ским аналогом которого является среднее арифметическое в общем случае не равно истин- ному значению измеряемой величины при конечном числе измерений. При N
и отсут- ствии систематической погрешности M[x]
x
0
, где x
0
- истинное значение.
Наряду с нормальным законом распределения случайной величины могут иметь место и другие законы распределения: прямоугольный, треугольный, трапецеидальный. Примера- ми случайных погрешностей с прямоугольным распределением являются погрешности, обу- словленные сухим трением в опорах стрелочного прибора, погрешности отсчёта по равно- мерной шкале аналоговых приборов, погрешности цифрового отсчёта. Дисперсию для этих распределений можно определить по приведенной выше формуле, рассчитав предварительно
P(x). Для расчета P(x) используем свойство
1
)
(
)
(
x
d
x
P
. Например, для прямоугольно- го распределения находим, что P(x)=1/2a в интервале – а
x
а. Полученное значение
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
20
P(x)=1/2a
подставляем в инте- грал
)
(
)
(
2 2
x
d
x
P
x
. Тогда
2
=a
2
/3;
3
a
. Аналогично можно определить, что для треугольного закона
6
a
Оценка погрешности результата изме- рения при n равноточных измерениях.
Наиболее достоверным значением, ко- торое можно приписать измеряемой вели- чине, является среднее арифметическое зна- чение ряда одинаковых измерений:
n
x
X
n
i
i
1
Оценкой математического ожидания
M[x] измеряемой величины будет
X . От- клонение результата каждого измерения (по числовому значению и по знаку) определя- ется из выражения
X
x
x
i
i
. Имеют ме- сто следующие свойства
n
i
i
n
i
i
A
x
x
1 2
1
)
(
;
0
минимальна при А= M[x].
Приближённое значение среднеквадратического отклонения определяется по прибли- жённой формуле Бесселя
1
1 2
n
x
n
i
i
. Оценка среднеквадратического отклонения
харак- теризует точность отдельного измерения и определяется всей совокупностью условий изме- рений. Оценка
2
(дисперсия) характеризует степень рассеяния результата измерений во- круг среднего арифметического. Так как среднее арифметическое обладает некоторой слу- чайной погрешностью, то вводится понятие оценки среднеквадратического отклонения среднеарифметического, равного
;
)
1
(
2 2
1 2
n
n
n
n
x
X
n
i
i
X
Рассмотренные оценки результата измерения, выраженные одним числом, называются точечными оценками.
Точечная оценка погрешности измерения неполная, поскольку
X
указывает на грани- цы интервала, в котором может находиться истинное значение x
0
, но ничего не говорит о ве- роятности попадания x
0 в этот интервал. При интервальной оценке определяется доверитель- ный интервал, между границами которого с определённой вероятностью находится истинное значение x
0
Вероятность попадания случайной погрешности в некоторый заданный интервал между
1
и
2
равна
2 1
2 1
).
(
2
exp
2 1
)
(
)
(
P
2 2
x
d
x
x
d
x
P
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
21
Введя замену переменной k =
x/
для симметричного интервала
1
= -
2
, получим
t
dk
k
t
0 2
2
exp
/
2
)
(
P
, где t =
2
/
. 0
Ф(t)
1. Вычисление данного интеграла поз- воляет установить соответствие между значениями Р и t.
Р
0,5 0,68 0,95 0,98 0,99 0,997 t
0,667 1
2 2,33 2,58 3
Для оценки случайных погрешностей кроме доверительного интервала [-
;
] иногда используют доверительный интервал [-2/3
; 2/3
], но чаще всего [-3
;3
]. При
1,2
= 2/3
(см таблицу) появление случайных погрешностей в пределах и за пределами интервала рав- новероятно. Вероятность появления случайных погрешностей, абсолютное значение которых более 3
, составляет 0,3% (0,003). Интервал
3
в случае нормального закона представляет собой интервал достаточно достоверного результата измерения. Поэтому принято считать при практических измерениях, что появление погрешности, большей 3
, почти исключено.
При технических измерениях, когда значение измеряемой величины определяется при малом числе измерений 2
n <20, размер доверительного интервала увеличивается и пра- вильнее определить его по формуле
1,2
= t
p,n
X
, где t
p,n
- коэффициент распределения Сть- юдента - зависит от задаваемой вероятности P, числа измерений n, и определяется по таб- лице, рассчитанной на основании уравнения
2 1
2 1
2 2
1
)
,
(
k
k
t
k
k
k
k
t
S
где k = n-1
число степеней свободы, S(t,n) -плотность распределения Стьюдента; n – число измерений
P 0,9 0,95 0,98 n
2 6,314 12,706 31,821 3
2,920 4,303 6.965 6
2,015 2,571 3,36
Обработка результатов измерения
Обработка результатов измерения состоит в определении приближённого значения из- меряемой величины x c указанием погрешности. В случае n равноточных измерений она производится по следующему алгоритму.
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
22
Промахи
x i
>3
да
Среднеквадратическое отклонение
1
1 2
n
x
n
i
i
n измерений x
i
Математическое ожидание
M[x] =
X
Остаточные погрешности
x i
= x i
-
X
Ис кл ю
чи ть нет
Среднеквадратическое отклонение сред- него арифметического
n
n
n
x
n
i
i
X
)
1
(
1 2
Результат измерения
X
1,2
Доверительный интервал
1,2
= t
p,n
X
,
Задание доверительной вероятности P.
Определение t
p,n
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
23
Л5.Систематические погрешности,
Систематические погрешности, делятся на постоянные и переменные. Постоянные си- стематические погрешности не изменяются в течение всего времени измерения.
Переменные систематические погрешности могут изменять свою величину и знак в процессе измерений по определённому закону
Обнаружение, оценка и исключение систематических погрешностей является сложной задачей метрологии.
Исключение систематических погрешностей
В любом методе измерений отсутствие тех или иных систематических погрешностей или то, что они имеют малую величину, необходимо доказать. Необнаруженная системати- ческая погрешность опаснее случайной, т.к. случайная погрешность может быть сведена к минимуму большим числом измерений. Поэтому при разработке новых методов измерений или новых приборов необходимо выявить и исключить систематические погрешности. Су- ществуют следующие способы исключение систематических погрешностей:
I.
Устранение источников погрешности до начала измерений.
II.
Исключение погрешности в процессе измерений.
III.
Внесение поправок в результат измерений.
До начала измерения можно провести поверку прибора и его регулировку, т.е. исклю- чить инструментальную погрешность, носящую систематический характер.
Исключение погрешности в процессе измерения осуществляется двумя способами: а) Способ замещения заключается в том, что измеряемый объект заменяется образцом, при неизменном условии проведения опыта. б) Способ компенсации систематической погрешности по знаку заключается в том, что производится два измерения, при которых систематическая погрешность один раз входит в результат со знаком "+", а в другой раз со знаком "-". Среднее арифметическое не содержит погрешности.
Исключение систематической погрешности после измерения производится путём вне- сения поправок или умножения на поправочный коэффициент результата измерения. Если поправка складывается с результатом, то такая систематическая погрешность называется ад- дитивной (погрешность установки нуля). Если для устранения погрешности необходимо умножить результат на некоторый коэффициент, то такая погрешность называется мульти- пликативной (погрешность чувствительности прибора).
Часто исключить систематическую погрешность не удаётся по одной из двух причин:
1. Не с чем сравнить результат для поверки.
2. Измерение проводилось с помощью интегрирующих приборов, когда сама измеряе- мая величина непрерывно изменяется. В таких случаях необходимо определить границы возможных систематических погрешностей.
Погрешности средств измерений.
Различают погрешности результата измерения и погрешность самого прибора или ме- ры. Погрешность результата измерения включает помимо погрешности прибора и другие со- ставляющие, например, погрешность метода, субъективную погрешность. Погрешность средств измерений может иметь обе составляющие - систематическую и случайную.
Все средства измерений, независимо от их конкретного исполнения, обладают рядом общих свойств, необходимых для выполнения ими их функционального назначения. Техни- ческие характеристики, описывающие эти свойства и оказывающие влияние на результаты и на погрешности измерений, называются метрологическими характеристиками. Перечень важнейших из них регламентируется ГОСТ 8.009—72 «ГСИ. Нормируемые метрологические
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
24 характеристики средств измерений». Комплекс нормируемых метрологических характери- стик устанавливается таким образом, чтобы с их помощью можно было оценить погреш- ность измерений, осуществляемых в известных рабочих условиях эксплуатации посредством отдельных средств измерений или совокупности средств измерений, например, автоматиче- ских измерительных систем.
Одной из основных метрологических характеристик измерительных преобразователей является статическая характеристика преобразования (иначе называемая функцией преобра- зования или градуировочной характеристикой). Она устанавливает зависимость у = f(х) ин- формативного параметра
1 2 3 4 5
Эталоны времени и частоты
Измерения времени и частоты колебаний тесно связаны друг с другом, и их единица воспроизводится одним и тем же эталоном. Астрономические шкалы времени базируются на явлениях вращения Земли вокруг собственной оси и обращения Земли вокруг Солнца по
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
15 слегка эллиптической орбите. Однако такие шкалы не могут быть достаточно точными т. к. параметры движения небесных тел не постоянны.
В 1967 г. XIII Генеральная конференция по мерам и весам постановила, что квантовый переход между линиями сверхтонкой структуры атома
133
Cs, а именно невозмущенный внешними полями переход F = 4, m
F
= 0
F = 3; m
F
= 0 основного состояния
2
S
1/2
, дает ча- стоту 9,192631770 ГГц точно. Тем самым определяется, и единица времени — секунда — как интервал времени, в течение которого совершается 9 192 631 770 колебаний излучения при этом переходе.
Ядро атома цезия, обладающее магнитным моментом (спин I=7/2), взаимодействует с магнитным моментом валентного электрона (спин I=1/2). Это и приводит к расщеплению ос- новного электронного уровня атома на ряд подуровней т. е. к образованию так называемой сверхтонкой структуры. Частоты, соответствующие переходам между уровнями сверхтонкой структуры, попадают в диапазон радиочастот. Очень важно, что энергия перехода между уровнями сверхтонкой структуры, а стало быть, и соответствующая частота, очень мало за- висят от внешних магнитных полей.
В эталонах удается настолько снизить напряженность внешних магнитных полей, что смещение частоты, соответствую- щей используемому переходу, со- ставляет всего 10
-12
от частоты при полном отсутствии внешних маг- нитных полей. От других парамет- ров (электрического поля, давления, плотности пучка и т. п.) частота пе- рехода зависит еще меньше.
На рис. приведена схема це- зиевого атомно-лучевого эталона времени и частоты.
Источник 1 атомного пучка представляет собой контейнер из металла, стойкого по от- ношению к щелочам. В стенке контейнера имеются каналы, формирующие пучок. Темпера- тура источника 100
150°С. Магниты 2 служат для сортировки атомов пучка по состояниям сверхтонкой структуры: выделяются атомы, находящиеся в состояниях F = 3, m
F
=0 и F =4, m
F
= 0.
К резонаторам 3 подводится сверхвысокочастотный сигнал, частоту которого можно в некоторых пределах изменять около значения 9192631770 Гц. В результате действия этого сигнала, выделенные атомы переходят из состояния F = 3, m
F
=0 в состояние F =4, m
F
= 0 или обратно. Второй сортирующий магнит выделяет из пучка только те атомы, которые пе- решли из одного состояния в другое в результате взаимодействия сполем сигнала. Атомы, совершившие переход, попадают в приемник 4 и регистрируются индикатором 5.
Если частота подводимого сигнала точно соответствует частоте перехода, то показания индикатора максимальны. Если же частота сигнала отличается от частоты перехода, то пока- зания индикатора резко уменьшаются. Это и служит основой стабилизации частоты. Частота сигнала, соответствующая максимальным показаниям индикатора, принимается за
9192631770 Гц.
Все узлы установки помещены в камеру, в которой поддерживается высокий вакуум.
Стабильность эталона с атомным пучком цезия равна 10
-11
, в настоящее время их ис- пользуют службы времени и часто- ты.
Принцип работы водородных генераторов (на атомарном водоро- де) основан на использовании кван-
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
16 тового перехода между состояниями F = 1, m
F
= 0 и F = 0, m
F
= 0 в сверхтонкой структуре основного состояния атомовводорода,частота которого при отсутствии внешних воздей- ствий постоянна и равна 1420405751,8 Гц.
Схема и принцип действия водородного генератора изображены на рис.
Атомы водорода получаются в источнике 1, представляющем собой стеклянную труб- ку, где происходит диссоциация молекул водорода под действием высокочастотного элек- трического разряда. Пучок атомов водорода выходит из источника через коллиматор, обес- печивающий его направленность, и попадает в поле шестиполюсного аксиального магнита 2.
В сильном неоднородном поле, создаваемом этим магнитом, происходит пространственная сортировка атомов в пучке, так что атомы, находящиеся на уровне F = 1, m
F
= 0, фокусиру- ются на вход накопительной ячейки 3, которая расположена внутри высокодобротного объ- емного резонатора 4, настроенного на частоту используемого перехода.
Конструкция ячейки такова, что атомы находятся в резонаторе около секунды. Ее стен- ки покрыты фторопластом, в результате чего даже при более чем 10 5
соударениях атома во- дорода со стенкой его энергетическое состояние не меняется.
Взаимодействие возбужденных атомов с высокочастотным полем резонатора в течение секунды повышает вероятность их перехода в нижнее энергетическое состояние и вызывает самовозбуждение генератора, а также увеличивает добротность линии излучения и соответ- ственно стабильность частоты генератора.
Для уменьшения влияния внешних магнитных полей на частоту водородного генерато- ра резонатор помещают в многослойный экран 5.
В Государственном первичном эталоне времени и частоты используются квантовые меры, в которых за опорную принимается частота, соответствующая частоте энергетическо- го перехода в атомах или молекулах выбранного вещества. Квантовые меры подразделяются на реперы и хранители. Они различаются тем, что реперы включаются эпизодически с целью осуществления поверок и регулировок средств измерения частоты, а хранители (часы) рабо- тают непрерывно и для них определяется значение фазы выходного сигнала относительно некоторого начального момента. Таким образом, квантовые меры частоты (реперы) обеспе- чивают воспроизведение единицы времени и частоты, а квантовые часы (хранители времени) служат для воспроизведения шкал времени ТА (SU) и UTC(SU).
В состав Государственного первичного эталона входят: цезиевый репер; цезиевые ча- сы; водородные реперы и часы; рубидиевые часы (квантовый генератор на рубидии с опти- ческой накачкой); аппаратура внутренних и внешних сличений эталонов и аппаратура средств обеспечения.
Цезиевый репер, входящий в состав эталона, включается два раза в месяц, и с его по- мощью определяют частоту рубидиевых часов, отличающихся высокой кратковременной стабильностью (порядка 1*10
-13
—2*10
-13
в течение 1
10 с, за сутки приблизительно на два порядка хуже). Одновременно путем сравнения с частотой рубидиевых часов, определяют частоту водородных реперов. После этого в течение полумесяца с ними сравнивают основ- ные хранители эталона — водородные и цезиевые часы.
Государственный первичный эталон времени и частоты обеспечивает воспроизведение единиц с относительным средним квадратическим отклонением результата измерений, не большим 1 * 10
-13
, при неисключенной относительной систематической погрешности, не превышающей 1*10
-12
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
17
Л4. Классификация способов и методов измерений.
По способу получения результатов измерения (виду уравнения измерения) различают прямые, косвенные, совокупные и совместные измерения.
Прямыми измерениями называют такие, при которых значение физической величины находят непосредственно из опытных данных (уравнение Q = X). Пример: измерение тока с помощью амперметра.
Косвенные измерения - такие, при которых искомое значение физической величины Y находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами X
1
,
X
2
,….X
n подвергаемыми прямым измерениям. Y= f(X
1
, X
2
,….X
n
). Пример: измерение мощ- ности методом амперметра, вольтметра. P = U*I.
Совокупными измерениями называют измерения, производимые одновременно для не- скольких одноименных величин, при которых искомую величину находят решением систе- мы уравнений, для получаемых при прямых измерениях различных сочетаний этих величин.
Пример: измерение индуктивности катушки и межвитковой ёмкости.
Совместными измерениями называют проводимые одновременно измерения двух или нескольких неодноимённых величин для нахождения зависимости между ними.
Пример: определение температурного коэффициента сопротивление резистора.
Принцип измерений - совокупность физических явлений, на которых основаны измере- ния. Пример: измерение напряжения на основе электростатического взаимодействия заря- жённых проводников.
Метод измерений - совокупность приёмов, используемых принципов и средств измере- ния. Различают два основных метода измерений: непосредственной оценки и сравнения с мерой.
Метод непосредственной оценки - метод измерений, в котором значение физической величины определяют непосредственно по отсчётному устройству измерительного прибора прямого действия.
Методы сравнения с мерой - методы измерений, в которых измеряемую величину находят, сравнивая с величиной, воспроизводимой мерой. Пример: измерение напряжения постоянного тока на компенсаторе сравнением с Э.Д.С. нормального элемента. В методе сравнения с мерой можно выделить следующие разновидности: а) Метод противопоставления, - в котором измеряемая величина и величина воспроиз- водимая мерой одновременно воздействуют на прибор сравнения, с помощью которого уста- навливается соотношение между этими величинами. Пример: измерение частоты на осцил- лографе с помощью фигур Лиссажу. б) Нулевой метод – разновидность метода сравнения, в котором результирующий эф- фект воздействия на прибор сравнения доводят до нуля. в) Метод дифференциальный, в котором на измерительный прибор (не обязательно прибор сравнения) действует разность измеряемой величины и величины воспроизводимой мерой. Пример: измерение электрического сопротивления мостом с неполным его уравнове- шиванием. г) Метод замещения, - в котором измеряемую величину замещают в измерительной установке известной величиной, воспроизводимой мерой, Пример: измерение амплитуды напряжения на осциллографе, имеющем калибратор напряжения. д) Метод совпадения - о значении разности измеряемой величины и величины воспро- изводимой мерой судят по совпадению отметок шкал или периодических сигналов. На этом методе основана работа многих цифровых измерительных приборов, стробоскопа, нони- усной шкалы.
Элементы теории погрешностей
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
18
В зависимости от характера проявления, причин возникновения, а также способов учё- та или исключения все погрешности измерений можно разделить на три группы:
1) случайные;
2) систематические;
3) Грубые погрешности и промахи.
Случайной погрешностью называется составляющая погрешности измерений, изменя- ющаяся случайно при повторных измерениях одной и той же величины. Причины их возник- новения и закономерности неизвестны или их невозможно учесть. Эти погрешности обу- словлены случайными факторами.
Систематической погрешностью измерений называется составляющая погрешности, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. Эти погрешности обусловлены факторами, которые в процессе измере- ний остаются постоянными или изменяются по определённому закону. Их можно учесть или исключить из результатов измерений.
Грубые погрешности - погрешности измерения, существенно превышающие ожидае- мые при данных условиях. Они возникают под влиянием неожиданно сильного проявления одного из случайных факторов. Промахи связаны с неверными действиями оператора.
По причине возникновения погрешности можно разделить на инструментальные, по- грешности установок, внешних влияний, методические, субъективные.
Инструментальные погрешности - обусловлены несовершенством инструментальных средств. Пример: погрешность из-за неточности нанесения делений на отсчетную шкалу, погрешность из-за люфтов и износа деталей.
Погрешность установок - возникает при работе приборов в неправильном положении или из–за несогласованности характеристик приборов, составляющих измерительную уста- новку.
Погрешности внешних влияний появляются в связи с тем, что на работу прибора или количество меры могут оказать влияние температура окружающей среды, влажность, давле- ние, вибрация, воздушные потоки, электрические и магнитные поля
Методические (теоретические) погрешности возникают вследствие недостаточной раз- работки теории метода измерения, а также от упрощений, допускаемых при проведении из- мерений. Пример: Подключение вольтметра с недостаточной чувствительностью (малым внутренним сопротивлением) может существенно изменить распределение токов и напряже- ний в исследуемой схеме.
Субъективные (личные) погрешности обусловлены индивидуальными особенностями оператора (слухом, зрением и т.д.).
Случайные погрешности
Причин, вызывающих погрешности, может быть много, а влияние каждой из них мало и изменчиво. В этом случае величина погрешности является случайной. Устранить случай- ные погрешности невозможно, но существуют методы их оценки, основанные на теории ве- роятности и математической статистике. Задача оценки погрешности результата измерения состоит в том, чтобы охарактеризовать неопределённость полученного результата, т.е. ука- зать границы изменения погрешности результата измерения при повторных измерениях.
Наиболее полной характеристикой случайной погрешности, как и любой случайной величи- ны, является закон распределения их вероятностей, определяющий возможные значения слу- чайной погрешности и вероятность их появления.
В большинстве физических измерений случайные погрешности подчиняются закону нормального распределения - закону Гаусса.
Случайную погрешность
X
i
i -го результата измерения можно представить как раз- ность между результатом измерения и математическим ожиданием М[Х] измеряемой вели-
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
19 чины, которое при отсутствии систематических погрешностей принимается за истинное зна- чение измеряемой величины:
Плотность нормального распределения вероятностей случайных погрешностей или дифференциальная функция нормального распределения Р(x) выражается формулой Гаусса:
;
2
]
[
exp
2 1
)
(
2 2
x
M
x
x
P
2 2
2
exp
2 1
)
(
x
x
P
где
X
- случайная абсолютная погрешность;
- среднеквадратическое отклонение.
Величина
2
- дисперсия случайной погрешности. Она представляет собой математи- ческое ожидание квадрата случайной погрешности, характеризуя разброс результатов изме- рения из-за наличия случайных погрешностей. В теории вероятности эта величина называет- ся вторым центральным моментом:
)
(
)
(
2 2
x
d
x
P
x
. Математическое ожидание – 1-й начальный момент:
dx
x
xP
x
M
)
(
]
[
. Заметим, что математическое ожидание, статистиче- ским аналогом которого является среднее арифметическое в общем случае не равно истин- ному значению измеряемой величины при конечном числе измерений. При N
и отсут- ствии систематической погрешности M[x]
x
0
, где x
0
- истинное значение.
Наряду с нормальным законом распределения случайной величины могут иметь место и другие законы распределения: прямоугольный, треугольный, трапецеидальный. Примера- ми случайных погрешностей с прямоугольным распределением являются погрешности, обу- словленные сухим трением в опорах стрелочного прибора, погрешности отсчёта по равно- мерной шкале аналоговых приборов, погрешности цифрового отсчёта. Дисперсию для этих распределений можно определить по приведенной выше формуле, рассчитав предварительно
P(x). Для расчета P(x) используем свойство
1
)
(
)
(
x
d
x
P
. Например, для прямоугольно- го распределения находим, что P(x)=1/2a в интервале – а
x
а. Полученное значение
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
20
P(x)=1/2a
подставляем в инте- грал
)
(
)
(
2 2
x
d
x
P
x
. Тогда
2
=a
2
/3;
3
a
. Аналогично можно определить, что для треугольного закона
6
a
Оценка погрешности результата изме- рения при n равноточных измерениях.
Наиболее достоверным значением, ко- торое можно приписать измеряемой вели- чине, является среднее арифметическое зна- чение ряда одинаковых измерений:
n
x
X
n
i
i
1
Оценкой математического ожидания
M[x] измеряемой величины будет
X . От- клонение результата каждого измерения (по числовому значению и по знаку) определя- ется из выражения
X
x
x
i
i
. Имеют ме- сто следующие свойства
n
i
i
n
i
i
A
x
x
1 2
1
)
(
;
0
минимальна при А= M[x].
Приближённое значение среднеквадратического отклонения определяется по прибли- жённой формуле Бесселя
1
1 2
n
x
n
i
i
. Оценка среднеквадратического отклонения
харак- теризует точность отдельного измерения и определяется всей совокупностью условий изме- рений. Оценка
2
(дисперсия) характеризует степень рассеяния результата измерений во- круг среднего арифметического. Так как среднее арифметическое обладает некоторой слу- чайной погрешностью, то вводится понятие оценки среднеквадратического отклонения среднеарифметического, равного
;
)
1
(
2 2
1 2
n
n
n
n
x
X
n
i
i
X
Рассмотренные оценки результата измерения, выраженные одним числом, называются точечными оценками.
Точечная оценка погрешности измерения неполная, поскольку
X
указывает на грани- цы интервала, в котором может находиться истинное значение x
0
, но ничего не говорит о ве- роятности попадания x
0 в этот интервал. При интервальной оценке определяется доверитель- ный интервал, между границами которого с определённой вероятностью находится истинное значение x
0
Вероятность попадания случайной погрешности в некоторый заданный интервал между
1
и
2
равна
2 1
2 1
).
(
2
exp
2 1
)
(
)
(
P
2 2
x
d
x
x
d
x
P
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
21
Введя замену переменной k =
x/
для симметричного интервала
1
= -
2
, получим
t
dk
k
t
0 2
2
exp
/
2
)
(
P
, где t =
2
/
. 0
Ф(t)
1. Вычисление данного интеграла поз- воляет установить соответствие между значениями Р и t.
Р
0,5 0,68 0,95 0,98 0,99 0,997 t
0,667 1
2 2,33 2,58 3
Для оценки случайных погрешностей кроме доверительного интервала [-
;
] иногда используют доверительный интервал [-2/3
; 2/3
], но чаще всего [-3
;3
]. При
1,2
= 2/3
(см таблицу) появление случайных погрешностей в пределах и за пределами интервала рав- новероятно. Вероятность появления случайных погрешностей, абсолютное значение которых более 3
, составляет 0,3% (0,003). Интервал
3
в случае нормального закона представляет собой интервал достаточно достоверного результата измерения. Поэтому принято считать при практических измерениях, что появление погрешности, большей 3
, почти исключено.
При технических измерениях, когда значение измеряемой величины определяется при малом числе измерений 2
n <20, размер доверительного интервала увеличивается и пра- вильнее определить его по формуле
1,2
= t
p,n
X
, где t
p,n
- коэффициент распределения Сть- юдента - зависит от задаваемой вероятности P, числа измерений n, и определяется по таб- лице, рассчитанной на основании уравнения
2 1
2 1
2 2
1
)
,
(
k
k
t
k
k
k
k
t
S
где k = n-1
число степеней свободы, S(t,n) -плотность распределения Стьюдента; n – число измерений
P 0,9 0,95 0,98 n
2 6,314 12,706 31,821 3
2,920 4,303 6.965 6
2,015 2,571 3,36
Обработка результатов измерения
Обработка результатов измерения состоит в определении приближённого значения из- меряемой величины x c указанием погрешности. В случае n равноточных измерений она производится по следующему алгоритму.
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
22
Промахи
x i
>3
да
Среднеквадратическое отклонение
1
1 2
n
x
n
i
i
n измерений x
i
Математическое ожидание
M[x] =
X
Остаточные погрешности
x i
= x i
-
X
Ис кл ю
чи ть нет
Среднеквадратическое отклонение сред- него арифметического
n
n
n
x
n
i
i
X
)
1
(
1 2
Результат измерения
X
1,2
Доверительный интервал
1,2
= t
p,n
X
,
Задание доверительной вероятности P.
Определение t
p,n
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
23
Л5.Систематические погрешности,
Систематические погрешности, делятся на постоянные и переменные. Постоянные си- стематические погрешности не изменяются в течение всего времени измерения.
Переменные систематические погрешности могут изменять свою величину и знак в процессе измерений по определённому закону
Обнаружение, оценка и исключение систематических погрешностей является сложной задачей метрологии.
Исключение систематических погрешностей
В любом методе измерений отсутствие тех или иных систематических погрешностей или то, что они имеют малую величину, необходимо доказать. Необнаруженная системати- ческая погрешность опаснее случайной, т.к. случайная погрешность может быть сведена к минимуму большим числом измерений. Поэтому при разработке новых методов измерений или новых приборов необходимо выявить и исключить систематические погрешности. Су- ществуют следующие способы исключение систематических погрешностей:
I.
Устранение источников погрешности до начала измерений.
II.
Исключение погрешности в процессе измерений.
III.
Внесение поправок в результат измерений.
До начала измерения можно провести поверку прибора и его регулировку, т.е. исклю- чить инструментальную погрешность, носящую систематический характер.
Исключение погрешности в процессе измерения осуществляется двумя способами: а) Способ замещения заключается в том, что измеряемый объект заменяется образцом, при неизменном условии проведения опыта. б) Способ компенсации систематической погрешности по знаку заключается в том, что производится два измерения, при которых систематическая погрешность один раз входит в результат со знаком "+", а в другой раз со знаком "-". Среднее арифметическое не содержит погрешности.
Исключение систематической погрешности после измерения производится путём вне- сения поправок или умножения на поправочный коэффициент результата измерения. Если поправка складывается с результатом, то такая систематическая погрешность называется ад- дитивной (погрешность установки нуля). Если для устранения погрешности необходимо умножить результат на некоторый коэффициент, то такая погрешность называется мульти- пликативной (погрешность чувствительности прибора).
Часто исключить систематическую погрешность не удаётся по одной из двух причин:
1. Не с чем сравнить результат для поверки.
2. Измерение проводилось с помощью интегрирующих приборов, когда сама измеряе- мая величина непрерывно изменяется. В таких случаях необходимо определить границы возможных систематических погрешностей.
Погрешности средств измерений.
Различают погрешности результата измерения и погрешность самого прибора или ме- ры. Погрешность результата измерения включает помимо погрешности прибора и другие со- ставляющие, например, погрешность метода, субъективную погрешность. Погрешность средств измерений может иметь обе составляющие - систематическую и случайную.
Все средства измерений, независимо от их конкретного исполнения, обладают рядом общих свойств, необходимых для выполнения ими их функционального назначения. Техни- ческие характеристики, описывающие эти свойства и оказывающие влияние на результаты и на погрешности измерений, называются метрологическими характеристиками. Перечень важнейших из них регламентируется ГОСТ 8.009—72 «ГСИ. Нормируемые метрологические
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
24 характеристики средств измерений». Комплекс нормируемых метрологических характери- стик устанавливается таким образом, чтобы с их помощью можно было оценить погреш- ность измерений, осуществляемых в известных рабочих условиях эксплуатации посредством отдельных средств измерений или совокупности средств измерений, например, автоматиче- ских измерительных систем.
Одной из основных метрологических характеристик измерительных преобразователей является статическая характеристика преобразования (иначе называемая функцией преобра- зования или градуировочной характеристикой). Она устанавливает зависимость у = f(х) ин- формативного параметра
1 2 3 4 5
Измерения времени и частоты колебаний тесно связаны друг с другом, и их единица воспроизводится одним и тем же эталоном. Астрономические шкалы времени базируются на явлениях вращения Земли вокруг собственной оси и обращения Земли вокруг Солнца по
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
15 слегка эллиптической орбите. Однако такие шкалы не могут быть достаточно точными т. к. параметры движения небесных тел не постоянны.
В 1967 г. XIII Генеральная конференция по мерам и весам постановила, что квантовый переход между линиями сверхтонкой структуры атома
133
Cs, а именно невозмущенный внешними полями переход F = 4, m
F
= 0
F = 3; m
F
= 0 основного состояния
2
S
1/2
, дает ча- стоту 9,192631770 ГГц точно. Тем самым определяется, и единица времени — секунда — как интервал времени, в течение которого совершается 9 192 631 770 колебаний излучения при этом переходе.
Ядро атома цезия, обладающее магнитным моментом (спин I=7/2), взаимодействует с магнитным моментом валентного электрона (спин I=1/2). Это и приводит к расщеплению ос- новного электронного уровня атома на ряд подуровней т. е. к образованию так называемой сверхтонкой структуры. Частоты, соответствующие переходам между уровнями сверхтонкой структуры, попадают в диапазон радиочастот. Очень важно, что энергия перехода между уровнями сверхтонкой структуры, а стало быть, и соответствующая частота, очень мало за- висят от внешних магнитных полей.
В эталонах удается настолько снизить напряженность внешних магнитных полей, что смещение частоты, соответствую- щей используемому переходу, со- ставляет всего 10
-12
от частоты при полном отсутствии внешних маг- нитных полей. От других парамет- ров (электрического поля, давления, плотности пучка и т. п.) частота пе- рехода зависит еще меньше.
На рис. приведена схема це- зиевого атомно-лучевого эталона времени и частоты.
Источник 1 атомного пучка представляет собой контейнер из металла, стойкого по от- ношению к щелочам. В стенке контейнера имеются каналы, формирующие пучок. Темпера- тура источника 100
150°С. Магниты 2 служат для сортировки атомов пучка по состояниям сверхтонкой структуры: выделяются атомы, находящиеся в состояниях F = 3, m
F
=0 и F =4, m
F
= 0.
К резонаторам 3 подводится сверхвысокочастотный сигнал, частоту которого можно в некоторых пределах изменять около значения 9192631770 Гц. В результате действия этого сигнала, выделенные атомы переходят из состояния F = 3, m
F
=0 в состояние F =4, m
F
= 0 или обратно. Второй сортирующий магнит выделяет из пучка только те атомы, которые пе- решли из одного состояния в другое в результате взаимодействия сполем сигнала. Атомы, совершившие переход, попадают в приемник 4 и регистрируются индикатором 5.
Если частота подводимого сигнала точно соответствует частоте перехода, то показания индикатора максимальны. Если же частота сигнала отличается от частоты перехода, то пока- зания индикатора резко уменьшаются. Это и служит основой стабилизации частоты. Частота сигнала, соответствующая максимальным показаниям индикатора, принимается за
9192631770 Гц.
Все узлы установки помещены в камеру, в которой поддерживается высокий вакуум.
Стабильность эталона с атомным пучком цезия равна 10
-11
, в настоящее время их ис- пользуют службы времени и часто- ты.
Принцип работы водородных генераторов (на атомарном водоро- де) основан на использовании кван-
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
16 тового перехода между состояниями F = 1, m
F
= 0 и F = 0, m
F
= 0 в сверхтонкой структуре основного состояния атомовводорода,частота которого при отсутствии внешних воздей- ствий постоянна и равна 1420405751,8 Гц.
Схема и принцип действия водородного генератора изображены на рис.
Атомы водорода получаются в источнике 1, представляющем собой стеклянную труб- ку, где происходит диссоциация молекул водорода под действием высокочастотного элек- трического разряда. Пучок атомов водорода выходит из источника через коллиматор, обес- печивающий его направленность, и попадает в поле шестиполюсного аксиального магнита 2.
В сильном неоднородном поле, создаваемом этим магнитом, происходит пространственная сортировка атомов в пучке, так что атомы, находящиеся на уровне F = 1, m
F
= 0, фокусиру- ются на вход накопительной ячейки 3, которая расположена внутри высокодобротного объ- емного резонатора 4, настроенного на частоту используемого перехода.
Конструкция ячейки такова, что атомы находятся в резонаторе около секунды. Ее стен- ки покрыты фторопластом, в результате чего даже при более чем 10 5
соударениях атома во- дорода со стенкой его энергетическое состояние не меняется.
Взаимодействие возбужденных атомов с высокочастотным полем резонатора в течение секунды повышает вероятность их перехода в нижнее энергетическое состояние и вызывает самовозбуждение генератора, а также увеличивает добротность линии излучения и соответ- ственно стабильность частоты генератора.
Для уменьшения влияния внешних магнитных полей на частоту водородного генерато- ра резонатор помещают в многослойный экран 5.
В Государственном первичном эталоне времени и частоты используются квантовые меры, в которых за опорную принимается частота, соответствующая частоте энергетическо- го перехода в атомах или молекулах выбранного вещества. Квантовые меры подразделяются на реперы и хранители. Они различаются тем, что реперы включаются эпизодически с целью осуществления поверок и регулировок средств измерения частоты, а хранители (часы) рабо- тают непрерывно и для них определяется значение фазы выходного сигнала относительно некоторого начального момента. Таким образом, квантовые меры частоты (реперы) обеспе- чивают воспроизведение единицы времени и частоты, а квантовые часы (хранители времени) служат для воспроизведения шкал времени ТА (SU) и UTC(SU).
В состав Государственного первичного эталона входят: цезиевый репер; цезиевые ча- сы; водородные реперы и часы; рубидиевые часы (квантовый генератор на рубидии с опти- ческой накачкой); аппаратура внутренних и внешних сличений эталонов и аппаратура средств обеспечения.
Цезиевый репер, входящий в состав эталона, включается два раза в месяц, и с его по- мощью определяют частоту рубидиевых часов, отличающихся высокой кратковременной стабильностью (порядка 1*10
-13
—2*10
-13
в течение 1
10 с, за сутки приблизительно на два порядка хуже). Одновременно путем сравнения с частотой рубидиевых часов, определяют частоту водородных реперов. После этого в течение полумесяца с ними сравнивают основ- ные хранители эталона — водородные и цезиевые часы.
Государственный первичный эталон времени и частоты обеспечивает воспроизведение единиц с относительным средним квадратическим отклонением результата измерений, не большим 1 * 10
-13
, при неисключенной относительной систематической погрешности, не превышающей 1*10
-12
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
17
Л4. Классификация способов и методов измерений.
По способу получения результатов измерения (виду уравнения измерения) различают прямые, косвенные, совокупные и совместные измерения.
Прямыми измерениями называют такие, при которых значение физической величины находят непосредственно из опытных данных (уравнение Q = X). Пример: измерение тока с помощью амперметра.
Косвенные измерения - такие, при которых искомое значение физической величины Y находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами X
1
,
X
2
,….X
n подвергаемыми прямым измерениям. Y= f(X
1
, X
2
,….X
n
). Пример: измерение мощ- ности методом амперметра, вольтметра. P = U*I.
Совокупными измерениями называют измерения, производимые одновременно для не- скольких одноименных величин, при которых искомую величину находят решением систе- мы уравнений, для получаемых при прямых измерениях различных сочетаний этих величин.
Пример: измерение индуктивности катушки и межвитковой ёмкости.
Совместными измерениями называют проводимые одновременно измерения двух или нескольких неодноимённых величин для нахождения зависимости между ними.
Пример: определение температурного коэффициента сопротивление резистора.
Принцип измерений - совокупность физических явлений, на которых основаны измере- ния. Пример: измерение напряжения на основе электростатического взаимодействия заря- жённых проводников.
Метод измерений - совокупность приёмов, используемых принципов и средств измере- ния. Различают два основных метода измерений: непосредственной оценки и сравнения с мерой.
Метод непосредственной оценки - метод измерений, в котором значение физической величины определяют непосредственно по отсчётному устройству измерительного прибора прямого действия.
Методы сравнения с мерой - методы измерений, в которых измеряемую величину находят, сравнивая с величиной, воспроизводимой мерой. Пример: измерение напряжения постоянного тока на компенсаторе сравнением с Э.Д.С. нормального элемента. В методе сравнения с мерой можно выделить следующие разновидности: а) Метод противопоставления, - в котором измеряемая величина и величина воспроиз- водимая мерой одновременно воздействуют на прибор сравнения, с помощью которого уста- навливается соотношение между этими величинами. Пример: измерение частоты на осцил- лографе с помощью фигур Лиссажу. б) Нулевой метод – разновидность метода сравнения, в котором результирующий эф- фект воздействия на прибор сравнения доводят до нуля. в) Метод дифференциальный, в котором на измерительный прибор (не обязательно прибор сравнения) действует разность измеряемой величины и величины воспроизводимой мерой. Пример: измерение электрического сопротивления мостом с неполным его уравнове- шиванием. г) Метод замещения, - в котором измеряемую величину замещают в измерительной установке известной величиной, воспроизводимой мерой, Пример: измерение амплитуды напряжения на осциллографе, имеющем калибратор напряжения. д) Метод совпадения - о значении разности измеряемой величины и величины воспро- изводимой мерой судят по совпадению отметок шкал или периодических сигналов. На этом методе основана работа многих цифровых измерительных приборов, стробоскопа, нони- усной шкалы.
Элементы теории погрешностей
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
18
В зависимости от характера проявления, причин возникновения, а также способов учё- та или исключения все погрешности измерений можно разделить на три группы:
1) случайные;
2) систематические;
3) Грубые погрешности и промахи.
Случайной погрешностью называется составляющая погрешности измерений, изменя- ющаяся случайно при повторных измерениях одной и той же величины. Причины их возник- новения и закономерности неизвестны или их невозможно учесть. Эти погрешности обу- словлены случайными факторами.
Систематической погрешностью измерений называется составляющая погрешности, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. Эти погрешности обусловлены факторами, которые в процессе измере- ний остаются постоянными или изменяются по определённому закону. Их можно учесть или исключить из результатов измерений.
Грубые погрешности - погрешности измерения, существенно превышающие ожидае- мые при данных условиях. Они возникают под влиянием неожиданно сильного проявления одного из случайных факторов. Промахи связаны с неверными действиями оператора.
По причине возникновения погрешности можно разделить на инструментальные, по- грешности установок, внешних влияний, методические, субъективные.
Инструментальные погрешности - обусловлены несовершенством инструментальных средств. Пример: погрешность из-за неточности нанесения делений на отсчетную шкалу, погрешность из-за люфтов и износа деталей.
Погрешность установок - возникает при работе приборов в неправильном положении или из–за несогласованности характеристик приборов, составляющих измерительную уста- новку.
Погрешности внешних влияний появляются в связи с тем, что на работу прибора или количество меры могут оказать влияние температура окружающей среды, влажность, давле- ние, вибрация, воздушные потоки, электрические и магнитные поля
Методические (теоретические) погрешности возникают вследствие недостаточной раз- работки теории метода измерения, а также от упрощений, допускаемых при проведении из- мерений. Пример: Подключение вольтметра с недостаточной чувствительностью (малым внутренним сопротивлением) может существенно изменить распределение токов и напряже- ний в исследуемой схеме.
Субъективные (личные) погрешности обусловлены индивидуальными особенностями оператора (слухом, зрением и т.д.).
Случайные погрешности
Причин, вызывающих погрешности, может быть много, а влияние каждой из них мало и изменчиво. В этом случае величина погрешности является случайной. Устранить случай- ные погрешности невозможно, но существуют методы их оценки, основанные на теории ве- роятности и математической статистике. Задача оценки погрешности результата измерения состоит в том, чтобы охарактеризовать неопределённость полученного результата, т.е. ука- зать границы изменения погрешности результата измерения при повторных измерениях.
Наиболее полной характеристикой случайной погрешности, как и любой случайной величи- ны, является закон распределения их вероятностей, определяющий возможные значения слу- чайной погрешности и вероятность их появления.
В большинстве физических измерений случайные погрешности подчиняются закону нормального распределения - закону Гаусса.
Случайную погрешность
X
i
i -го результата измерения можно представить как раз- ность между результатом измерения и математическим ожиданием М[Х] измеряемой вели-
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
19 чины, которое при отсутствии систематических погрешностей принимается за истинное зна- чение измеряемой величины:
Плотность нормального распределения вероятностей случайных погрешностей или дифференциальная функция нормального распределения Р(x) выражается формулой Гаусса:
;
2
]
[
exp
2 1
)
(
2 2
x
M
x
x
P
2 2
2
exp
2 1
)
(
x
x
P
где
X
- случайная абсолютная погрешность;
- среднеквадратическое отклонение.
Величина
2
- дисперсия случайной погрешности. Она представляет собой математи- ческое ожидание квадрата случайной погрешности, характеризуя разброс результатов изме- рения из-за наличия случайных погрешностей. В теории вероятности эта величина называет- ся вторым центральным моментом:
)
(
)
(
2 2
x
d
x
P
x
. Математическое ожидание – 1-й начальный момент:
dx
x
xP
x
M
)
(
]
[
. Заметим, что математическое ожидание, статистиче- ским аналогом которого является среднее арифметическое в общем случае не равно истин- ному значению измеряемой величины при конечном числе измерений. При N
и отсут- ствии систематической погрешности M[x]
x
0
, где x
0
- истинное значение.
Наряду с нормальным законом распределения случайной величины могут иметь место и другие законы распределения: прямоугольный, треугольный, трапецеидальный. Примера- ми случайных погрешностей с прямоугольным распределением являются погрешности, обу- словленные сухим трением в опорах стрелочного прибора, погрешности отсчёта по равно- мерной шкале аналоговых приборов, погрешности цифрового отсчёта. Дисперсию для этих распределений можно определить по приведенной выше формуле, рассчитав предварительно
P(x). Для расчета P(x) используем свойство
1
)
(
)
(
x
d
x
P
. Например, для прямоугольно- го распределения находим, что P(x)=1/2a в интервале – а
x
а. Полученное значение
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
20
P(x)=1/2a
подставляем в инте- грал
)
(
)
(
2 2
x
d
x
P
x
. Тогда
2
=a
2
/3;
3
a
. Аналогично можно определить, что для треугольного закона
6
a
Оценка погрешности результата изме- рения при n равноточных измерениях.
Наиболее достоверным значением, ко- торое можно приписать измеряемой вели- чине, является среднее арифметическое зна- чение ряда одинаковых измерений:
n
x
X
n
i
i
1
Оценкой математического ожидания
M[x] измеряемой величины будет
X . От- клонение результата каждого измерения (по числовому значению и по знаку) определя- ется из выражения
X
x
x
i
i
. Имеют ме- сто следующие свойства
n
i
i
n
i
i
A
x
x
1 2
1
)
(
;
0
минимальна при А= M[x].
Приближённое значение среднеквадратического отклонения определяется по прибли- жённой формуле Бесселя
1
1 2
n
x
n
i
i
. Оценка среднеквадратического отклонения
харак- теризует точность отдельного измерения и определяется всей совокупностью условий изме- рений. Оценка
2
(дисперсия) характеризует степень рассеяния результата измерений во- круг среднего арифметического. Так как среднее арифметическое обладает некоторой слу- чайной погрешностью, то вводится понятие оценки среднеквадратического отклонения среднеарифметического, равного
;
)
1
(
2 2
1 2
n
n
n
n
x
X
n
i
i
X
Рассмотренные оценки результата измерения, выраженные одним числом, называются точечными оценками.
Точечная оценка погрешности измерения неполная, поскольку
X
указывает на грани- цы интервала, в котором может находиться истинное значение x
0
, но ничего не говорит о ве- роятности попадания x
0 в этот интервал. При интервальной оценке определяется доверитель- ный интервал, между границами которого с определённой вероятностью находится истинное значение x
0
Вероятность попадания случайной погрешности в некоторый заданный интервал между
1
и
2
равна
2 1
2 1
).
(
2
exp
2 1
)
(
)
(
P
2 2
x
d
x
x
d
x
P
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
21
Введя замену переменной k =
x/
для симметричного интервала
1
= -
2
, получим
t
dk
k
t
0 2
2
exp
/
2
)
(
P
, где t =
2
/
. 0
Ф(t)
1. Вычисление данного интеграла поз- воляет установить соответствие между значениями Р и t.
Р
0,5 0,68 0,95 0,98 0,99 0,997 t
0,667 1
2 2,33 2,58 3
Для оценки случайных погрешностей кроме доверительного интервала [-
;
] иногда используют доверительный интервал [-2/3
; 2/3
], но чаще всего [-3
;3
]. При
1,2
= 2/3
(см таблицу) появление случайных погрешностей в пределах и за пределами интервала рав- новероятно. Вероятность появления случайных погрешностей, абсолютное значение которых более 3
, составляет 0,3% (0,003). Интервал
3
в случае нормального закона представляет собой интервал достаточно достоверного результата измерения. Поэтому принято считать при практических измерениях, что появление погрешности, большей 3
, почти исключено.
При технических измерениях, когда значение измеряемой величины определяется при малом числе измерений 2
n <20, размер доверительного интервала увеличивается и пра- вильнее определить его по формуле
1,2
= t
p,n
X
, где t
p,n
- коэффициент распределения Сть- юдента - зависит от задаваемой вероятности P, числа измерений n, и определяется по таб- лице, рассчитанной на основании уравнения
2 1
2 1
2 2
1
)
,
(
k
k
t
k
k
k
k
t
S
где k = n-1
число степеней свободы, S(t,n) -плотность распределения Стьюдента; n – число измерений
P 0,9 0,95 0,98 n
2 6,314 12,706 31,821 3
2,920 4,303 6.965 6
2,015 2,571 3,36
Обработка результатов измерения
Обработка результатов измерения состоит в определении приближённого значения из- меряемой величины x c указанием погрешности. В случае n равноточных измерений она производится по следующему алгоритму.
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
22
Промахи
x i
>3
да
Среднеквадратическое отклонение
1
1 2
n
x
n
i
i
n измерений x
i
Математическое ожидание
M[x] =
X
Остаточные погрешности
x i
= x i
-
X
Ис кл ю
чи ть нет
Среднеквадратическое отклонение сред- него арифметического
n
n
n
x
n
i
i
X
)
1
(
1 2
Результат измерения
X
1,2
Доверительный интервал
1,2
= t
p,n
X
,
Задание доверительной вероятности P.
Определение t
p,n
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
23
Л5.Систематические погрешности,
Систематические погрешности, делятся на постоянные и переменные. Постоянные си- стематические погрешности не изменяются в течение всего времени измерения.
Переменные систематические погрешности могут изменять свою величину и знак в процессе измерений по определённому закону
Обнаружение, оценка и исключение систематических погрешностей является сложной задачей метрологии.
Исключение систематических погрешностей
В любом методе измерений отсутствие тех или иных систематических погрешностей или то, что они имеют малую величину, необходимо доказать. Необнаруженная системати- ческая погрешность опаснее случайной, т.к. случайная погрешность может быть сведена к минимуму большим числом измерений. Поэтому при разработке новых методов измерений или новых приборов необходимо выявить и исключить систематические погрешности. Су- ществуют следующие способы исключение систематических погрешностей:
I.
Устранение источников погрешности до начала измерений.
II.
Исключение погрешности в процессе измерений.
III.
Внесение поправок в результат измерений.
До начала измерения можно провести поверку прибора и его регулировку, т.е. исклю- чить инструментальную погрешность, носящую систематический характер.
Исключение погрешности в процессе измерения осуществляется двумя способами: а) Способ замещения заключается в том, что измеряемый объект заменяется образцом, при неизменном условии проведения опыта. б) Способ компенсации систематической погрешности по знаку заключается в том, что производится два измерения, при которых систематическая погрешность один раз входит в результат со знаком "+", а в другой раз со знаком "-". Среднее арифметическое не содержит погрешности.
Исключение систематической погрешности после измерения производится путём вне- сения поправок или умножения на поправочный коэффициент результата измерения. Если поправка складывается с результатом, то такая систематическая погрешность называется ад- дитивной (погрешность установки нуля). Если для устранения погрешности необходимо умножить результат на некоторый коэффициент, то такая погрешность называется мульти- пликативной (погрешность чувствительности прибора).
Часто исключить систематическую погрешность не удаётся по одной из двух причин:
1. Не с чем сравнить результат для поверки.
2. Измерение проводилось с помощью интегрирующих приборов, когда сама измеряе- мая величина непрерывно изменяется. В таких случаях необходимо определить границы возможных систематических погрешностей.
Погрешности средств измерений.
Различают погрешности результата измерения и погрешность самого прибора или ме- ры. Погрешность результата измерения включает помимо погрешности прибора и другие со- ставляющие, например, погрешность метода, субъективную погрешность. Погрешность средств измерений может иметь обе составляющие - систематическую и случайную.
Все средства измерений, независимо от их конкретного исполнения, обладают рядом общих свойств, необходимых для выполнения ими их функционального назначения. Техни- ческие характеристики, описывающие эти свойства и оказывающие влияние на результаты и на погрешности измерений, называются метрологическими характеристиками. Перечень важнейших из них регламентируется ГОСТ 8.009—72 «ГСИ. Нормируемые метрологические
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
24 характеристики средств измерений». Комплекс нормируемых метрологических характери- стик устанавливается таким образом, чтобы с их помощью можно было оценить погреш- ность измерений, осуществляемых в известных рабочих условиях эксплуатации посредством отдельных средств измерений или совокупности средств измерений, например, автоматиче- ских измерительных систем.
Одной из основных метрологических характеристик измерительных преобразователей является статическая характеристика преобразования (иначе называемая функцией преобра- зования или градуировочной характеристикой). Она устанавливает зависимость у = f(х) ин- формативного параметра
1 2 3 4 5
у выходного сигнала измерительного преобразователя от инфор- мативного параметра х входного сигнала.
Статическая характеристика нормируется путем задания в форме уравнения, графика или таблицы некоторой номинальной статической характеристики, которая официально при- писывается данному измерительному преобразователю при номинальных значениях неин- формативных параметров входного сигнала. Понятие статической характеристики примени- мо и к измерительным приборам, если под независимой переменной х понимать значение измеряемой величины или информативного параметра входного сигнала, а под зависимой величиной y — показание прибора.
Если статическая характеристика преобразования линейна у=К х, то коэффициент К называется чувствительностью измерительного прибора (преобразователя). В противном случае под чувствительностью следует понимать производную от статической характеристи- ки.
Важной характеристикой шкальных измерительных приборов является цена деления, т. е. то изменение измеряемой величины, которому соответствует перемещение указателя на одно деление шкалы. Если чувствительность постоянна в каждой точке диапазона измере- ния, то шкала называется равномерной. При неравномерной шкале нормируется наименьшая цена деления шкалы измерительных приборов, а также многозначных мер со шкалой. У цифровых приборов шкалы в явном виде нет, и для них вместо цены деления указывается цена единицы младшего разряда числа в показании прибора.
Важнейшей метрологической характеристикой средств измерений является погреш- ность.
Под абсолютной погрешностью меры понимается алгебраическая разность между ее номинальным Х
н
и действительным Х
д
значениями:
= Х
н
- Х
д
, а под абсолютной погрешно- стью измерительного прибора — разность между его показанием Х
П
и действительным зна- чением Хд воздействующей величины:
= Х
П
-Х
д
.
Абсолютная погрешность измерительного преобразователя может быть выражена в единицах входной или выходной величины. В единицах входной величины абсолютная по- грешность преобразователя определяется как разность между значением входной величины
X, найденной по действительному значению выходной величины и номинальной статической характеристике преобразователя, и действительным значением Хд входной величины:
= Х -
Х
д
. Однако в большей степени точность средства измерений характеризует относительная
погрешность, т. е. выраженное в процентах отношение абсолютной погрешности к действи- тельному значению измеряемой или воспроизводимой данным средством измерений величи- ны:
= 100
X/X
д
. Обычно
<<1, поэтому в формулу вместо действительного значения ча- сто может быть подставлено номинальное значение меры или показание измерительного прибора.
Если диапазон измерения прибора охватывает и нулевое значение измеряемой величи- ны, то относительная погрешность обращается в бесконечность в соответствующей ему точ- ке шкалы. В этом случае пользуются понятием приведенной погрешности, равной отноше-
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
25 нию абсолютной погрешности измерительного прибора к некоторому нормирующему значе- нию X
N
:
= 100
X/X
N
В качестве нормирующего значения принимается значение, характерное для данного вида измерительного прибора. Это может быть, например, диапазон измерений, верхний предел измерений, длина шкалы и т. д. Правила выбора нормирующего значения приводятся в ГОСТ 8.009—72.
Погрешности измерительных средств принято подразделять на статические, имеющие место при измерении постоянных величин после завершения переходных процессов в эле- ментах приборов и преобразователей, и динамические, появляющиеся при измерении пере- менных величин и обусловленные инерционными свойствами средств измерений.
Согласно общей классификации, статические погрешности измерительных средств де- лятся на систематические и случайные. Систематические погрешности являются в общем случае, функцией измеряемой величины, влияющих величин (температуры, влажности, напряжения питания и пр.) и времени.
В функции измеряемой величины систематические погрешности находят при поверке и аттестации образцовых приборов, например, измерением наперед заданных значений изме- ряемой величины в нескольких точках шкалы. В результате строится кривая или создается таблица погрешностей, которая используется, для определения поправок. Поправка в каждой точке шкалы численно равна систематической погрешности и обратна ей по знаку, поэтому при определении действительного значения измеряемой величины поправку следует приба- вить к показанию прибора. Так, если поправка к показанию динамометра 120 Н равна +0,6 Н, те действительное значение измеряемой силы составляет 120 + 0,6 = 120,6 Н. Удобнее поль- зоваться поправкой, чем систематической погрешностью, поэтому приборы чаще снабжают кривыми или таблицами поправок.
Систематическую погрешность в функции измеряемой величины можно представить в виде суммы погрешности схемы, определяемой самой структурной схемой средства измере- ний, и технологических погрешностей, обусловленных погрешностями изготовления его элементов.
Как те, так и другие виды погрешностей можно рассматривать в качестве систематиче- ских лишь при измерении постоянной величины с помощью одного экземпляра измеритель- ного прибора. В массе же измерений различных значений физической величины, осуществ- ляемых одним или многими приборами того же типоразмера, эти систематические погреш- ности приходится относить к классу случайных.
Выделение систематических погрешностей в отдельную группу обусловливается, та- ким образом, лишь тем, что при поверке измерительных средств они могут быть определены для каждой точки шкалы и исключены из результатов последующих измерений. Именно так и поступают при точных метрологических измерениях.
Между погрешностями схемы и технологическими погрешностями средств измерений существует принципиальная разница. Если первые накладывают свой отпечаток на характер изменения по шкале суммарной погрешности всех средств измерений - данного типоразмера, то технологические погрешности индивидуальны - для каждого экземпляра, т. е. их значения в одних и тех же точках шкалы различны для различных экземпляров приборов. Этим, ко- нечно, не отрицается возможность существования вероятностных связей между ними как в одной, так и в нескольких точках шкалы, поскольку общность технологического процесса изготовления приборов данного типа, несомненно, создает некоторую общность изменения их технологических погрешностей.
К числу характеристик погрешности относится также вариация выходного сигнала из- мерительного преобразователя или вариация показаний измерительного прибора. Согласно
ГОСТ 8.009—72 вариацией называется средняя разность между значениями информативного
Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”
Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
26 параметра выходного сигнала измерительного преобразователя (или показаний измеритель- ного прибора), соответствующими данной точке диапазона измерений при двух направлени- ях медленного многократного изменения информативного параметра входного сигнала в процессе подхода к данной точке диапазона. Вариация возникает из-за трения и зазоров в сочленениях подвижных деталей механизмов средств измерений или гистерезисных явлений, свойственных его элементам.
Динамические погрешности обусловливаются инерционными свойствами средств из- мерений и появляются при измерении переменных во времени величин. Типичным случаем является измерение с регистрацией сигнала, изменяющегося со временем. Если x(t) и y(t) — сигналы на входе и на выходе средства измерений с чувствительностью К, то динамическая погрешность определяется как
Д
= y(t)/K - x(t).
Для средств измерений, являющихся линейными динамическими системами с сосредо- точенными, постоянными во времени параметрами, наиболее общая характеристика динами- ческих свойств — это дифференциальное уравнение. В этом случае уравнение линейное с постоянными коэффициентами:
)
(
)
(
)
(
0
)
(
0
t
x
b
t
y
a
j
m
j
j
i
n
i
i
, где y
(i)
(t) и x
(j)
(t) - i-е и j-е произ- водные входного и выходного сигналов; а
i
и b
j
, -- постоянные коэффициенты, n и m — поря- док левой и правой частей уравнения, причем n > m.
Дифференциальное уравнение является метрологической характеристикой средств из- мерения, поскольку позволяет при известном сигнале на входе x(t) найти выходной сигнал
у(t) и после подстановки их в соответствующее выражение вычислить динамическую по- грешность.
Для нормирования динамических свойств средств измерения часто указывают не само дифференциальное уравнение, а другие, производные от него, динамические характеристи- ки, которые более просто находятся экспериментальным путем. Сюда относятся пе- редаточная функция, амплитудная и фазовая частотные характеристики, переходная и им- пульсная переходная функции.
К числу метрологических характеристик средств измерения относятся и не информа- тивные параметры выходного сигнала измерительного преобразователя или меры, поскольку они могут оказывать существенное влияние на погрешность средства измерений. Например, непостоянство амплитуды колебаний баланса наручных часов (неинформативный параметр) приводит к изменению частоты его колебаний (информативный параметр).
При восприятии измеряемой величины или измерительного сигнала средство измере- ния оказывает некоторое воздействие на объект измерения или на источник сигнала. Резуль- татом этого воздействия может быть некоторое изменение измеряемой величины относи- тельно того значения, которое имело место при отсутствии средства измерения. Такое обрат- ное воздействие средства измерения на объект измерения особенно четко просматривается при измерении электрических величин.
Так, ЭДС нормального элемента определяется как напряжение на его зажимах в режи- ме холостого хода. При измерении этого напряжения вольтметром с некоторым конечным входным сопротивлением результат измерения будет зависеть от соотношения между внут- ренним сопротивлением нормального элемента (его выходное сопротивление) и входным сопротивлением вольтметра. Для оценки возникающей при этом погрешности необходимо знать значения этих сопротивлении, поэтому их следует рассматривать как метрологические характеристики меры (нормальный элемент) и измерительного прибора (вольтметр). В более сложных случаях эти сопротивления могут быть комплексными, и тогда носят общее назва- ние входного и выходного импеданса. Для средств измерения неэлектрических величин под входным импедансом понимается отношение обобщенной силы, действующей на входе из- мерительного прибора или преобразователя, к обобщенной скорости, действующей во вход-