Файл: Учебное пособие для вузов. М. Радио и связь, 1985. Кушнир В. Д. Электрорадиоизмерения Учебное пособие для вузов. М. Радио и связь, 1985.pdf

Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”

Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
32 этого стандарта является важным шагом на пути достижения действительного единства из- мерений в стране.

Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”

Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
33
Л7. Погрешности косвенных измерений
Результат косвенных измерений


1 2
3
,
,
( )


n
i
y
f x x x
x
f x
(1)
Если известны числовые характеристики погрешностей измерений
i
x
, т.е. известны
i
ci
i

   
(

i
-полная погрешность,

ci
–систематическая погрешность,
i

- случайная по- грешность
i
x
), то можно определить погрешности
c

   
измерения
y
. Для этого представим выражение (1) в виде степенного ряда:
2 2
2 1
1 1
( )
2




  

 
 




n
n
i
i
i
i
i
i
i
f
f
y
f x
x
x
Так как погрешности малы по сравнению со значением измеренной величины, то в разложении можно пренебречь слагаемыми со степенями
i

выше первой и учитывая (1):
1
n
i
i
i
f
x


 



(2)
Систематическая погрешность представляет собой математическое ожидание

, учи- тывая, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, полу- чаем:
1
n
c
ci
i
i
f
x


 



(3)
Это справедливо лишь при учете 1-х степеней, при учете уже 2-х степеней, появляют- ся зависимости от
i

, т.е. от случайной погрешности.
Вычитая (3) из (2), получим
1
n
i
i
i
f
x







Возведем обе части уравнения в квадрат:
2 2
2 1
2
n
n
i
i
j
i
i j
i
i
j
f
f
f
x
x
x


 






























это точная формула квадрата суммы.
Вычислив математическое ожидание левой и правой частей равенства, получим с уче- том:
 
2 2
( )




P
d




,
 
2 2
i
i
i
i
P
d








,
2 2
2
,
1 2
n
n
i
i
j i j
i
i j
i
i
j
f
f
f
r
x
x
x


 






























,
(4)


;
;
i
j
i
j
i
j
i
j
M
P
d d
 
 
 
 



 


 

Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”

Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
34 где


,
[
]
1
,
 
 


 
i
j
i j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
M
r
P
d d
 
     
 
 
– коэффициент взаимной корре- ляции погрешностей,


,
i
j
P
 
- совместная плотность вероятности случайных величин
i

и
j

Коэффициент взаимной корреляции
,
i j
r
характеризует статистическую связь погреш- ностей и заключен в пределах ±1. Предельные значения
,
i j
r
соответствуют линейной связи
i

и
j

. Для статистически независимых погрешностей
,
0
i j
r

Для статистически независимых погрешностей
2 2
2 1
n
i
i
i
f
x













На практике обычно информация о степени корреляционной связи отсутствует, и рас- сматривают
,
0, 1
i j
r
 
Погрешность суммы
Пусть зависимость
y
от
i
x
имеет вид суммы
 
1
n
i
i i
i
y
f x
a x




. В этом случае
i
i
f
a
x



и выражения для погрешностей имеют вид:
1
n
c
i
ci
i
a

 


,
2 2
2
,
1 2
n
n
i
i
i
j
i
j i j
i
i j
a
a a
r


 






Погрешность произведения
Рассмотрим функцию вида
 
1 2
1 2

n
i
n
y
f x
x x
x

 


,


i
i
i
y
x

В этом случае
1 2
1 1
2
i
n
i
i
i
n
i
i
f
x
x
x
x
y
x
x








 





,





i
ik
k
i
i
k
y
x
x
 

. Подставив эти выражения в (3) и разделив обе части на
y
, получим:
1
n
c
ci
i
i
i
y
x






Из (4) получим выражение для среднеквадратических отклонений:
2 2
2 2
,
2 1
2
n
n
j
i
i
i
i
j i j
i
i j
i
i
j
y
y
y
r
x
x
x





 


















Поделив обе части уравнения на
2
y
, получим:
2 2
2
,
1 2
n
n
i
i
i
j
i
j i j
i
i j
r

 
   






,

Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”

Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
35
Где
,
,
j
i
i
j
i
j
y
x
x









- относительные средние квадратичные отклонения ре- зультатов измерений
y
и
i
x
Примеры вычисления погрешностей для некоторой
f
Так как предельные погрешности находятся через

:
x
y



1 2
2 2
x
y
   


1 2
2 2
x
y
x
y
  


x
y



1 2
2 2
x
y
   
2 2
x
y
x
y
  


x y



1 2
2 2
2 2
y
x
x
y

  
1 2
2 2
y
x
x
y
























При ограниченном числе измерений формула для
,
i j
r
приобретает вид:

 





1
,
1 2
2 2
1 1



















n
i
i
i
i j
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y

Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”

Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
36
Обработка результатов при совместных измерениях. Аппроксимация методом наименьших квадратов
Одним из наиболее общих типов эксперимента является измерение нескольких значе- ний двух различных величин для исследования функциональной связи между ними (сов- местные измерения). Рассмотрим вначале случай, когда величины связаны линейной зависи- мостью вида
y
A
B x
  
. Так как измерения проводятся с погрешностью, возникает задача определение прямой линии, которая наилучшим образом аппроксимирует результаты изме- рений, т.е. задача определения наилучших оценок А и В.
Для упрощения будем полагать, что погрешность в измерении x пренебрежимо мала.
Это допущение, как правило, не приводит к грубым ошибкам.
Считая, что постоянные А и В известны для любого значения
i
x
можно вычислить точное значение
истi
y
:
истi
i
y
A
B x
  
. Считая, что
i
y
подчиняется нормальному распре- делению:
 


2 2
2
,
1 2

 

i
i
y
y
A Bx
A B
i
y
P
y
e


Вероятность получения всего набора результатов измерений
1
N
y
y
равна произве- дению отдельных вероятностей


 
 
2 2
,
1
,
1
,
1
,
A B
N
A B
A B
N
N
y
P
y
y
P
y
P
y
e







, где


2 2
2 1

  


N
i
i
i
y
y
A
B x


Наилучшей оценкой для А и В являются их значения, для которых


,
1
,
A B
N
P
y
y
максимальна или соответственно минимальна сумма
2

. Отсюда следует и название метода
(метод наименьших квадратов). Для нахождения минимума продифференцируем
2

по А и
В и приравняем производные нулю.


2 2
1 2
0
N
i
i
i
y
y
A
B x
A






 
  









;


2 2
1 2
0
N
i
i
i
i
y
x y
A
B x
B






 
  









Эти выражения можно переписать в виде системы уравнений:
1 1
2 1
1 1
N
N
i
i
i
i
N
N
N
i
i
i
i
i
i
i
A N
B
x
y
A
x
B
x
x y





  


 

 



Решением этой системы можно записать в виде

Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”

Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
37



 



 


2
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
y
x
x y
A
N
x y
x
y
B








 

 
;




2 2
i
i
N
x
x
  



- детерминант системы уравнений.
Полученная линия называется линией аппроксимации методом наименьших квадра- тов или линией линейной регрессии.
Аппроксимация другими зависимостями методом наименьших квадратов
Кроме рассмотренной линейной зависимости между двумя физическими величинами на практике встречается целый ряд других зависимостей. Например, часто одна переменная выражается через полином от второй переменной:
2
n
y
A
B x
C x
H x
    
  
, или представляется суммой тригонометрических функций sin cos
y
A
x
B
x
 
 
. Для всех возможных аппроксимационных функций, ли- нейных относительно параметров А, В, нормальные уравнения, определяющие наилучшие оценки для А, В, и т.д.это система линейных уравнений, которая может быть получена рас- смотренным выше способом.
Ряд физических величин удобно связать между собой экспоненциальной зависимо- стью вида:
B x
y
A e

 
Прямое применение изложенных выше методов приводит к таким уравнениям для А и
В, которые не имеют простого решения. В этом случае целесообразно линеаризизовать ап- проксимационную функцию:
 
 
ln ln
y
A
B x

 
При этом
 
ln A
линейно связан с В, и можно найти наилучшие оценки для
 
ln
'

A
A
и B.
'
A
и B связаны линейно и к ним применим рассмотренный метод.

Модуль 1.
Хандамиров В.Л. Конспект по курсу “Метрология и радио измерения”

Все права принадлежат автору. Никакая часть содержимого конспекта не может быть воспроизведена или передана, в какой либо форме или какими-либо средствами без письменного согласия автора.
38
Объединение результатов разных измерений
Часто одна физическая величина измеряется несколько раз и возможно в разных ме- стах. Предположим, что мы имеем два результата измерений, ошибки которых распределены по нормальному закону:
3 3
А
А
Б
Б
x
x
x
x






Каждый из результатов может быть может быть получен в результате обработки не- скольких измерений. Прежде всего необходимо обратить внимание на то, что если модуль разности
А
Б
X
X

больше доверительных интервалов, то эти измерения противоречивы и необходимо тщательно проанализировать оба измерения, чтобы проверить нет ли неисклю- ченных систематических погрешностей.
Если
А
Б
X
X

меньше доверительного интервала, то возникает проблема определе- ния наилучшей оценки истинного значения
X
. Вероятность получения частного результата в рассматриваемых измерениях определяется из следующих соотношений:
 


 


2 2
2 2
2 2
1 1






А
А
Б
Б
X
X
X
А
А
X
X
X
Б
Б
P
X
e
P
X
e




Совместная вероятность


 
 
2 2
1
,




X
А
Б
X
А
X
Б
А
Б
P
X
X
P
X
P
X
e

 
, где
2 2
2
А
Б
А
Б
X
X
X
X



















Наилучшей оценкой для
X
в соответствии с методом максимального правдоподобия будет значение, для которого совместное получение величин
А
X
и
Б
X
будет наиболее ве- роятным. Для этого
2

должно быть минимальным, т.е. должно выполняться условие
2 0
X




, которое можно записать в виде
2 2
2 2
0
А
Б
А
Б
X
X
X
X






,
2 2
2 2
1 1
1 1
0
А
Б
А
А
Б
Б
X
X
X
X








,
2 2
2 2
1 1
1 1
А
Б
А
Б
А
Б
X
X
X













Решение уравнения относительно
X
есть наилучшая оценка результата: