Файл: Методические указания для выполнения контрольной и самостоятельной работы по дисциплине (модулю) для обучающихся 2 курса заочной формы обучения по направлению подготовки 21. 03. 02 Землеустройство и кадастры.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.03.2024
Просмотров: 11
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
3 Министерство сельского хозяйства Российской Федераций ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ Приморская государственная сельскохозяйственная академия Институт землеустройства и агротехнологий
МАТЕМАТИКА Методические указания для выполнения контрольной и самостоятельной работы по дисциплине (модулю) для обучающихся 2 курса заочной формы обучения по направлению подготовки 21.03.02 - Землеустройство и кадастры
Электронное издание Уссурийск, 2016
4 Составитель Савельева Е.В., канд. техн. наук, доцент кафедры физики и высшей математики ПГСХА. Математика. Электронный ресурс Методические указания для выполнения контрольной и самостоятельной работы по дисциплине (модулю) для обучающихся 2 курса заочной формы обучения по направлению подготовки 21.03.02 - Землеустройство и кадастры / сост. Е.В. Савельева;
ФГБОУ ВО Приморская ГСХА».- Электрон. текст. дан. - Уссурийск, 2016.-
34 с. - Режим доступа www.elib.primacad.ru. Рецензент ГМ. Сидорова , к.с.х..н., доцент кафедры землеустройства ИЗиАТ
ФГБОУ ВО ПГСХА. Издается по решению методического совета ФГБОУ ВО Приморская государственная сельскохозяйственная академия.
5 Общие методические указания Перед выполнением каждой контрольной работы студент должен изучить указанные темы рабочей программы, используя литературу и лекции. При выполнении контрольных работ студент должен руководствоваться следующими указаниями
1. Контрольные задачи следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях. Перед решением каждой задачи надо полностью переписать ее условие.
2. Peшение задач следует излагать подробно, делая соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием необходимых формул, теорем. Решение задач геометрического, содержания должно сопровождаться чертежами.
3. Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра. При этом, если предпоследняя цифра учебного шифра есть число нечетное те, то номера задач соответствующего варианта даны в таблице 1. Если предпоследняя цифра учебного шифра есть число четное или ноль те, то номера задач для соответствующего варианта даны в таблице 2.
6 Таблица №1
№ Контрольная работа №2 предпоследняя цифра учебного шифра есть число нечетное те 53 63 74 84 94
3
4 14 24 34 44 54 64 75 85 95
4
5 15 25 35 45 55 65 76 86 96
5
6 16 26 36 46 56 66 77 87 97
6
7 17 27 37 47 57 67 78 88 98
7
8 18 28 38 48 58 68 79 89 99
8
9 19 29 39 49 59 69 80 90 100
9
10 20 30 40 50 60 70 71 81 91
0
1 11 21 31 41 51 61 72 82 92 Таблица №2
№ Контрольная работа №2 предпоследняя цифра учебного шифра есть число четное или ноль те 52 67 78 89 94
3
7 12 25 36 42 53 68 79 90 95
4
8 11 26 33 43 56 69 80 81 96
5
1 18 27 39 49 60 65 71 82 97
6
2 19 28 38 48 57 70 72 83 98
7
3 20 29 40 50 52 61 73 84 99
8
4 11 30 34 43 58 62 74 86 100
9
10 16 21 35 44 55 63 80 85 91
0
9 17 22 37 41 54 64 75 87 92
7 Литература
Основная литература Курс высшей математики. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление учеб пособие / под ред. ИМ. Петрушко. –
СПб.: Лань, 2008. – 608 с. МО Курс высшей математики. Интегральные исчисления. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения учеб. пособие / под ред. ИМ.
Петрушко. – СПб.: Лань, 2008. – 608 с. МО Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике полный курс /
Д.Т. Письменный. – е изд. – М Айрис-пресс, 2013. – 608 с. Сборник задач по высшей математике 1 курс / КН. Лунгу и др. – е изд. – М Айрис-пресс, 2011. – 576 с.
5. Михеев, В.И. Высшая математика. Краткий курс Электронный ресурс учеб. пособие / В.И. Михеев. – Электрон. дан. – М Физматлит, 2007. – 200 с.
- Режим доступа www.e.lanbook.com.
6. Кузнецова, ТА. Высшая математика учеб. пособие Электронный ресурс / ТА. Кузнецова, Е.С. Мироненко, С.А. Розанова. – М Физматлит, 2009. – 168 с. - Режим доступа www.e.lanbook.com.
Дополнительная литература
1. Зайцев И.А. Высшая математика учеб. для вузов И.А. Зайцев. – е изд, стереотип. – М Дрофа, 2005.- с.
2. Лунгу КН. Сборник задач по высшей математике / КН. Лунгу, В.П. Норин,
Д.Т.Письменный, Ю.А.Шевченко. – под ред. С.Н. Федина. – 4 е изд. – М
Айрис – пресс, 2006. – 592 сил (Высшее образование.
8 Дисциплина и ее основные разделы, изучаемые на 2 курсе
№ ДЕ Наименование дидактической единицы
№
те
м
ы
Основные разделы ДЕ
4. Математический анализ Функция нескольких переменных. Определение функции нескольких переменных, область определения, график. Частные производные 1 и 2 порядка, их геометрический смысл. Дифференциал функции двух переменных, применение к приближенным вычислениям. Экстремум функции.
19 Кратные интегралы. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла (об объеме цилиндрического бруса. Определение двойного интеграла, его свойства, вычисление путем сведения к кратным. Тройной интеграл, его вычисление. Геометрические и физические приложения кратных интегралов(вычисление площадей, объемов, массы , моментов инерции и статических моментов, координат центра тяжести )
20 Криволинейные интегралы. Задача о вычислении работы переменной силы. Определение криволинейного интеграла по координатам, его свойства, вычисление путем сведения к определенному. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Приложения криволинейного интеграла (нахождение функции по ее полному дифференциалу, вычисление работы переменной силы по криволинейному участку пути.
5 Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения – основные понятия. Задачи. приводящие к понятию дифференциальных уравнений. Порядок дифференциального уравнения, общее и частное решения. Геометрический смысл.
22 Дифференциальные уравнения 1 порядка. Типы с разделяющимися переменными, линейные, однородные, в полных дифференциалах. Методы их решения.
23 Дифференциальные уравнения 2 порядка. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Линейные однородные и неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. характеристическое уравнение. Структура общего решения. дифференциальные уравнения второго порядка.
9 6 Ряды Числовые ряды. Определение сходимости и расходимости рядов. Необходимый признак сходимости. Признаки сходимости положительных числовых рядов (признаки сравнения, признак Даламбера, интегральный признак).Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.
25 Степенной ряд. Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследование степенных рядов.
26 Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора,
Маклорена. Условия разложимости функции в степенной ряд. Разложение основных элементарных функций вряд
Маклорена. Биномиальный ряд. Применение рядов к приближенным вычислениям .
10 Тема Функция двух переменных (задачи 1 - 10). Перед выполнением задач необходимо изучить раздел 18 ДЕ (математический анализ.
1-10. Дана функция двух переменных z =f(x,y). Требуется исследовать данную функцию на экстремум
2. найти градиент функции в точке А
3. найти производную функции в точке А по направлению градиента. Решение типового примера Дана функция 6
2 2
x
y
xy
x
z
, точка Требуется исследовать данную функцию на экстремум 2. найти градиент функции в точке А 3. найти производную функции в точке А по направлению градиента Решение.
1) Чтобы исследовать данную дважды дифференцируемую функцию на экстремум необходимо выполнить следующие действия
1.
y
x
y
xy
x
z
3 2
2 А
2.
1 А
3.
2 2
3 А
4.
27 9
3 А
5.
y
x
y
xy
x
z
10 2
2 А
6.
y
x
y
xy
x
z
2 6
3 3
2 А
7.
10 3
3 А
8.
1 2
6 2
3 А
9.
2 8
2 А
10.
4 2
2 3
2 А
11 а) Найдем частные производные первого порядка и
y
z
, приравнять к нулю и решить систему уравнений, решением которой являются стационарные точки
6 2
y
x
x
z
;
y
x
y
z
2
4 2
2 6
3 2
6 4
0 2
0 6
2 0
0
x
y
y
x
y
y
x
y
y
y
x
y
x
y
z
x
z
Следовательно, заданная функция имеет только одну стационарную точку
P(4,-2). б) Найдем частные производные второго порядка и их значения в стационарной точке
2 2
2
x
z
;
1 2
y
x
z
;
2 Частные производные второго порядка не зависят от переменных x и y, следовательно, постоянны в любой точке. Поэтому для точки P(4,-2) имеем
А=-2;В=-1;С=-2. в) составить и вычислить определитель второго порядка
3 1
2 2
2 2
В
АС
С
В
В
А
г) Если в исследуемой стационарной точке
0
, то функция z=f(x,y) в этой точке имеет максимум при A<0 и минимум при A>0; если
0
, тов этой точке нет экстремума. Если
0
, то вопрос об экстремуме требует дополнительного исследования. Для данной функции и A<0, следовательно, в точке P(4,-2) имеем максимум. д) Найдем значение функции
8 4
4 6
2 2
4
)
4
(
2
;
4 2
2
max
z
z
12 2) Градиент функции находится по формуле
j
y
z
i
x
z
y
x
z
grad
)
;
(
(1) Подставим в формулу (1) найденные частные производные, получим
j
y
x
i
y
x
y
x
z
grad
2 Вычислим градиент в точке
2
;
1
A
j
i
A
grad
2 2
1 6
2 1
2
j
i
A
grad
3 6
3) Производная по направлению в точке, выражается через частные производные функции, следующим образом
cos cos
A
y
z
A
x
z
A
s
z
. (2)
cos и
cos
- направляющие косинусы вектора
s , в нашем случае вектор
s совпадает с
z
grad . Найдем направляющие косинусы
5 2
45 6
3 6
6
cos
2 х ;
5 1
45 Подставим полученные выражения в формулу (2), получим
5 1
3 5
2 6
A
s
z
5 3
5 15 5
3 5
12
A
s Тема Кратные интегралы (задачи 11-20,21-30). Перед выполнением задач необходимо изучить раздел 19 ДЕ (математический анализ.
11-20. Дан двойной интеграл по области D. Требуется
13
1) изобразить область интегрирования D;
2) вычислить двойной интеграл при заданном порядке интегрирования
3) изменить порядок интегрирования и вычислить интеграл при измененном порядке.
11.
D
yxdxdy
2
;
2 0
2 0
:
x
x
y
D
16.
D
xdxdy
;
2 2
4
:
2
x
x
y
D
12.
D
xdxdy
2
;
3 0
0
:
x
x
y
D
17.
D
xydxdy
;
7 3
3 0
:
x
x
y
D
13.
D
ydxdy
;
3 0
0
:
2
x
x
y
D
18.
D
xdxdy
4
;
4 1
1 0
:
x
x
y
D
14.
D
yxdxdy
3
;
5 1
1 0
:
x
x
y
D
19.
D
ydxdy
2
;
1 0
:
2
x
x
y
x
D
15.
D
ydxdy
2
;
2 2
4
:
2
x
y
x
D
20.
D
xdxdy
6
;
2 Решение типового примера
Дан двойной интеграл по области D:
D
dxdy
x
2 3
;
2 2
6 Требуется
1) изобразить область интегрирования D;
2) вычислить двойной интеграл при заданном порядке интегрирования
3) изменить порядок интегрирования и вычислить интеграл при измененном порядке.
Решение.
1) Построим линии
2 6
x
y
,
2
y
на отрезке
2
;
2
, получим область D на рисунке 1.
2) Вычислим двойной интеграл при заданном порядке интегрирования x y
0
-2 2
6 2 y=2
D Рисунок 1
14
2 2
2 2
4 2
2 2
2 2
6 2
2 2
2 6
2 2
2 3
12 2
6 3
3 3
3 2
2
dx
x
x
dx
x
x
y
dx
x
dy
dx
x
dxdy
x
x
x
D
6
,
25 5
128 5
192 64 32 5
3 8
4 32 5
3 8
4 5
3 3
12 2
2 5
3
x
x
3) Изменим, порядок интегрирования, для этого установим пределы интегрирования для внешнего интеграла попеременной. Пределы внешнего интеграла найдем как ординаты самой нижней и самой верхней точек области D: y=2 и y=6. Решая уравнение границы области D (парабола) относительно x, найдем пределы внутреннего интеграла.
6
,
6 6
2
предел
нижний
y
x
предел
верхний
y
x
x
y
Подставим найденные пределы в интеграл
6 2
3 3
6 6
6 6
3 6
2 2
6 2
2 6
6 3
3 3
3
dy
y
y
x
dy
dx
x
dy
dxdy
x
y
y
y
y
D
6
,
25 5
128 32 5
4 4
0 5
4 2
/
5 6
2 6
2 5
6 2
2 6
2
/
5 2
/
3
y
dy
y
21-25. Неоднородная пластина ограничена линиями
)
(
1
x
f
y
и
)
(
2
x
f
y
. Найти массу пластины, если в каждой точке поверхностная плотность равна
y
x;
.
№
)
(
1
x
f
y
)
(
2
x
f
y
y
x;
21 2
3
x
y
2
x
y
x
5
22 8
7
x
y
2
x
y
y
5
23 7
8
x
y
2
x
y
x
2
15 24 14 5
x
y
2
x
y
y
2
25 Решение типового примера Вычислить массу неоднородной пластины, ограниченной линиями
3 и
3 2
x
y
. Поверхностная плотность в каждой точке пластины равна Решение
находится по формуле
Следовательно, в нашем случае нужно вычислить двойной интеграл
D
xdxdy
m
6
Построим область D , ограниченную
3 3
x
y
- прямой
3 2
x
y
- параболой с вершиной О, рисунок 2.
Для этого найдем точки пересечения
6
y
,
3
y
3
x
,
0
x
0
x
3
x
3
x
3
3
x
3
x
3
y
3
x
y
2
1
2
1
2
2
2
Пределы внешнего интеграла попеременной числа 0 и 3 – указывают на то, что пластина ограничена слева прямой x=0 и справа прямой x=3. Пределы внутреннего интеграла попеременной указывают на то, что пластина ограничена снизу параболой
3 2
x
y
и сверху прямой
3 3
x
y
x y
D
3 6
0
-3 Рисунок 2
16 Таким образом
3 0
3 0
2 3
3 3
3 0
3 3
3 3
3 3
6 6
6 6
2 2
x
x
xdx
y
xdx
dy
xdx
xdxdy
m
x
x
x
x
D
3 0
0 3
4 3
3 2
).
(
5
,
40 5
,
121 162 5
,
1 6
6 18
массы
ед
x
x
dx
x
x
26-30. С помощью двойного интеграла вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями и расположенного в первом октанте.
26.
25 2
2
y
x
;
25 2
2
z
x
;
27.
16 2
2
y
x
;
16 2
2
z
x
;
28.
4 2
2
y
x
;
4 2
2
z
x
;
29.
1 2
2
y
x
;
4 2
2
z
x
;
30 2
2 2
y
x
z
;
2
x
y
; Решение типового примера
Найти объем тела, ограниченного поверхностями
9 2
2
y
x
;
9 и расположенного в первом октанте. Решение.
Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью
)
;
(
y
x
f
z
, Рисунок 3 3
3 3 y x z
0
17 снизу плоскостью z=0 и по бокам прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости xOy область D, вычисляется по формуле
D
dxdy
y
x
f
V
)
;
(
В данном случае заданное тело ограничено двумя круговыми цилиндрами, область D – это часть круга радиуса 3, расположенная в первом квадранте рис. Искомый объем выразится интегралом
3 0
9 0
2 9
0 3
0 9
0 2
2 3
0 2
2 2
9 9
9
dx
y
x
dx
dy
x
dy
x
dx
V
x
x
x
).
(
18 9
27 3
9 3
3 0
3
ед
x
x
1 2 3
Тема:3 Криволинейные интегралы (задачи 31-40). Перед выполнением задач необходимо изучить раздел 20 ДЕ рабочей программы.
31-35. Вычислить криволинейный интеграл
L
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
K
;
)
;
(
от точки О до точки С по двум различным путям
1) L – ломаная ОАС, где А
2) L- дуга параболы
2
x
2
1
y
. Полученные результаты сравнить и объяснить их совпадение.
31.
L
dy
y
x
dx
y
x
2 2
5 34.
L
dy
y
x
dx
y
x
3 4
4 2
32.
L
dy
y
x
dx
y
x
4 3
3 2
35.
L
dy
y
x
dx
y
x
6 5
5 33.
L
dy
y
x
dx
y
x
2
18
36-40. Вычислить криволинейный интеграл
L
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
K
;
)
;
(
от точки О до точки С по двум различным путям
1) L – ломаная ОВС, где В
2) L- дуга параболы
2
x
2
1
y
. Полученные результаты сравнить и объяснить их совпадение.
36.
L
dy
x
dx
y
x
1 2
2 3
39.
L
dy
y
x
dx
y
x
5 4
37.
L
dy
x
dx
y
x
7 4
4 40.
L
dy
y
x
dx
y
x
6 2
2 5
38.
L
dy
y
x
dx
y
x
4 Решение типового примера
Вычислить криволинейный интеграл
L
dy
xy
dx
y
x
K
4 1
2 2
от точки О до точки С потрем различным путям
1) L – ломаная ОАС, где А 2) L – ломаная ОВС, где В
3) L- дуга параболы Полученные результаты сравнить и объяснить их совпадение. Решение Построим область интегрирования, рисунок 4.
1) Вычислим интеграл по ломаной ОАС.
Интеграл равен сумме интегралов на отрезках ОА и АС
АС
ОА
ОАС
К
К
K
y
0 2
4
A
C
B x Рисунок 4
19 На отрезке ОА:
,
2 следовательно
L
OA
dy
xy
dx
y
x
K
4 1
2 2
2 0
2 2
2 2
0 2
2 2
0
x
xdx
На отрезке АС
4 0
,
0
,
2
y
dx
x
, следовательно
AC
K
68 64 4
4 8
1 0
4 2
4 Тогда
70 68 2
АС
ОА
ОАС
К
К
K
2) Вычислим интеграл по ломаной ОВС. Интеграл равен сумме интегралов на отрезках ОВ и ВС:
ВС
ОВ
ОВС
К
К
K
На отрезке ОВ:
,
4 следовательно
OB
K
4 0
4 На отрезке ВС:
,
2 следовательно
66 64 2
32 2
32 0
2 2
2 Тогда
70 66 4
BС
ОB
ОBС
К
К
K
3) Вычислим интеграл по дуге параболы
2
x
y
2 0
,
2
x
xdx
dy
,
70 64 6
32 2
2 3
2 2
3 10 3
8 2
2 2
4 1
2 0
2 5
2 2
0 2
0 4
4 4
2 2
0 4
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
x
xdx
x
x
dx
x
х
K
Как видно во всех случаях получено одно и тоже значение криволинейного интеграла. Совпадение результатов объясняется тем, что выполняется условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
20 Р, где
2 2
;
y
x
y
x
P
,
xy
y
x
Q
4 1
;
В нашем случае
y
y
x
y
P
y
4 2
'
2
,
y
xy
x
Q
x
4 4
1
'
41-50. Вычислить работу, совершаемую переменной силой
j
y
x
Q
i
y
x
P
F
;
;
на криволинейном участке пути L , соединяющем заданные точки
1 1
; y
x
A
и
2 2
; y
x
B
.
41.
j
xy
i
y
x
F
2 3
2 2
0
;
0
A
3
;
1
B
L- дуга параболы
x
x
y
2 2
42.
j
xy
i
y
x
F
5 2
4
;
0
A
0
;
2
B
L- отрезок прямой,соединяющей точки Аи В
43.
j
y
x
i
xy
F
2 1
3
1
;
1
A
0
;
0
B
L- дуга параболы
3
x
y
44.
j
xy
i
y
x
F
3 5
2
9
;
1
A
32
;
2
B
L- дуга параболы
x
x
y
2 7
2
45.
j
y
x
i
y
xy
F
2 2
1
;
0
A
1
;
1
B
L- отрезок прямой,соединяющей точки Аи В
46.
j
y
x
i
xy
F
2 3
7
1
;
1
A
4
;
2
B
L- отрезок прямой,соединяющей точки Аи В
47.
j
xy
i
y
x
F
8 2
2 2
2
;
1
A
6
;
2
B
L- дуга параболы
x
x
y
2 48.
j
y
x
i
xy
F
2 4
4 2
5
;
1
A
14
;
2
B
L- дуга параболы
2 3
2
x
y
49.
j
y
x
i
xy
F
4 3
5 2
4
;
1
A
6
;
1
B
L- дуга параболы
x
x
y
5 2
50.
j
xy
i
y
x
F
8 3
3 2
3
;
1
A
2
;
0
B
L- отрезок прямой,соединяющей точки Аи В
21 Решение типового примера
Вычислить работу, совершаемую переменной силой
j
xy
i
y
x
F
7 4
4 на криволинейном участке пути L , соединяющем заданные точки
1
;
0
A
и
7
;
2
B
: Решение. Переменная силана криволинейном участке АВ производит работу, которая находится по формуле
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
A
AB
;
;
. Таким образом, для нахождения работы необходимо вычислить криволинейный интеграл
dy
xy
dx
y
x
A
AB
7 4
4 2
Найдем уравнение прямой АВ ( пути интегрирования) по формуле
1 2
1 1
2 1
x
x
x
x
y
y
y
y
0 2
0 1
7 1
x
y
1 4
8 1
2 2
8 1
x
y
x
y
x
y
- уравнение прямой АВ. Следовательно
dx
dy
4
, при этом
2 0
x
, тогда
2 0
2 2
2 28 16 64 4
16 4
7
)
1 4
(
4
)
1 4
(
4
dx
x
x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
A
AB
2 0
0 2
3 2
)
(
33
,
109 0
64 8
3 65 32 3
65 32 65
работы
ед
x
x
dx
x
Тема:4 Дифференциальные уравнения.(задачи 51-60). Перед выполнением задач необходимо изучить разделы 21,22,23 ДЕ-5(дифференциальные уравнения)
22
51-60. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.
51.
0
ln
x
y
y
y
x
56.
x
e
x
y
y
x
1 52.
0 3
2 2
x
y
y
xy
57.
x
x
y
y
x
53.
2 2
y
x
y
y
x
58.
2 2
6
y
x
y
xy
54.
x
e
y
y
59.
0 2
2 2
x
y
y
x
55.
5 4
5
x
e
y
x
y
60. Решение типового примера
Найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка. а) Решение.
Данное уравнение является линейным уравнением первого порядка, те. уравнением вида
x
Q
y
x
P
y
Для решений уравнений такого типа полагают
v
u
y
, где u, v – независимые функции от x,
v
u
v
u
y
. Подставляем y ив данное уравнение в нашем случае будем иметь
x
ctgx
uv
v
u
v
u
sin
1
или Подберем функцию
x
u
u
так, чтобы выражение в скобке, обращалось в нуль. Для нахождения функций
x
u
и
получим систему
23
*
sin
1 0
x
v
u
uctgx
u
Из первого уравнения системы определяем функцию
x
u
, имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
x
u
x
u
dx
x
x
u
du
dx
ctgx
u
du
ctgx
u
dx
du
uctgx
u
sin sin ln ln sin cos
0
Для определения функции
x
v
, найденное значение функции
подставляем во второе уравнение системы
Записываем общее решение данного уравнения в виде
v
u
y
или
c
ctgx
x
y
sin
;
c
x
x
x
y
sin cos sin
;
x
c
x
y
sin cos
- общее решение. б) Решение Разделим обе части уравнения на x:
x
y
e
y
x
y
2
Данное уравнение является однородным, т.к. содержит функции одного итого же измерения относительно переменных x и y. Применяем подстановку
x
t
t
y
t
x
y
t
x
y
, тогда уравнение примет вид
0 Получили уравнение с разделяющими переменными относительно x и t .
Разделяем переменные и интегрируем
dx
e
xdt
t
2
24
x
dx
e
dt
t
2
x
dx
e
dt
t
2
c
x
e
c
x
e
t
t
2
ln ln Возвращаясь к исходной переменной, получим
c
x
e
x
y
2
ln
- общий интеграл.
61-70. Даны дифференциальные уравнения второго порядка. Найти а) общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка б) частное решение линейного неоднородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.
61. а)
2 баба баба баба) баба баб Решение типового примера
Решить дифференциальные уравнения второго порядка. а)
y
x
y
x
2 3
3 Решение.
Данное дифференциальное уравнение допускает понижение порядка, не содержит явно функцию y.
Положим
p
y
, тогда
dx
dp
p
y
и уравнение примет вид
p
x
dx
dp
x
2 3
3 Получили уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, разделим переменные и проинтегрируем обе части
dx
x
x
p
dp
1 3
3 2
,
dx
x
x
p
dp
1 3
3 2
,
1 3
ln
1
ln ln
c
x
p
, где интеграл, стоящий в правой части решаем подстановкой
1 3
x
t
и приводим к табличному
c
t
t
dt
ln
Применяя свойство логарифма, получим
1
)
1
(
ln ln
3 1
1 3
x
c
p
с
x
p
Возвращаясь к подстановке, получим
dx
x
c
dy
dx
x
c
dy
x
c
y
1 1
1 3
1 3
1 3
1
, тогда
2 4
1 4
c
x
x
c
y
- общее решение.
26 б)
1 Решение.
Данное уравнение также допускает понижение порядка, в нем явно отсутствует переменная x. Положим
p
y
, тогда Подставляя, получим уравнение с разделяющимися переменными
1 2
2
y
p
dy
dp
p
Разделяя переменные и интегрируя, получим
2 1
1 1
ln
1
ln
2
ln
1 Возвращаясь к переменной y, имеем
dx
c
y
dy
y
c
y
1 2
2 1
1 1
dx
c
y
dy
1 2
1
, где интеграл, стоящий в левой части подстановкой
1
y
t
приведем к табличному
c
t
t
dt
1 2
, тогда получим
2 1
1 1
c
x
c
y
, откуда
2 1
1 1
c
x
c
y
- общее решение. в)
x
e
y
y
y
3 10 6
;
1 0
y
,
4 Решение.
Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами вида
x
f
q
y
p
y
, где p,q – числа.
27
Общее решение этого уравнения состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения
0
q
y
p
y
и частного решения неоднородного уравнения те.
y
Y
y
Чтобы найти общее решение однородного уравнения Y, составляют характеристическое уравнение
0 2
q
pk
k
, по корням этого уравнения записывают вид общего решения Y В нашем примере
0 6
y
y
y
- соответствующее однородное уравнение.
0 характеристическое уравнение, найдем его корни
3
;
2 25 2
1
k
k
D
. Корни действительные различные, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид
x
x
e
c
e
c
Y
3 2
2 Корни характеристического уравнения
0 2
q
pk
k
1 2 3
Общее решения
1.
2 действительные различные
x
k
x
k
e
C
e
C
Y
2 1
2 1
2.
2 1
0
k
k
D
- действительные равные 1
2 1
2 2
2
3
i
k
i
k
D
2 комплексные сопряженные Частное решение неоднородного уравнения находим по виду правой части уравнения, при этом если
x
n
e
x
P
x
f
2
, где
многочлен ой степени с неопределенными коэффициентами, то частное решение будет иметь вид
1.
x
n
e
x
Q
y
2
, где
x
Q
n
- многочлен ой степени с неопределенными коэффициентами
2.
x
n
e
x
Q
x
y
2
, если
совпадает с одним из корней характеристического уравнения
2 или.
2 1
2 если
28 Если
то В нашем примере
x
e
x
f
3 10
,
2 3
k
имеем второй случай, множитель перед
x
e
3
- многочлен нулевой степени, частное решение записываем в виде
x
xAe
y
3
, где А неопределенный коэффициент, чтобы найти значение А решение подставляем в данное уравнение, для этого найдем
y и
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Axe
Ae
Axe
Ae
y
e
x
A
Ae
xe
e
A
e
xA
y
3 3
3 3
3 3
3 3
3 9
6 9
3 Подставляем в данное уравнение значение
y
y
y
,
,
2 2
10 5
10 5
10 6
9 6
3 3
3 3
3 3
3 3
уравнения
ого
неоднородн
линейного
решение
частное
xe
y
A
A
e
Ae
e
Axe
Ae
Axe
Ae
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
x
e
c
e
c
y
3 3
2 2
1 2
- общее решение данного уравнения. Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
1 0
y
,
4 0
y
, найдем
x
x
x
x
e
x
e
e
c
e
c
y
3 3
3 2
2 1
6 2
3 Используя начальные условия, получим систему уравнений
5 4
5 1
6 3
1 2
1 6
3 2
1 0
6 2
3 2
4 0
2 1
2 1
2 2
2 1
2 1
2 1
0 0
0 2
0 1
0 0
2 0
1
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
e
e
e
c
e
c
e
e
c
e
с
Следовательно,
x
x
e
x
e
e
y
3 5
4 2
2 5
4 5
1
- частное решение неоднородного уравнения.
29 Тема Числовые и степенные ряды. Применение рядов к приближенным вычислениям (задачи 71-100). Перед выполнением задач необходимо изучить разделы 24,25,26 ДЕ (ряды).
71-75.Исследовать сходимость рядов, используя признак Даламбера.
71.
1 3
6
n
n
n
74.
1 4
1
n
n
n
n
72.
1
!
1 3
n
n
n
75.
1 2
!
n
n
n
73.
1 5
1
n
n
n
76-80. Исследовать сходимость рядов, пользуясь интегральным признаком сходимости Коши.
76.
1 2
4 1
n
n
79.
1 2
1
n
n
e
77.
1 3
4 1
n
n
80.
1 1
2 1
n
n
78.
1 1
7 1
n
n
81-90. Дан степенной ряд. Написать первые три члена ряда и найти интервал сходимости, определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости.
81.
1 1
3
n
n
n
n
x
86.
1 7
2 4
n
n
n
n
x
82.
1 2
7
)
1
(
n
n
n
n
x
87.
1 4
6
n
n
n
n
x
83.
1 2
2 3
n
n
n
n
x
88.
1 2
5 4
n
n
n
n
x
30 84.
1 6
1 2
n
n
n
n
x
89.
1 1
n
n
n
n
x
85.
1 2
8 3
1
n
n
n
n
x
90.
1 Решение типового примера Дан степенной ряд
1 3
9
n
n
n
n
x
. Написать первые три члена ряда и найти интервал сходимости, определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости. Решение. Беря последовательность n=1,2,3,…., запишем данный ряд в виде
243 27 81 8
9 1
3 Общий член ряда
n
n
n
n
x
U
9 3
, тогда
1 3
1 Для нахождения интервала сходимости воспользуемся признаком Даламбера.
n
n
n
U
U
1
lim
1 3
3 1
9 1
9
lim
n
n
n
n
n
n
x
n
x
x
9 1
3 3
1
lim
n
n
n
x
9 1
3 1
lim
n
n
n
x
9 1
3 1
1 1
lim
n
n
1 9
1
x
x
9 Данный ряд абсолютно сходится при тех значениях x, которые удовлетворяют условию
1 9
1
x
, или
9
x
, или
9 9
x
- интервал сходимости степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала.
1) При x=-9 заданный ряд принимает вид
31
1 3
9 9
n
n
n
n
1 3
9 1
9
n
n
n
n
n
1 Полученный числовой ряд является знакочередующимся. Этот ряд сходится по признаку Лейбница, так как выполняются два условия признака Лейбница. а) Члены ряда убывают по абсолютной величине, те.
64 1
27 1
8 б) Предел общего члена ряда стремится к нулю при
n
n
n
U
lim
0 1
1 Следовательно, x=-9 входит в интервал сходимости.
2) При x=9 ряд примет вид
1 3
9 9
n
n
n
n
1 3
1
n
n
. Получим знакоположительный числовой ряд, исследуем его по интегральному признаку Коши. Вычислим несобственный интеграл
1 3
x
dx
b
b
dx
x
1 3
lim
1 2
2 1
lim
b
b
x
2 1
2 1
0 2
1 1
2 1
2 1
2
lim
Несобственный интеграл сходится, следовательно, сходится и исследуемый ряди значение x=9 принадлежит интервалу сходимости . Таким образом
9 9
x
- интервал сходимости степенного ряда.
91-100. Требуется вычислить определенный интеграл с точностью до
0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции вряд и почленного интегрирования этого ряда.
91.
5
,
0 0
dx
e
x
x
96.
1 0
sin
dx
x
x
92.
3
,
0 0
3
dx
e
x
x
97.
1
,
0 0
1
ln
dx
x
x
93.
1 0
2
cos
dx
x
x
98.
5
,
0 0
3 1
dx
x
32 94.
4
,
0 0
5 3
dx
xe
x
99.
1 0
sin
dx
x
x
95.
1 0
2
cos xdx
x
100.
1
,
0 При решении задач 91-100 воспользуйтесь разложением следующих элементарных функций в степенной ряд
!
4
!
3
!
2
!
1 1
4 3
2
x
x
x
x
e
x
;
x
!
7
!
5
!
3
!
1
sin
7 5
3
x
x
x
x
x
;
x
!
6
!
4
!
2 1
cos
6 4
2
x
x
x
x
;
x
4 3
2 1
)
1
ln(
4 3
2
x
x
x
x
x
1
;
1
x
!
4 3
2 1
!
3 2
1
!
2 1
1 1
4 Решение типового примера. Требуется вычислить определенный интеграл
5
,
0 0
2
sin
dx
x
x
с точностью до
0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции вряд и почленного интегрирования этого ряда. Решение.
Для решения задачи необходимо подынтегральную функцию представить в виде степенного ряда. Используем известное разложение в степенной ряд тригонометрической функции
sinx
!
7
!
5
!
3
!
1
sin
7 Заменим переменную x на 2x.
