Файл: Lysenko_physics_lek_1.pdf

§ 93 Диференціальна форма електростатичної теореми Гаусса. Значення теореми Гаусса в теорії електрики [9]

1 Співвідношення

виражає теорему Гаусса в інтегральній формі. Сформулюємо тепер цю теорему в диференціальній формі.

Як відомо, об'ємна густина електричного заряду ρ визначається як відношення заряду

Формулюючи визначення густини електричного заряду ρ у формі (93.2), ми маємо на увазі,

що електричний заряд у просторі розподілений неперервно. Уявлення про неперервний розподіл електричного заряду у просторі є такою ж ідеалізацією, як і уявлення про неперервний розподіл речовини. Такими уявленнями широко користуються в макроскопічній фізиці.

Знаючи об’ємну густину заряду ρ в кожній точці простору, можна знайти сумарний

заряд, який знаходиться всередині замкненої поверхні S . Для цього потрібно обчислити інтеграл від ρ по об'єму V , який обмежений цією поверхнею:

q = òrdV .

V

Використовуючи цю формулу, співвідношенню (93.1) можна надати вигляд

Se0 V

Уматематиці відома теорема Остроградського-Гаусса, згідно якої для векторного

поля A = A(x, y, z) виконується рівність

Використовуючи теорему Остроградського-Гаусса (93.4), для потоку напруженості електричного поля можемо записати

Порівнюючи (93.3) та (93.5), можемо записати

Рівність (93.6) може виконуватися для довільного об’єму тільки тоді, коли відповідні підінтегральні вирази (93.6) будуть рівними між собою. Звідси отримуємо

Співвідношення (93.7) виражає теорему Гаусса в диференціальній формі: дивергенція вектора E в деякій точці електростатичного поля дорівнює об'ємній густині заряду в тій же точці, яка поділена на ε0 .

2 В електростатиці теорема Гаусса є не більше як одним з наслідків закону Кулона. Але ми не можемо обмежитися електростатикою. Наше завдання значно ширше. Ми повинні шляхом узагальнення дослідних фактів відшукати загальні рівняння й закони, які можна застосувати не тільки в електростатиці, але й у всій електродинаміці. Як керівний принцип при відшуканні таких законів можна виставити вимогу, щоб вони були законами теорії поля, які виключають миттєву дію на відстані. Закон Кулона цій вимозі не задовольняє. Він може бути справедливий тільки в електростатиці. Однак наслідки, що отримані з нього, можуть мати й більш широку область застосування. До числа таких наслідків і відноситься теорема Гаусса. Вона не суперечить теорії поля з її уявленням про скінченну швидкість поширення взаємодій. Записана в диференціальній формі, теорема Гаусса не містить ніяких натяків на дальнодіючий характер сил. Вона є локальною теоремою, тобто зв'язує різні фізичні

величини (ρ і divE ) в одній і тій же точці простору. Закони теорії поля не обов'язково

повинні бути локальними. Однак всі локальні закони сумісні з основним уявленням цієї теорії про передачу взаємодій за допомогою полів. З іншого боку, закон Кулона є тільки достатнім, але не є необхідним для доведення теореми Гаусса. Тому природно ввести гіпотезу, що теорема Гаусса є вірною не тільки в електростатиці, але й в електродинаміці, яка має справу зі змінними у часі електромагнітними полями. Вірна ця гіпотеза, чи ні – на це питання може дати відповідь тільки дослід. Вся сукупність дослідних фактів говорить на користь цієї гіпотези. Тому ця гіпотеза і була прийнята у фізиці. Тим самим рівняння теореми Гаусса (93.7) і математично еквівалентне йому рівняння (93.1) перестають бути скромними наслідками закону Кулона, а вводяться в ранг основних постулатів теорії електрики. Вони входять у систему основних рівнянь Максвелла.

ТЕМА 15 ЕЛЕКТРИЧНЕ ПОЛЕ У ДІЕЛЕКТРИКАХ

§ 94 Поляризація діелектриків. Зв’язані заряди. Механізми поляризації [9]

електричне поле. Індуковані заряди створюють додаткове електричне поле, що накладається на поле первинних зарядів. Якщо відомі всі первинні й індуковані заряди, то при обчисленні повного електричного поля можна «забути» про наявність речовини. Повне поле знайдеться суперпозицією кулонівських полів, які збуджуються у вакуумі всіма первинними й індукованими зарядами.

2 Діелектрики є непровідниками електричного заряду. У них можуть збуджуватися індукційні заряди. Піднесемо, наприклад, до кульки зарядженого електроскопа C електрично нейтральне тіло з діелектрика AB (рис. 94.1). Кут відхилення стрілки електроскопа зменшується. Пояснюється це тим, що заряд кульки C збуджує на кінці діелектрика B індукційні заряди того ж, а на кінці A – протилежного знака. Ці заряди

156

відтягують частину зарядів зі стрілки й стержня електроскопа на кульку, з чим і пов'язане зменшення кута відхилення стрілки.

Спробуємо розділити індукційні заряди, що виникли на діелектрику. Нехай діелектрик складається із двох половин A і B , що торкаються одна одну. Якщо в присутності зарядженого електроскопа ці частини роз'єднати, а потім забрати або розрядити електроскоп, то обидві частини виявляться незарядженими (металеві частини в аналогічному досліді виявляються зарядженими). Це показує, що заряди в діелектрику позбавлені

своїх положень рівноваги лише на малі відстані, порядку атомних розмірів. Припустимо, наприклад, що діелектрик складається з електрично нейтральних молекул. Під дією прикладеного електричного поля центр ваги електронів (від’ємний заряд) у молекулі ненабагато зміщується відносно центра ваги атомних ядер (додатний заряд). Молекули стають електричними диполями, орієнтованими додатно зарядженими кінцями у напрямку

електричного поля E . У цьому випадку говорять, що діелектрик є поляризованим, а саме зміщення додатних та від’ємних зарядів діелектрика в різні сторони називають

електричною поляризацією. На схематичному рис. 94.2 діелектрик зображений у вигляді прямокутного паралелепіпеда, а молекули – у вигляді кульок. Додатно заряджена половина молекули зафарбована в чорний колір, від’ємно заряджена залишена світлою. Ми бачимо, що на кінці AB паралелепіпеда ABCD виступають некомпенсовані від’ємні, а на кінці CD –

додатні поверхневі заряди. Це і є індукційні заряди, що з'являються в результаті поляризації діелектрика. Їх називають поляризаційними, або зв'язаними зарядами. Останнім терміном хочуть підкреслити, що можливість переміщення зв'язаних зарядів обмежена рамками електрично нейтральних молекул. Ці заряди зв’язані з молекулами. В об'ємі діелектрика відбувається компенсація додатних і від’ємних зарядів молекул і ніяких макроскопічних поляризаційних зарядів тут не з'являється. Однак це справедливо тільки тоді, коли поляризація діелектрика однорідна, тобто коли всі молекули діелектрика поляризовані й орієнтовані однаково. Якщо ж поляризація неоднорідна, то компенсація відсутня, і в діелектрику можуть з'явитися об'ємні зв'язані заряди.

Крім електрично нейтральних молекул у діелектрику можуть існувати додатно або від’ємно заряджені іони. Надлишок іонів одного або іншого знака в будь-якій частині діелектрика означає наявність у цій частині нескомпенсованих макроскопічних зарядів. Такі заряди називаються вільними. Вони виникають у діелектрику, наприклад, при електризації тертям. До вільних зарядів відносяться також усі заряди, що знаходяться на провідниках. Відмінність вільних зарядів від зв’язаних полягає у тому, що вони не зв’язані з конкретною молекулою і можуть переміщуватись у речовині.

4 Вище ми розглянули електронний механізм поляризації. Механізм поляризації діелектрика може бути й іншим. Розглянемо, наприклад, діелектрики, молекули яких мають дипольні моменти і за умови відсутності електричного поля. Такі молекули називаються полярними. Якщо поле відсутнє, то полярні молекули хаотично рухаються й орієнтовані абсолютно невпорядковано. При накладенні електричного поля дипольні моменти молекул орієнтуються переважно в напрямку поля. А це означає, що діелектрик стає поляризованим. Про такий механізм поляризації говорять як про орієнтаційний. Існують і інші механізми поляризації.

157

§ 95 Вектор поляризації. Поверхнева густина зв’язаних зарядів. Зв’язаний заряд усередині діелектрика [9]

1 Для кількісного опису поляризації діелектрика користуються поняттям вектор поляризації. Вектором поляризації в деякій точці простору називають відношення дипольного моменту в фізично малому об'ємі V , який знаходиться біля цієї точки, до величини цього об’єму

Нагадаємо, що диполем називають систему двох точкових зарядів + q та − q , відстань l між якими мала порівняно з відстанями до тих точок, у яких розглядається поле системи.

Орієнтацію диполя в просторі задають за допомогою вектора l , який проведено від заряду − q до заряду + q . Диполь характеризується дипольним моментом, який за визначенням

зв’язаним зарядом, будемо позначати штрихом біля відповідного символу). На бічних гранях поляризаційних зарядів не виникне, тому що зміщення зарядів усередині діелектрика

дипольний момент косого паралелепіпеда з діелектрика буде дорівнювати q ×l = S ×s¢×l ,

де l – вектор, який проведено від від’ємної основи паралелепіпеда до додатної паралельно бічним ребрам. Згідно з означенням (95.1) можемо записати вектор поляризації цього паралелепіпеда у вигляді

де V – об'єм паралелепіпеда. Нехай n – одиничний вектор зовнішньої нормалі до основи

між векторами l та n . Підставивши це значення у формулу (95.2) і помноживши її скалярно на n , знайдемо

Формула (95.3) була доведена для додатно зарядженої основи. Але вона вірна й для від’ємно зарядженої основи, тому що на ній зовнішня нормаль n направлена у протилежну сторону, і тому проекція Pn від’ємна. Формула справедлива й на бічній поверхні

158