Геометрические Приложения криволинейных интегралов.

1) Длинна кривой.

Пусть   является гладкой, кусочно-непрерывной кривой, которая описывается вектором   ,   . Тогда длина выражается формулой:



где   – производная, а   ,   ,   – компоненты векторной функции   .

Если кривая   представляет собой график заданной явно, непрерывной и дифференцируемой функции   ,   в плоскости   , то длина такой кривой вычисляется по формуле:



Если кривая   задана в полярных координатах уравнением:   , 

---

 , и ф.   является непрерывной и дифференцируемой в интервале   , то длина кривой определяется выражением:



2) Площадь области, ограниченной замкнутой кривой.

Пусть   является гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой, заданной в плоскости   . Тогда площадь области R, ограниченной данной кривой, определяется:



Здесь предполагается, что обход кривой   производится против часовой стрелки.

3) Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно оси   .

Предположим, что область R расположена в верхней полуплоскости   и ограничена гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой   , обход которой осуществляется против часовой стрелки. В результате вращения области вокруг оси   образуется тело   .

Объем данного тела определяется формулами:



Физические Приложения криволинейных интегралов.

1) Масса кривой.

Предположим, что кусок проволоки описывается некоторой пространственной кривой 

---

 . Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью   . Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода:



2) Центр масс и моменты инерции кривой.

Пусть снова кусок проволоки описывается некоторой кривой   , а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности   .

Тогда моменты инерции определяются формулами:



Координаты центра масс кривой определяются формулами:



Моменты инерции относительно осей   ,   ,   определяются формулами:



3) Работа поля.

Работа при перемещении тела в силовом поле   вдоль кривой   выражается через криволинейный интеграл второго рода:



где   – сила, действующая на тело,   – единичный касательный вектор. Обозначение 

---

 означает скалярное произведение векторов   и   .

4) Закон Ампера.

Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией   вдоль замкнутого контура   пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную контуром C. Это выражается формулой:



где   – магнитная проницаемость вакуума, равная   .

5) Закон Фарадея.

Электродвижущая сила   , наведенная в замкнутом контуре   , равна скорости изменения магнитного потока   , проходящего через данный контур:



Формула Грина.

Формула Грина связывает двойной и криволинейный интегралы.

Пусть   – конечная, вообще говоря, многосвязная область на плоскости   с кусочно-гладкой границей   (т.е. состоит из конечного числа кусочно-гладких кривых). Область 

---

 с присоединённой границей   обозначим   .

Т1.

Пусть ф.   и   непрерывны в   и имеют непрерывные частные производные первого порядка в   . Если   несобственные интегралы по области   от каждой из частных производных ф.   и   , то справедливо соотношение:



называемое формулой Грина. При этом стоящий в правой части интеграл представляет собой сумму интегралов по связным компонентам границы   , на которых указано такое направление обхода, при котором область   остаётся слева.

 

Формула Стокса.

Формула Стокса обобщение формулы Грина.

Пусть   – ограниченная, полная, кусочно-гладкая, двусторонняя поверхность с кусочно-гладкой границей 

---

Смотрите также файлы

• Танцы в жизни человека.docx

• Отчет по лабораторной работе 1 по дисциплине Объектноориентированное программирование.pdf

• Жиынты баалауа арналан дістемелік сыныстар Информатика 7 сынып дістемелік сыныстар малімге 7сынып білім алушыларына Информатика.docx

• нефрит-при-HBV-и-HCV-инфекции.pdf

• Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин Рейтинговаяработа.docx