Файл: Методические указания по выполнению контрольной работы 1 для студентов заочной формы обучения по специальности 21. 05. 01 Прикладная геодезия, направлению подготовки 21. 03. 03 Геодезия и дистанционное зондирование.pdf

20 находятся под одинаковым напряжением
21 12
U
U


. Напомним, что левый индекс у напряжения – индекс большего потенциала. Очевидно, что
2 1
R
R
I
I
I


2 1
R
R
I
I
I



,
2 2
1 1
12
R
I
R
I
U
R
R


2 1
1 2
R
R
I
I
R
R


После подстановки значения
2 1
R
R
I
I
I



и простых преобразований, получим формулу, позволяющую определить токи в параллельных ветвях, зная только значение тока I до распределения.
2 1
1 2
R
R
R
I
I
R


Эта формула называется «Формула чужого сопротивления», так как по отношению к определяемому току, в числители дроби стоит «чужое» сопротивление (сопротивление другой параллельно соединённой ветви).
ЗАКОНЫ КИРХГОФА В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ
Законы Кирхгофа позволяют определить значения токов в любой
электрической цепи, как бы сложна она не была. Поэтому делать ошибку в законах Кирхгофа, как и в законе Ома, не допустимо.
Первый закон Кирхгофа
Первый закон Кирхгофа связан с токами и узлами. Он говорит:
алгебраическая сума токов, сходящихся в узле, равна нулю. Конечно, здесь имеется в виду сила тока.
Другими словами, суммарная сила токов, входящих в узел равна суммарной силе токов, выходящих из узла, то есть, электрический заряд в узле не накапливается (это подтверждается практикой).


0
I
или



выходящ
входящ
I
I
Второй закон Кирхгофа
Второй закон Кирхгофа связан с напряжениями и контурами. Он говорит: алгебраическая сумма напряжений в контуре равна нулю.


0
U

21
Обратите внимание на схожесть формулировок 1-го и 2-го законов и на то, что эта формулировка не противоречит формулировки известной из физики
 

IR
E
Алгебраическая сумма означает суммирование с учетом знака. О важности знаков уже говорилось в разделе «Закон Ома для активного участка цепи». Знак величины, имеющей направление, определяется по совпадению направления величины с выбранным положительным направлением. Для контура – это положительное направление его обхода. Напомню, что сейчас речь идёт о направлении движения электрических положительных зарядов в
проводниках, а не о векторах.
Применение законов Кирхгофа для расчета электрических цепей
Для примера рассмотрим электрическую цепь (рисунок 8).
Рисунок 8. 3-х контурная схема
Схема имеет 4 узла, 3 независимых контура, внутри которых пунктиром помечено направление положительного обхода, выбранное нами и шесть
неизвестных токов. Для однозначного их определения нужна система из шести независимых уравнений. Законы Кирхгофа предоставляют возможность написать такую систему.
По первому закону:
3 2
1
I
I
I


,
6 2
5
I
I
I


,
0 5
4 3



I
I
I

22
Если написать четвёртое уравнение для узла 4, то оно будет содержать токи I
4,
I
1,
I
6,
которые уже встречаются в ранее написанных уравнениях, то есть это уравнение является зависимым.
По второму закону для каждого независимого контура получается три уравнения. Так как схема содержит источники ЭДС, то разумнее использовать форму записи второго закона в следующем виде:
 

IR
E
4 4
3 3
1 1
1
R
I
R
I
R
I
E



здесь знак «минус» перед
4
I
из-за того, что
4
I
не совпадает по направлению с выбранным положительным направлением обхода контура. Для остальных независимых контуров:
3 3
5 5
2 2
2
R
I
R
I
R
I
E





,
6 6
5 5
4 4
0
R
I
R
I
R
I



.
Полученная система уравнений решается однозначно относительно неизвестных токов. Решать такую систему, конечно, не очень приятно, поэтому в электротехнике разработаны методы расчета, уменьшающие количество уравнений, но все они исходят из законов Кирхгофа. Это уже специфика, мы её рассматривать не будем.
Если электрическая цепь подключается к источнику через розетку, то есть, нет в явном виде источника ЭДС, то нужно применить другую запись второго закона:


0
U
Это часто используется в цепях переменного тока.

23
UI
P

Мощность электрического тока в цепи или на участке цепи определяется произведением силы тока на напряжение.
Баланс мощностей
Из закона сохранения энергии вытекает баланс электрических мощностей. Источник электрической энергии никогда не создаст мощность больше, чем требуется электрической цепи



ЕЙ
ПОТРЕБИТЕЛ
ИСТОЧНИКОВ
P
P



EI
P
источников
R
I
P
потреб



2
, т.к.
UI
P

, а
IR
U

Сумма мощностей потребления всегда арифметическая
Сумма мощностей источников электрической энергии – алгебраическая.
Если направление ЭДС и протекающего через неё тока совпадают, то мощность берётся с «плюсом» (это источник энергии), если нет, то источник энергии превращается в потребитель, и должен стоять с «плюсом» на стороне потребителей.
Невязка баланса мощностей не может превышать 1% (точность инженерных расчетов). Если невязка больше 1%, то это значит, что

Либо расчеты велись с недостаточной точностью.

Либо ошибка в расчетах (в том числе и при определении баланса мощностей).
Вопросы для самоконтроля
1.
Правило знаков для электрических величин во втором законе
Кирхгофа?
2.
Название электрической мощности в цепях постоянного тока?
3.
Суть баланса мощностей?

24
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Принцип получения гармонически изменяющегося тока
(синусоидального)
В основе получения промышленного гармонически (синусоидально) изменяющегося тока в замкнутой цепи лежит, известный из физики, закон электромагнитной индукции.
Blv
dt
dФ
t
е



)
(
, где
е(t) – ЭДС индукции, В – индукция магнитного поля,
l
- длина проводника, находящегося в магнитном поле, v – линейная скорость движения проводника в постоянном магнитном поле,
dt
dФ
- скорость изменения магнитного потока. Знак «минус» связан с правилом Ленца (смотри страницу
19). Если производная изменения магнитного потока по времени гармоническая
функция, то возникнет гармонически изменяющаяся ЭДС, которая создаст гармонически изменяющийся ток в цепи.
Представление гармонических колебаний вращением вектора на
комплексной плоскости
Математически это представляется следующим образом (рисунок 9). Для определённости рассмотрим изменение тока i, представленное на рисунке справа.
Рисунок 9. Представление гармонических колебаний вращением вектора
на комплексной плоскости

25
Сразу следует отметить особенность комплексной системы координат в электротехнике – ось мнимых значений обозначается буквой j, так как буква i уже занята током.
Вектор
m
I
начинает равномерно вращаться против часовой стрелки (это
положительное направление вращения) из положения 1. В прямоугольной системе координат, где аргументом является выражение ωt в радианах, угловое положение вектора на комплексной плоскости. Последовательно перенося положение конца вектора
m
I
в точки 1, 2, 3, и т.д. в прямоугольную систему координат ωt, i, получим гармонические колебания тока
)
(




t
Sin
I
i
m
, или
)
(




t
Cos
I
i
m
, где φ начальная фаза, то есть при t=0. Она определяет проекции вектора
m
I
на оси координат в комплексной системе, то есть при t=0
составляющие тока
m
I
будут:

Cos
I
I
I
m
a
ьная
действител


,

Sin
I
I
I
m
p
мнимая


или в векторной форме:
p
a
m
jI
I
I


. Такая форма записи
p
a
m
jI
I
I


называется алгебраической формой записи комплексного числа. Её удобно применять при сложении или вычитании векторов.
Вектор
m
I
, его положение на комплексной плоскости, можно определить, применив формулу Эйлера:



Sin
jI
Cos
I
e
I
m
m
j
m


Выражение

j
m
e
I
называется показательной формой записи комплексного
числа. Еёудобно применять при умножении и делении комплексных чисел
Переход от показательной формы записи к алгебраической очевиден – формула Эйлера. Обратный переход осуществляют, решая прямоугольный треугольник. Например, для вектора в позиции 8 (смотри рисунок 9, рекомендую сделать необходимую часть рисунка самостоятельно) по теореме
Пифагора очень легко найти его длину
m
I
. Начальную фазу удобно отсчитать по часовой стрелке от оси действительных значений, то есть она будет больше
90
0
и отрицательная. Таким образом, решая прямоугольный треугольник,
)
arcsin
90
(
0
мнимая
ьная
действител
I
I





26
Обратите внимание на тот факт , что знаки действительной и мнимой частей не учитываются, так как решается треугольник вне комплексной
плоскости.
Опережение и отставание гармонических колебаний
В электротехнике необходимо знать какое гармоническое колебание впереди по сравнению с другими. Это определяет характер электрической цепи, чего больше индуктивности или ёмкости.
Внимательно посмотрите на рисунок 9. Колебания распространяются вправо. Определить какая кривая впереди можно только, взглянув на начало координат. При t=0 косинус имеет максимальное значение, следовательно, он начал раньше синуса, то есть косинус опережает синус на 90 градусов.
Обратите внимание на знаки начальных фаз. Фаза φ слева от нуля, но она положительна. Начальная фаза для косинуса справа от нуля [
)
90
(



] отрицательная. (или в другую сторону - положительная 90+φ). Сопоставьте это с направлением вращения вектора и направлением отсчета начальной фазы
всегда от оси действительных значений.
Понятие комплексных амплитуд
Рассмотрим показательную форму записи комплексного числа для вращающегося вектора, когда получаются гармонические колебания:
t
j
j
m
t
j
m
e
e
I
e
I






)
(
Сомножитель
t
j
e

является циклической составляющей, говорящей о вращении вектора. Сомножитель

j
m
e
I
- остановленный вектор в положении начальной фазы. Эта векторная величина используется при расчете цепей переменного тока. Она получила название «комплексная амплитуда» и обозначается с точкой наверху.
m
I
=

j
m
e
I
Точка показывает, что это векторная величина на комплексной плоскости.
Принцип расчета цепей переменного тока
Переменная ЭДС
t
Sin
E
t
e
m


)
(
создаёт в цепи гармонически меняющийся ток, поэтому расчет можно вести только для какого-то конкретного значения времени t. Это конкретное время задаётся начальной фазой ЭДС, то есть вместо вращающегося вектора имеем остановленный, заданный для расчета значением комплексной амплитуды или комплексным действующим значением
Ė=Е

j
e
.

27
Индуктивность и ёмкость в цепи переменного тока
Вспомним явление самоиндукции. ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения магнитного потока, созданным электрическим током в самой катушке индуктивности.
dt
dФ
t
е


)
(
Магнитный поток создан движущимися электрическими зарядами, то
есть током. Изменяется ток, изменяется магнитный поток, полностью повторяя изменение тока, создавая ЭДС самоиндукции, ток от которой будет иметь такое направление, чтобы своим магнитным полем препятствовать изменению магнитного поля в катушке, то есть навстречу току в катушке
(правило Ленца). С точки зрения электрических мощностей ЭДС самоиндукции является потребителем электрической энергии (её направление не совпадает с направлением электрического тока в катушке). Она создаёт препятствие (сопротивление) току. Это сопротивление получило название
«индуктивное сопротивление», и обозначается оно
L
x
. Нетрудно заметить, что
ЭДС самоиндукции будет возрастать с увеличением частоты ω, так как при этом возрастает скорость изменения магнитного потока.
Напряжение на индуктивности равно по модулю ЭДС самоиндукции, но имеет противоположное направление. Считая, что ток в индуктивности
t
ISin
i
L


, для напряжения на индуктивности получим:
t
ICos
L
dt
di
L
u
L
L


)
(


Круглые скобки в этом выражении имеют логическое значение, подчеркивая, что это сопротивление в законе Ома, следовательно
L
x
L


Следует также отметить, что ток в индуктивности изменяется по закону синуса, а напряжение на индуктивности – по закону косинуса, то есть
L
u
опережает
L
i
на 90
0
. Такое опережение могло внести только сопротивление
L
x
, следовательно, это сопротивление имеет положительную начальную фазу
равную 90
0
, и в векторной записи
0 0
90 90
j
L
j
L
e
x
Le
L
j
x






28
Точку над комплексными значениями сопротивлений и проводимостей не ставят, понятно и так, когда это вектор, а когда модуль вектора.
Ёмкость во всём противоположна индуктивности. Рассуждая аналогично, получим:
T
UCos
C
dt
du
C
i
C
C


)
(


То есть на ёмкости напряжение
C
u
отстаёт от тока
C
i
на 90
0
. Опираясь на закон Ома, выражение
C

является проводимостью ёмкости, и, соответственно,
C
x
C

1

Напомним, что в электротехнике фаза отсчитывается всегда от тока и
положительное направление вращения – против часовой стрелки, тогда в векторной форме:
C
j
C
j
e
x
jx
e
C
x
j
C
C
j
C



1 1
1 0
0 90 90









Закон Ома для цепей переменного тока
Для цепей переменного тока применяют закон Ома в комплексной форме:
Z
I
U



,
Где
jx
R
Z


- комплексное сопротивление. «-jx», если преобладает
ёмкостное сопротивление, оно имеет фазу «минус 90 градусов». «+jx», если в сопротивлении Z преобладает индуктивность. Комплексное сопротивление — это вектор на комплексной плоскости. Точка над Z не ставится. Начертание заглавной буквы Z без чёрточки посредине говорит, что это вектор. Модуль комплексного сопротивления обозначается малой буквой z. (малая «зет» с черточкой посередине)
Из всего выше изложенного следует , что синусоидально изменяющийся ток возникает при наличии синусоидально изменяющейся ЭДС, а сами цепи
постоянноготока являются частным случаем цепей синусоидального тока, когда угловая частота ω равна нулю, следовательно, индуктивное сопротивление постоянного тока равно нулю, а ёмкостное сопротивление – равно бесконечности, то есть ёмкость представляет собой разрыв в цепи постоянного тока.