Добавлен: 16.03.2024
Просмотров: 18
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
северный полюс и вернётся в исходную точку, то окажется, что он стоит лицом к западу (а не к востоку, как изначально). Иначе говоря, вектор, параллельно перенесённый вдоль маршрута следования наблюдателя, «прокрутился» относительно исходного вектора. Характеристикой величины такого «прокручивания» и является кривизна[11].
Так как чёрные дыры являются локальными и относительно компактными образованиями, то при построении их теории обычно пренебрегают наличием космологической постоянной, так как её эффекты для таких характерных размеров задачи неизмеримо малы. Тогда стационарные решения для чёрных дыр в рамках ОТО, дополненной известными материальными полями, характеризуются только тремя параметрами: массой ({\displaystyle M}
), моментом импульса ({\displaystyle L} ) и электрическим зарядом ({\displaystyle Q} ), которые складываются из соответствующих характеристик вошедших в чёрную дыру при коллапсе и упавших в неё позднее тел и излучений (если в природе существуют магнитные монополи, то чёрные дыры могут иметь также магнитный заряд ({\displaystyle G} )[12], но пока подобные частицы не обнаружены). Любая чёрная дыра стремится в отсутствие внешних воздействий стать стационарной, что было доказано усилиями многих физиков-теоретиков, из которых особо следует отметить вклад нобелевского лауреата Субраманьяна Чандрасекара, перу которого принадлежит фундаментальная для этого направления монография «Математическая теория чёрных дыр»[13]. Более того, представляется, что никаких других характеристик, кроме этих трёх, у не возмущаемой снаружи чёрной дыры быть не может, что формулируется в образной фразе Уилера: «Чёрные дыры не имеют волос»[12].
Решения уравнений Эйнштейна для чёрных дыр с соответствующими характеристиками:
Решение для вращающейся чёрной дыры чрезвычайно сложно. Его вывод был описан Керром в 1963 году очень кратко[15], и лишь спустя год детали были опубликованы Керром и Шильдом в малоизвестных трудах конференции. Подробное изложение вывода решений Керра и Керра — Ньюмена было опубликовано в 1969 году в известной работе Дебнея, Керра и Шильда[16]. Последовательный вывод решения Керра был также проделан Чандрасекаром более чем на пятнадцать лет позже[13].
Считается[кем?], что наибольшее значение для астрофизики имеет решение Керра, так как заряженные чёрные дыры должны быстро терять заряд, притягивая и поглощая противоположно заряженные ионы и пыль из космического пространства. Существует также гипотеза[17], связывающая гамма-всплески с процессом взрывной нейтрализации заряженных чёрных дыр путём рождения из вакуума электрон-позитронных пар (Р. Руффини с сотрудниками), но она оспаривается рядом учёных[18].
Теоремы об «отсутствии волос»[править | править код]
Основная статья: Теорема об отсутствии волос
Теоремы об «отсутствии волос» у чёрной дыры (англ. Nohairtheorem) говорят о том, что у стационарной чёрной дыры внешних характеристик, помимо массы, момента импульса и определённых зарядов (специфических для различных материальных полей), быть не может (в том числе и радиуса), и детальная информация о материи будет потеряна (и частично излучена вовне) при коллапсе. Большой вклад в доказательство подобных теорем для различных систем физических полей внесли
Брэндон Картер, Вернер Израэль, Роджер Пенроуз, Пётр Хрусьцель (Chruściel), Маркус Хойслер. Сейчас представляется, что данная теорема верна для известных в настоящее время полей, хотя в некоторых экзотических случаях, аналогов которых в природе не обнаружено, она нарушается[19].
Решение Шварцшильда[править | править код]
Основная статья: Метрика Шварцшильда
Основные свойства
Рисунок художника: аккреционный диск горячей плазмы, вращающийся вокруг чёрной дыры.
Согласно теореме Биркгофа[en], гравитационное поле любого сферически симметричного распределения материи вне её даётся решением Шварцшильда. Поэтому слабо вращающиеся чёрные дыры, как и пространство-время вблизи Солнца и Земли, в первом приближении тоже описываются этим решением.
Две важнейшие черты, присущие чёрным дырам в модели Шварцшильда — это наличие горизонта событий (он по определению есть у любой чёрной дыры) и сингулярности, которая отделена этим горизонтом от остальной Вселенной[10].
Решением Шварцшильда точно описывается изолированная невращающаяся, незаряженная и не испаряющаяся чёрная дыра (это сферически симметричное решение уравнений гравитационного поля (уравнений Эйнштейна) в вакууме). Её горизонт событий — это сфера, радиус которой, определённый из её площади по формуле {\displaystyle S=4\pi r^{2},} называется гравитационным радиусом или радиусом Шварцшильда.
Все характеристики решения Шварцшильда однозначно определяются одним параметром — массой. Так, гравитационный радиус чёрной дыры массы {\displaystyle M} равен[20]
{\displaystyle r_{s}={\frac {2\,GM}{c^{2}}},}
где {\displaystyle G} — гравитационная постоянная, а {\displaystyle c} — скорость света. Чёрная дыра с массой, равной массе Земли, обладала бы радиусом Шварцшильда около 9 мм (то есть Земля могла бы стать чёрной дырой, если бы что-либо смогло сжать её до такого размера). Для Солнца радиус Шварцшильда составляет примерно 3 км.
Такая же величина гравитационного радиуса получается в результате вычислений на основе классической механики и ньютоновской теории тяготения. Данный факт не случаен, он является следствием того, что
классическая механика и ньютоновская теория тяготения содержатся в общей теории относительности как её предельный случай.[21]
Объекты, размер которых наиболее близок к своему радиусу Шварцшильда, но которые ещё не являются чёрными дырами, — это нейтронные звёзды.
Можно ввести понятие «средней плотности» чёрной дыры, поделив её массу на «объём, заключённый под горизонтом событий»[Комм 2]:
{\displaystyle \rho ={\frac {3\,c^{6}}{32\pi M^{2}G^{3}}}.}
Средняя плотность падает с ростом массы чёрной дыры. Так, если чёрная дыра с массой порядка солнечной обладает плотностью, превышающей ядерную плотность, то сверхмассивная чёрная дыра с массой в 109 солнечных масс (существование таких чёрных дыр подозревается в квазарах) обладает средней плотностью порядка 20 кг/м³, что существенно меньше плотности воды. Таким образом, чёрную дыру можно получить не только сжатием имеющегося объёма вещества, но и экстенсивным путём — накоплением огромного количества материала.
Для более точного описания реальных чёрных дыр необходим учёт наличия момента импульса. Кроме того, малые, но концептуально важные добавки для чёрных дыр астрофизических масс — излучение Старобинского и Зельдовича и излучение Хокинга — следуют из квантовых поправок. Учитывающую это теорию (то есть ОТО, в которой правая часть уравнений Эйнштейна есть среднее по квантовому состоянию от тензора энергии-импульса) обычно называют «полуклассической гравитацией». Представляется, что для очень малых чёрных дыр эти квантовые поправки должны стать определяющими, однако это точно неизвестно, так как отсутствует непротиворечивая модель квантовой гравитации[22].
Метрическое описание и аналитическое продолжение[править | править код]
В 1915 году К. Шварцшильд выписал решения уравнений Эйнштейна без космологического члена для пустого пространства в сферически симметричном статическом случае[10] (позднее Биркхоф показал, что предположение статичности излишне[23]). Это решение оказалось пространством-временем {\displaystyle {\mathcal {M}}} с топологией
{\displaystyle R^{2}\times S^{2}} и интервалом, приводимым к виду
{\displaystyle ds^{2}=-(1-r_{s}/r)c^{2}dt^{2}+(1-r_{s}/r)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}),}
где
{\displaystyle t} — временна́я координата, в секундах,
{\displaystyle r} — радиальная координата, в метрах,
{\displaystyle \theta } — полярная угловая координата, в радианах,
{\displaystyle \varphi } — азимутальная угловая координата, в радианах,
{\displaystyle r_{s}} — радиус Шварцшильда тела с массой {\displaystyle M} , в метрах.
Временна́я координата соответствует времениподобному вектору Киллинга {\displaystyle \partial _{t}} , который отвечает за статичность пространства-времени, при этом её масштаб выбран так, что {\displaystyle t} — это время, измеряемое бесконечно удалёнными покоящимися часами ({\displaystyle r=\mathrm {const} \rightarrow \infty ,\theta =\mathrm {const} ,\varphi =\mathrm {const} } ). Часы, закреплённые на радиальной координате {\displaystyle r} без вращения ({\displaystyle r=\mathrm {const} ,\,\theta =\mathrm {const} ,\,\varphi =\mathrm {const} } ), будут идти медленнее этих удалённых в {\displaystyle 1/{\sqrt {1-r_{s}/r}}} раз за счёт гравитационного замедления времени.
Геометрический смысл {\displaystyle r} состоит в том, что площадь поверхности сферы {\displaystyle \{(t,\,r,\,\theta ,\,\varphi )\mid t=t_{0},\ r=r_{0}\}} есть {\displaystyle 4\pi r_{0}^{2}.} Важно, что координата {\displaystyle r} принимает только значения, бо́льшие {\displaystyle r_{s},} а значение параметра {\displaystyle r} , в отличие от лапласовского случая, не является «расстоянием до центра», так как центра как точки (события на действительной мировой линии какого-либо тела) в шварцшильдовском пространстве
Так как чёрные дыры являются локальными и относительно компактными образованиями, то при построении их теории обычно пренебрегают наличием космологической постоянной, так как её эффекты для таких характерных размеров задачи неизмеримо малы. Тогда стационарные решения для чёрных дыр в рамках ОТО, дополненной известными материальными полями, характеризуются только тремя параметрами: массой ({\displaystyle M}
), моментом импульса ({\displaystyle L} ) и электрическим зарядом ({\displaystyle Q} ), которые складываются из соответствующих характеристик вошедших в чёрную дыру при коллапсе и упавших в неё позднее тел и излучений (если в природе существуют магнитные монополи, то чёрные дыры могут иметь также магнитный заряд ({\displaystyle G} )[12], но пока подобные частицы не обнаружены). Любая чёрная дыра стремится в отсутствие внешних воздействий стать стационарной, что было доказано усилиями многих физиков-теоретиков, из которых особо следует отметить вклад нобелевского лауреата Субраманьяна Чандрасекара, перу которого принадлежит фундаментальная для этого направления монография «Математическая теория чёрных дыр»[13]. Более того, представляется, что никаких других характеристик, кроме этих трёх, у не возмущаемой снаружи чёрной дыры быть не может, что формулируется в образной фразе Уилера: «Чёрные дыры не имеют волос»[12].Решения уравнений Эйнштейна для чёрных дыр с соответствующими характеристиками:
| Характеристика ЧД | Без вращения | Вращается |
| Без заряда | Решение Шварцшильда | Решение Керра |
| Заряженная | Решение Рейснера — Нордстрёма | Решение Керра — Ньюмена |
-
Решение Шварцшильда (1916 год, Карл Шварцшильд) — статичное решение для сферически-симметричной чёрной дыры без вращения и без электрического заряда. -
Решение Рейснера — Нордстрёма (1916 год, Ганс Рейснер и 1918 год, Гуннар Нордстрём) — статичное решение сферически-симметричной чёрной дыры с зарядом, но без вращения. -
Решение Керра (1963 год, Рой Керр) — стационарное, осесимметричное решение для вращающейся чёрной дыры, но без заряда. -
Решение Керра — Ньюмена (1965 год, Э. Т. Ньюмен (англ.), Э. Кауч, К. Чиннапаред, Э. Экстон, Э. Пракаш и Р. Торренс)[14] — наиболее полное на данный момент решение: стационарное и осесимметричное, зависит от всех трёх параметров.
Решение для вращающейся чёрной дыры чрезвычайно сложно. Его вывод был описан Керром в 1963 году очень кратко[15], и лишь спустя год детали были опубликованы Керром и Шильдом в малоизвестных трудах конференции. Подробное изложение вывода решений Керра и Керра — Ньюмена было опубликовано в 1969 году в известной работе Дебнея, Керра и Шильда[16]. Последовательный вывод решения Керра был также проделан Чандрасекаром более чем на пятнадцать лет позже[13].
Считается[кем?], что наибольшее значение для астрофизики имеет решение Керра, так как заряженные чёрные дыры должны быстро терять заряд, притягивая и поглощая противоположно заряженные ионы и пыль из космического пространства. Существует также гипотеза[17], связывающая гамма-всплески с процессом взрывной нейтрализации заряженных чёрных дыр путём рождения из вакуума электрон-позитронных пар (Р. Руффини с сотрудниками), но она оспаривается рядом учёных[18].
Теоремы об «отсутствии волос»[править | править код]
Основная статья: Теорема об отсутствии волос
Теоремы об «отсутствии волос» у чёрной дыры (англ. Nohairtheorem) говорят о том, что у стационарной чёрной дыры внешних характеристик, помимо массы, момента импульса и определённых зарядов (специфических для различных материальных полей), быть не может (в том числе и радиуса), и детальная информация о материи будет потеряна (и частично излучена вовне) при коллапсе. Большой вклад в доказательство подобных теорем для различных систем физических полей внесли
Брэндон Картер, Вернер Израэль, Роджер Пенроуз, Пётр Хрусьцель (Chruściel), Маркус Хойслер. Сейчас представляется, что данная теорема верна для известных в настоящее время полей, хотя в некоторых экзотических случаях, аналогов которых в природе не обнаружено, она нарушается[19].
Решение Шварцшильда[править | править код]
Основная статья: Метрика Шварцшильда
Основные свойства
Рисунок художника: аккреционный диск горячей плазмы, вращающийся вокруг чёрной дыры.
Согласно теореме Биркгофа[en], гравитационное поле любого сферически симметричного распределения материи вне её даётся решением Шварцшильда. Поэтому слабо вращающиеся чёрные дыры, как и пространство-время вблизи Солнца и Земли, в первом приближении тоже описываются этим решением.
Две важнейшие черты, присущие чёрным дырам в модели Шварцшильда — это наличие горизонта событий (он по определению есть у любой чёрной дыры) и сингулярности, которая отделена этим горизонтом от остальной Вселенной[10].
Решением Шварцшильда точно описывается изолированная невращающаяся, незаряженная и не испаряющаяся чёрная дыра (это сферически симметричное решение уравнений гравитационного поля (уравнений Эйнштейна) в вакууме). Её горизонт событий — это сфера, радиус которой, определённый из её площади по формуле {\displaystyle S=4\pi r^{2},}
называется гравитационным радиусом или радиусом Шварцшильда.Все характеристики решения Шварцшильда однозначно определяются одним параметром — массой. Так, гравитационный радиус чёрной дыры массы {\displaystyle M}
равен[20]{\displaystyle r_{s}={\frac {2\,GM}{c^{2}}},}
где {\displaystyle G}
— гравитационная постоянная, а {\displaystyle c} — скорость света. Чёрная дыра с массой, равной массе Земли, обладала бы радиусом Шварцшильда около 9 мм (то есть Земля могла бы стать чёрной дырой, если бы что-либо смогло сжать её до такого размера). Для Солнца радиус Шварцшильда составляет примерно 3 км.Такая же величина гравитационного радиуса получается в результате вычислений на основе классической механики и ньютоновской теории тяготения. Данный факт не случаен, он является следствием того, что
классическая механика и ньютоновская теория тяготения содержатся в общей теории относительности как её предельный случай.[21]
Объекты, размер которых наиболее близок к своему радиусу Шварцшильда, но которые ещё не являются чёрными дырами, — это нейтронные звёзды.
Можно ввести понятие «средней плотности» чёрной дыры, поделив её массу на «объём, заключённый под горизонтом событий»[Комм 2]:
{\displaystyle \rho ={\frac {3\,c^{6}}{32\pi M^{2}G^{3}}}.}
Средняя плотность падает с ростом массы чёрной дыры. Так, если чёрная дыра с массой порядка солнечной обладает плотностью, превышающей ядерную плотность, то сверхмассивная чёрная дыра с массой в 109 солнечных масс (существование таких чёрных дыр подозревается в квазарах) обладает средней плотностью порядка 20 кг/м³, что существенно меньше плотности воды. Таким образом, чёрную дыру можно получить не только сжатием имеющегося объёма вещества, но и экстенсивным путём — накоплением огромного количества материала.
Для более точного описания реальных чёрных дыр необходим учёт наличия момента импульса. Кроме того, малые, но концептуально важные добавки для чёрных дыр астрофизических масс — излучение Старобинского и Зельдовича и излучение Хокинга — следуют из квантовых поправок. Учитывающую это теорию (то есть ОТО, в которой правая часть уравнений Эйнштейна есть среднее по квантовому состоянию от тензора энергии-импульса) обычно называют «полуклассической гравитацией». Представляется, что для очень малых чёрных дыр эти квантовые поправки должны стать определяющими, однако это точно неизвестно, так как отсутствует непротиворечивая модель квантовой гравитации[22].
Метрическое описание и аналитическое продолжение[править | править код]
В 1915 году К. Шварцшильд выписал решения уравнений Эйнштейна без космологического члена для пустого пространства в сферически симметричном статическом случае[10] (позднее Биркхоф показал, что предположение статичности излишне[23]). Это решение оказалось пространством-временем {\displaystyle {\mathcal {M}}}
с топологией
{\displaystyle R^{2}\times S^{2}}
и интервалом, приводимым к виду{\displaystyle ds^{2}=-(1-r_{s}/r)c^{2}dt^{2}+(1-r_{s}/r)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}),}
где
{\displaystyle t}
— временна́я координата, в секундах,{\displaystyle r}
— радиальная координата, в метрах,{\displaystyle \theta }
— полярная угловая координата, в радианах,{\displaystyle \varphi }
— азимутальная угловая координата, в радианах,{\displaystyle r_{s}}
— радиус Шварцшильда тела с массой {\displaystyle M} , в метрах.Временна́я координата соответствует времениподобному вектору Киллинга {\displaystyle \partial _{t}}
, который отвечает за статичность пространства-времени, при этом её масштаб выбран так, что {\displaystyle t} — это время, измеряемое бесконечно удалёнными покоящимися часами ({\displaystyle r=\mathrm {const} \rightarrow \infty ,\theta =\mathrm {const} ,\varphi =\mathrm {const} } ). Часы, закреплённые на радиальной координате {\displaystyle r} без вращения ({\displaystyle r=\mathrm {const} ,\,\theta =\mathrm {const} ,\,\varphi =\mathrm {const} } ), будут идти медленнее этих удалённых в {\displaystyle 1/{\sqrt {1-r_{s}/r}}} раз за счёт гравитационного замедления времени.Геометрический смысл {\displaystyle r}
состоит в том, что площадь поверхности сферы {\displaystyle \{(t,\,r,\,\theta ,\,\varphi )\mid t=t_{0},\ r=r_{0}\}} есть {\displaystyle 4\pi r_{0}^{2}.} Важно, что координата {\displaystyle r} принимает только значения, бо́льшие {\displaystyle r_{s},} а значение параметра {\displaystyle r} , в отличие от лапласовского случая, не является «расстоянием до центра», так как центра как точки (события на действительной мировой линии какого-либо тела) в шварцшильдовском пространстве
