ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 132
Скачиваний: 0
§ 30 Рівняння руху і рівноваги твердого тіла. Прискорення циліндра, який котиться без ковзання з похилої площини [1,7]
1 Для того щоб знайти швидкість υ довільної точки твердого тіла, яка визначається радіусом-вектором r , потрібно знати, наприклад, вектор швидкості υC поступального руху центра мас твердого тіла C та вектор кутової швидкості ω відносно миттєвої осі обертання:
υ = υC + [ω× r ]. В свою чергу, для визначення |
швидкостей υC |
та ω використовують |
|||||||||
рівняння руху центра мас |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dυC |
= |
|
r |
|
|
||
|
m |
|
F |
|
(30.1) |
||||||
dt |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
å i |
|
|
||||
й рівняння моментів |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dL |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
åMi |
. |
(30.2) |
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
||
Рівняння (30.1) та (30.2) є рівняннями руху твердого тіла, які визначають стан твердого тіла в будь-який момент часу.
Рівняння моментів (30.2) можна брати відносно довільної нерухомої точки або відносно центра мас твердого тіла. Можна також це рівняння брати відносно довільної точки, для якої швидкість в будь-який момент часу є паралельною швидкості центра мас.
У рівняння (30.1) і (30.2) входять тільки зовнішні сили. Внутрішні сили не впливають на рух центра мас і не можуть змінити момент імпульсу тіла. Вони можуть змінювати тільки взаємне розміщення й швидкості матеріальних точок тіла. Але для абсолютно твердого тіла такі зміни неможливі. Таким чином, внутрішні сили не впливають на рух твердого тіла.
2 Якщо тверде тіло знаходиться у спокої, то рівняння (30.1) і (30.2) переходять в
|
, |
|
. |
|
åFi = 0 |
åMi = 0 |
(30.3) |
Співвідношення (30.3) є умовами рівноваги твердого тіла. При їх виконанні центр мас може рухатися прямолінійно й рівномірно з довільною швидкістю, а саме тіло може обертатися з постійною кутовою швидкість.
Коли тверде тіло знаходиться у рівноважному стані, то результуюча зовнішніх сил дорівнює нулю. Звідси випливає, що момент цих сил у стані рівноваги не залежить від положення точки O , відносно якої він шукається. Тому при розв’язанні будь-якої задачі на рівновагу твердого тіла точку O можна вибирати довільно. Це можна використовувати для спрощення самого розв’язку.
3 Як приклад застосування рівнянь руху твердого тіла розглянемо задачу про знаходження прискорення центру мас aC
циліндру радіуса r , що котиться без ковзання по похилій площині, кут нахилу якої дорівнює α
(див. рис. 30.1).
За умовою циліндр рухається без ковзання. Це означає, що швидкість тіла в точці дотику A дорівнює нулю. Відсутність ковзання забезпечується дією сил з боку похилої площини на циліндр: нормальної складової сили
реакції опори |
N та сили тертя спокою Fтр . |
Рисунок 30.1 |
|
Модуль сили тертя спокою Fтр може набувати будь-якого значення: від 0 до μN , де μ – коефіцієнт тертя. При скочуванні сила тертя спокою встановлюється саме такою, щоб не
50
було ковзання. Якщо дотична сила, яка потрібна для цього, перевищує μN , то чисте скочування неможливо – воно буде супроводжуватися ковзанням.
Для знаходження прискорення центра мас ac використаємо рівняння руху (30.1)
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
(30.4) |
|
|
|
|
maC = Fтр |
+ N + mg |
|
|||||
та рівняння моментів (30.2) відносно осі, що проходить через центр мас C |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
r |
r |
r |
|
|
|
dL |
|
dw |
|
|
||||
|
|
= IC |
= M mg + M N + M тр . |
(30.5) |
||||||
|
|
dt |
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рівняння (30.4) спроектуємо на вісь X (див. рис. 30.1) і отримаємо |
|
|||||||||
|
|
|
maC = -Fтр + mg sin a . |
|
(30.6) |
|||||
Тут використали, що проекція сили тяжіння |
на вісь |
X дорівнює mgx |
= mg sin a . Далі |
|||||||
рівняння (30.5) спроектуємо на вісь обертання і знайдемо |
|
|
||||||||
|
|
|
|
I |
|
dw |
= r × F . |
|
(30.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
C |
dt |
тр |
|
|
|
У цьому рівнянні використали, що, згідно до визначення моменту сили, |
M тр = r × Fтр , а |
|||||||||
M mg = 0 й M N = 0 , тому що плече цих сил дорівнює нулю. |
|
|||||||||
Позначимо через uA |
лінійну швидкість точки A . Вона пов’язана зі швидкість точки |
|||||||||
C (через яку проходить |
вісь |
обертання) |
співвідношенням uA = uC - w×r . За умови |
|||||||
відсутності ковзання uA = 0 , тому uC - w×r = 0 . Звідси для лінійного прискорення точки C знаходимо
a |
= |
|
duC |
= r |
dw |
. |
(30.8) |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
C |
|
|
dt |
|
dt |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Далі розв’язуємо систему рівнянь (30.6) – (30.8) відносно aC |
і отримуємо |
||||||||||||
aC |
= |
|
|
g sin a |
. |
(30.9) |
|||||||
1+ IC /(mr2 ) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
Якщо врахувати, що момент інерції |
циліндра відносно |
осі обертання дорівнює |
|||||||||||
IC = mr2 / 2 , то (30.9) для шуканого прискорення циліндра набире вигляду |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
aC |
= |
2 |
g sin a |
. |
|
(30.10) |
||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ТЕМА 5 НЕІНЕРЦІЙНІ СИСТЕМИ ВІДЛІКУ
§ 31 Неінерціальні системи відліку. Сили інерції. Поступальна сила інерції [7]
1 До цього часу ми розглядали рух відносно інерціальних систем відліку. У таких системах рівнянням руху матеріальної точки є рівняння, що виражає другий закон Ньютона:
r |
= F |
&r& |
= F . |
(31.1) |
ma |
або mr |
Поставимо тепер перед собою задачу знайти рівняння руху в неінерціальних системах відліку, тобто таких системах, які рухаються прискорено відносно інерціальних систем. Нагадаємо, під рівнянням руху ми розуміємо співвідношення, яким визначається прискорення матеріальної точки механічної системи в тій системі відліку, відносно якої розглядається рух.
51
Через те, |
що |
нам |
відоме |
рівняння |
руху відносно |
Y ′ |
K′ |
|
||
інерціальних систем відліку (рівняння другого закону Ньютона), |
|
|||||||||
|
m |
A |
||||||||
то задача зводиться до встановлення законів перетворення сил |
|
|||||||||
Y K O′ |
r′ |
|
||||||||
та прискорень при переході від інерціальної системи відліку до |
|
|||||||||
|
|
|||||||||
неінерціальної. |
При |
розв’язанні |
задачі |
обмежимося |
R0 |
r |
X ′ |
|||
нерелятивістським випадком. |
|
|
|
|
|
|||||
2 Виберемо |
довільну |
інерціальну систему відліку |
K |
з |
O |
X |
|
|||
початком координат у точці O (див. рис. 31.1). Будемо називати її |
|
|
||||||||
нерухомою. Візьмемо також неінерціальну систему відліку |
K′ |
з |
Рисунок 31.1 |
|
||||||
початком координат у точці O′ , яка рухається відносно нерухомої |
|
|
|
|||||||
системи K . Неінерціальну систему відліку K′ будемо називати рухомою. Отримаємо рівняння руху частинки у неінерціальній системі відліку K′ за відомим рівнянням руху у
системі K (31.1). |
|
|
|
|
m . Її розміщення у нерухомій системі |
Нехай A – деяка матеріальна точка з масою |
|||||
відліку визначається радіусом-вектором |
|
|
|
||
r |
→ |
r |
r |
r |
|
r |
= OA = xex |
+ yey |
+ zez , |
||
а в рухомій системі – радіусом-вектором |
|
|
|
||
r¢ |
|
→ |
¢r¢ |
¢r¢ |
¢r¢ |
|
¢ |
||||
r |
= O A = x ex |
+ y ey + z ez . |
|||
→
Позначимо через R0 радіус-вектор OO¢ , який проведений з нерухомого початку O системи K до початку O′ рухомої системи K′ . Зрозуміло (див. рис. 31.1), що вектори r , r′ та R0 у
кожний момент часу пов'язані співвідношенням |
|
|
|
|
r |
= R0 |
r |
¢ . |
(31.2) |
r |
+ r |
|||
Двічі диференціюючи ці співвідношення за часом, отримаємо |
|
|||
r |
r |
r |
|
|
& |
& |
& |
¢ , |
(31.3) |
r |
= R0 |
+ r |
||
&r& |
&r& |
&r& |
(31.4) |
|
r |
= R0 |
+ r |
¢ . |
|
|
Далі розглянемо частинний випадок, |
коли система K′ рухається поступально з |
||||||||||||
прискоренням a0 . Це означає, |
по-перше, |
що прискорення початку O′ |
системи K′ дорівнює |
|||||||||||
a0 |
&r& |
r |
|
|
|
|
K′ не змінюють свій напрямок з часом відносно |
|||||||
( R0 |
= a0 ). По-друге, орти системи |
|||||||||||||
системи K , тобто є сталими величинами як за напрямком так і за модулем (у випадку, коли б |
||||||||||||||
система |
K′ здійснювала обертальний |
|
рух, |
то |
напрямки ортів у |
системі K′ з часом |
||||||||
змінювалися). Це означає, що у випадку поступального руху системи |
&r& |
|||||||||||||
K′ величина r¢ має |
||||||||||||||
вигляд |
|
|
&r&¢ |
|
|
|
r¢ |
|
r¢ |
|
r¢ |
|
||
|
|
|
|
|
&&¢ |
|
&&¢ |
&&¢ |
(31.5) |
|||||
|
|
|
|
r |
= x |
×ex + y |
×ey + z |
×ez |
||||||
завдяки тому, що ex′ , ey′ , ez′ |
є у даному випадку є сталими величинами. Зрозуміло, що |
|||||||||||||
формула (31.5) є не що інше, |
як прискорення матеріальної точки A в системі K′ . Тобто |
|||||||||||||
&r& |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r¢ |
= a¢. |
|
&r& |
r |
&r& |
r |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Далі підставимо в (31.4) R0 |
= a0 |
, r¢ = a¢, а потім отриманий вираз підставимо в (31.1) і |
|||||||||||
знайдемо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
, |
(31.6) |
|
|
|
|
ma¢ = |
F - ma0 = F + Fin |
|||||||||
де
52
r |
(31.7) |
Fin = −ma0 |
є поступальною силою інерції.
Рівняння (31.6) і є шуканим рівнянням руху в неінерціальній системі відліку за умови, коли неінерціальна система відліку K′ рухається відносно інерціальної поступально з прискоренням a0 .
3 Розглянемо праву частину рівності (31.6). Її формально можна розглядати як
результуючу двох сил. Перша сила F є «справжньою» силою у тому розумінні, що вона є результатом взаємодії тіл. Вона залежить тільки від різниць координат і різниць швидкостей матеріальних точок, які взаємодіють. У нерелятивістській механіці всі ці різниці не змінюються при переході від однієї системи відліку до іншої, яка рухається поступально.
Тому не змінюється й сила F . Вона інваріантна відносно такого переходу.
= − r
Зовсім інший характер має складова Fin ma0 . Ця сила виникає не через взаємодію
тіл, а через прискорений рух системи відліку. При переході до іншої прискореної системи відліку змінюється й сила інерції. Ця сила не є інваріантною відносно такого переходу. Цим сили інерції відрізняються від «справжніх сил», що виникають при взаємодії тіл. Друга відмінність полягає в тому, що сили інерції не підкоряються третьому закону Ньютона.
Якщо на деяке тіло діє сила інерції, то не існує протидіючої сили, що прикладена до іншого тіла. Сили інерції завжди є зовнішніми відносно будь-якої системи тіл.
Таким чином, використання інерціальних сил поряд із «справжніми» силами дозволяє описувати рух у довільних неінерціальних системах відліку за допомогою рівнянь, подібних до рівнянь другого закону Ньютона. У цьому полягає зміст введення інерціальних сил.
Дію сили інерції на собі відчуває кожний, хто користується міським транспортом. Так, при різкому гальмуванні автобуса або трамвая пасажири відчувають силу (поступальну силу інерції), що штовхає їх уперед.
§ 32 Відцентрова сила інерції [4] |
|
|||
1 Розглянемо |
поведінку |
тіл у неінерціальній |
||
системі відліку |
K ′, |
яка |
обертається |
відносно |
інерціальної системи |
K з |
постійною |
кутовою |
|
швидкістю ω (поступальна складова руху відсутня). Прикладом може служити система, яка пов'язана з каруселлю. Закріпимо на диску радіальну направлений стержень, на який надінемо кульку, яка «прив'язана» до осі диска пружиною (рис. 32.1). Доки диск не обертається, пружина не деформована. При розкручуванні диска кулька розтягує пружину доти,
поки пружна сила Fпр не стане такою, що дорівнює добутку маси кульки m на його нормальне прискорення
r |
= −ω2 R ; тут R – вектор, який проведено до кульки |
||
an |
|||
від |
центра диска вздовж його радіуса, |
модуль R дає |
|
відстань кульки від осі обертання системи K ′: |
|||
|
F |
|
= −mω2R . |
|
пр |
|
|
Z ′
ω
r
Fпр
r
Fвц
Y ′
r
R
X ′
Рисунок 32.1 – Кулька може переміщуватися тільки уздовж радіуса диска, ковзаючи без тертя по тонкому стержню
(32.1)
Саме сила пружності є причиною, що кулька рухається по колу радіуса R .
Відносно системи відліку K ′, яка пов'язана з диском, кулька знаходиться у стані спокою. Це можна формально пояснити тим, що в системі K ′, крім сили Fпр , на кульку діє сила інерції
53