Файл: Lysenko_physics_lek_1.pdf

де q – сторонній заряд всередині поверхні інтегрування S .

Виходячи з вище описаної симетрії поля, виберемо поверхню інтегрування у вигляді концентричної із сферичним шаром з діелектрика сферичну поверхню радіуса r . Для всіх точок цієї поверхні через сферичний розподіл сторонніх і зв’язаних зарядів можемо записати

Dn = D(r) . Тому потік вектора D через замкнену поверхню інтегрування буде дорівнювати

де ε діелектрична проникність середовища на поверхні інтегрування радіуса r , і знайдемо

163

Тут E0 = Q /(4πε0r2 ) – напруженість електричного поля за умови відсутності діелектрика.

Таким чином, отримали формули (99.7), які визначають електричне поле як усередині сферичного шару з діелектрика, в центрі якого розміщено сторонній точковий заряд, так і за його межами, де діелектричну проникність потрібно покласти такою, що дорівнює одиниці ( ε = 1).

3 Для обох розглянутих вище прикладів є характерним те, що діелектрик був однорідним й ізотропним, а його поверхні збігалися з еквіпотенціальними поверхнями поля сторонніх зарядів. Отриманий нами в цих випадках результат є загальним: якщо однорідний і ізотропний діелектрик з діелектричною проникністю ε повністю заповнює об'єм, що обмежений еквіпотенціальними поверхнями поля сторонніх зарядів, то напруженість електричного поля визначається співвідношенням E = E0 / ε , де E0 напруженість

електричного поля за умови відсутності діелектрика.

Таким чином, у вище описаних випадках діелектрична проникність ε визначає, у скільки разів зменшується поле в діелектрику. В цьому полягає фізичний зміст діелектричної проникності.

ТЕМА 16 ПРОВІДНИКИ В ЕЛЕКТРИЧНОМУ ПОЛІ

§ 100 Умови рівноваги зарядів на провіднику. Електричне поле усередині провідника. Напруженість електричного поля біля поверхні провідника [9]

кінцях металевого тіла, можуть бути механічно відділені один від одного. Візьмемо два металевих циліндри A і B , які встановлені на ізолюючих підставках і з'єднаних з електроскопами (рис. 100.1). Зблизимо їх так, щоб вони торкались один одного. Якщо до них піднести заряджену кулю C , то стрілки обох електроскопів відхиляться. При віддаленні кулі C відхилення пропадає. Розсунемо тепер циліндри А і В у присутності зарядженого тіла C , а потім тіло C віддаляємо. Електричні заряди на А і В, а також на стержнях і стрілках електроскопів збережуться. Якщо куля C була заряджена додатно, то на A виявиться від’ємний, а на B – додатний заряди.

2 Доведемо, що напруженість електричного поля у провіднику, який знаходиться у рівноважному стані, дорівнює нулю. Якби усередині однорідного провідника існувало макроскопічне електричне поле, то воно викликало б рух вільних електронів. У провіднику виник би електричний струм. Цей електричний струм приводить до перерозподілу електричних зарядів, у результаті якого загальне електричне поле зменшується (в протилежному разі на базі цього явища можна б було створити вічний двигун першого роду). Рух електронів припиняється, коли напруженість електричного поля в металі зменшиться до нуля. Таким чином, для рівноваги електричних зарядів необхідно, щоб макроскопічне поле E дорівнювало нулю в усіх точках усередині однорідного провідника.

Для того щоб визначити густину електричного заряду всередині провідника,

Звідси випливає, що коли у всіх точках провідника E = 0 , то і ρ = 0 . Таким чином,

при рівновазі об'ємна густина електричного заряду усередині однорідного провідника дорівнює нулю. Електричний заряд може розміщуватися тільки на поверхні, а не усередині провідника.

Електричні заряди розміщуються на поверхні провідника тому, що між ними діють кулонівські сили притягання й відштовхування. Припустимо, що усередині провідника виникли електричні заряди. Притягання між різнойменними зарядами приведе до їх зближення й нейтралізації, а відштовхування однойменних зарядів – до того, що вони розійдуться якнайдалі й розмістяться на поверхні тіла.

3 Знайдемо напруженість електричного поля біля поверхні провідника, який знаходиться у рівноважному стані. Для розв’язання цієї задачі використаємо теорему Гаусса. Візьмемо до уваги, що в рівноважному стані напруженість електричного поля біля поверхні провідника має відмінну від нуля лише нормальну (перпендикулярну) до поверхні провідника складову ( En ¹ 0 ), тангенціальна ж складова дорівнює нулю ( Eτ = 0 ). Якби була

відмінною від нуля тангенціальна складова, то вздовж поверхні провідника протікав би електричний струм, і цей стан не був би рівноважним. Крім того також використаємо, що електричне поле всередині провідника відсутнє.

безпосередній близькості до нього напруженість поля E

направлена вздовж нормалі до поверхні. Тому для виступаючої ззовні бічної поверхні циліндра потік буде теж дорівнювати нулю, оскільки у кожній її точці вектор напруженості

близько до поверхні провідника і є малою за площею. Тому в кожній її точці можна вважати

(100.3) в (100.4) і отримуємо шукану напруженість електричного поля біля поверхні провідника

Зазначимо, що вектор E направлений перпендикулярно до поверхні провідника.

4 Використовуючи зв’язок між напруженістю електричного поля та потенціалом, неважко з’ясувати, що потенціал всіх точок провідника у рівноважному стані є однаковим.

Як відомо, різницю потенціалів двох довільних точок можна знайти за допомогою

електричне поле є потенціальним (відповідна сила є консервативною), і інтеграл (100.6) для електростатичного поля не залежить від лінії інтегрування. Виберемо цю лінію таким чином, щоб вона повністю знаходилася всередині провідника і з’єднувала дві довільні точки провідника. Як відомо, напруженість електричного поля всередині провідника дорівнює нулю, і тому інтеграл в правій частині (100.6) теж буде дорівнювати нулю. Це означає, що для довільних точок провідника ϕ1 − ϕ2 = 0 , тобто

Таким чином, потенціал всередині і на поверхні провідника є сталою величиною.

§ 101 Електроємність відокремленого провідника. Ємність кулі [5]

1 Розглянемо відокремлений провідник, який розміщено в однорідному середовищі. Передамо цьому провіднику електричний заряд q . Провідник (усі точки провідника)

набудуть деякого потенціалу ϕ . Якщо заряд на провіднику збільшити в n раз, то, як

встановлено дослідами, і його потенціал збільшиться в стільки ж разів. Дослідами з’ясовано, що відношення величини заряду q провідника до значення його потенціалу ϕ є сталим:

q / ϕ = const . Це відношення називають електроємністю відокремленого провідника (або просто ємністю):

Електроємність залежить від геометричних розмірів і форми провідника, розміщення навколо нього інших провідників, діелектричних властивостей середовища. Електроємність не залежить від матеріалу провідника, наявності в ньому порожнин та від величини заряду.

За одиницю в СІ прийнято електроємність такого відокремленого провідника, потенціал якого змінюється на 1 В при передачі йому заряду в 1 Кл. Ця одиниця дістала назву фарада (Ф): 1 Ф = 1 Кл/В. Ємність в 1 фараду є дуже великою величиною. Тому на

практиці частіше користуються частками цієї одиниці ємності: міліфарад (1 мФ = 10–3 Ф), мікрофарад (1 мкФ = 10–6 Ф), нанофарад (1 нФ = 10–9 Ф) і пікофарад (1 пФ = 10–12Ф).

2 Визначимо електроємність провідної зарядженої кулі радіуса R , яка знаходиться в однорідному середовищі з відносною проникністю ε .

Електричне поле зарядженої кулі за її межами подібне до поля точкового заряду, який розміщено в центрі кулі,

Використовуючи зв’язок між напруженістю електричного поля та потенціалом, можемо знайти різницю потенціалів між поверхнею кулі ( r = R ) та нескінченністю ( r = ∞ )

Поклавши потенціал на нескінченності ϕ∞ таким, що дорівнює нулю (вважаємо, що на

нескінченній відстані від заряду поле відсутнє і, отже, його потенціал дорівнює нулю), отримаємо для потенціалу кулі вираз

Використовуємо визначення (101.1) і знаходимо шукану електроємність кулі

Отже, ємність відокремленої кулі пропорційна його радіусу й діелектричній проникності навколишнього до кулі середовища.

§ 102 Конденсатор. Ємність конденсатора. Ємність плоского і циліндричного конденсатора. Ємність системи, що складається з послідовно та паралельно з’єднаних конденсаторів [5]

1 Ємність відокремлених провідників невелика. Наприклад, куля таких розмірів, як Земля, має ємність усього лише 700 мкФ. Разом з тим бувають потрібні пристрої, які при невеликому потенціалі нагромаджували б на собі («конденсували») великі заряди.

Конденсатором називається система, що складається з двох провідників-обкладок,

відокремлених прошарком діелектрика. Наближаючи обкладки і розміщуючи між ними ізоляційний прошарок з високою діелектричною проникністю можна створити конденсатори великої ємності. Такий конденсатор дає можливість нагромаджувати на обкладках великі заряди при невисоких напругах і малих розмірах приладу. Зазначимо, що електричне поле конденсатора майже повністю локалізоване у вузькому зазорі між його обкладками і тому на нього не впливають навколишні тіла (через це навколишні тіла на ємність конденсатора не впливають). Його обкладки мають заряди однакової величини, але протилежні за знаком.

Умові, щоб електричне поле було зосереджено усередині конденсатора, задовольняють дві пластинки, розташовані близько одна до одної, два коаксіальних циліндри й дві концентричні сфери. Відповідно бувають плоскі, циліндричні й сферичні конденсатори.

Як показують досліди, відношення абсолютної величини заряду до модуля різниці потенціалів обкладок залишається сталим: q /(ϕ1 − ϕ2 ) = const . Це відношення називається

взаємною ємністю або просто ємністю конденсатора, тобто

так: .

2 Знайдемо ємність плоского конденсатора (див. рис. 102.1). Нехай площа обкладки дорівнює S , а відстань між обкладками d . Зазор між обкладками вважаємо заповненим діелектриком із проникністю ε . Якщо d багато менше лінійних розмірів обкладок, то між обкладками поле буде таким, як поле двох нескінченних різнойменно однорідно заряджених

167