ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 135
Скачиваний: 0
Методы решения математических задач в Maple
отрицательно определенная (A<0), 'negative_semidef' − неположительно определенная ( A ≤ 0) . Результатом действия будет
константа true – подтверждение, false – отрицание сделанного предположения. Например:
> A:=matrix([[2,1],[1,3]]);
2 1 A := 1 3
> definite(А,'positive_def'); true
Проверить ортогональность матрицы А можно командой orthog(A).
> В:=matrix([[1/2,1*sqrt(3)/2],
[1*sqrt(3)/2,-1/2]]);
|
|
1 |
1 |
3 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
B := |
1 |
|
|
||
|
3 |
−1 |
|
||
2 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
||
> orthog(В);
true
Функции от матриц.
Возведение матрицы А в степень n производится командой
evalm(A^n). Вычисление матричной экспоненты e A возможно с помощью команды exponential(A). Например:
> Т:=matrix([[5*a,2*b],[-2*b,5*a]]);
|
5a |
2b |
T := |
|
|
− 2b |
5a |
|
> exponential(Т);
e(5a) cos(2b)− e(5a) sin(2b)
> evalm(Т^2);
25a2 − 4b2− 20ab
e(5a) sin(2b) e(5a) cos(2b)
20ab
25a2 − 4b2
66
Методы решения математических задач в Maple
Задание 2.
1. Даны матрицы: A = 4 |
3 , |
B = − 28 |
93 |
, C = 7 |
3 . Найти: |
7 |
5 |
38 |
−126 |
2 |
1 |
(AB)C , detA, detB, detC, det[(AB)C]. Наберите:
>with(linalg):restart;
>A:=matrix([[4,3],[7,5]]):
>B:=matrix([[-28,93],[38,-126]]):
>C:=matrix([[7,3],[2,1]]):
>F:=evalm(A&*B&*C);
|
|
2 |
0 |
|
|
F = |
|
|
|
0 |
3 |
> Det(A)=det(A); Det(B)=det(B); Det(C)=det(C); |
|||
Det(F)=det(F); |
Det(A)=−1 |
||
|
|||
|
Det(B)=−6 |
||
|
Det(C)=1 |
||
|
Det(F)=6 |
||
2 |
5 |
7 |
|
2. Дана матрица A = 6 |
3 |
4 , |
найти: detA, A−1 , A’, det(M22). |
|
− 2 |
|
|
5 |
− 3 |
|
|
Наберите:
> A:=matrix([[2,5,7],[6,3,4],[5,-2,-3]]);
|
2 |
5 |
7 |
|
A := |
|
|
3 |
|
6 |
4 |
|||
|
|
5 |
− 2 |
|
> Det(A)=det(A); |
|
− 3 |
||
|
|
|
|
|
Det(A)=−1 |
||||
> transpose(A); |
|
|
|
|
2 |
6 |
|
5 |
|
|
5 |
3 |
|
|
|
− 2 |
|||
|
|
4 |
|
|
7 |
− 3 |
|||
> inverse(A);
67
Методы решения математических задач в Maple
|
|
|
1 |
|
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
− 38 |
|
− 34 |
|
|||
|
|
|
27 |
− 29 |
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|||
> det(minor(A,2,2)); |
−41 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
8 |
− 4 |
5 |
5 |
9 |
|
|
|
|
1 |
− 3 |
−5 |
0 |
|
3. Найти ранг матрицы |
A = |
|
−7 |
||||
|
|
−5 |
|
|
. |
||
|
|
7 |
1 |
4 |
1 |
||
|
|
|
3 |
−1 |
3 |
2 |
5 |
>A:=matrix([[8,-4,5,5,9], [1,-3,-5,0,-7], [7,-5,1,4,1], [3,-1,3,2,5]]):
>r(A)=rank(A);
r(A)=3
4. |
|
|
3 |
−1 |
|
|
Вычислить eT , где T = |
|
. |
|
|||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
> exponential([[3,-1],[1,1]]); |
|||||
|
|
|
2e2 |
− e2 |
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
e2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
|
4 |
|
5. |
Дана матрица |
|
3 |
|
|
Найти значение многочлена |
A = 3 |
|
2 . |
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
6 |
10 |
|
||
P( A) = A3 −18A2 + 64 A .
>A:=matrix([[5,1,4],[3,3,2],[6,2,10]]):
>P(A)=evalm(A^3-18*A^2+64*A);
64 |
0 |
0 |
|
|
0 |
64 |
|
P( A) = |
0 |
||
|
0 |
0 |
|
|
64 |
||
§3. Спектральный анализ матрицы
Собственные числа и собственные векторы матрицы.
Из курса линейной алгебры известно, что если Ах=λх, то вектор х называется собственным вектором матрицы А, а число λ –
68
Методы решения математических задач в Maple
собственным числом, соответствующим данному собственному вектору. Совокупность всех собственных чисел матрицы называется спектром матрицы. Если в спектре матрицы одно и тоже собственное число встречается k раз, то говорят, что кратность этого собственного числа равна k.
Для нахождения собственных чисел матрицы А используется команда eigenvalues(A). Для нахождения собственных векторов матрицы А используется команда eigenvectors(A). В результате выполнения этой команды будут получены собственные числа, их кратность и соответствующие собственные векторы.
Чтобы понять, в каком виде получаются результаты выполнения команды eigenvectors, внимательно разберитесь со следующим
|
|
|
3 |
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
имеет 3 собственных вектора: |
||
примером: матрица A = −1 |
−1 |
|||||||
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
a1 = (−1,0,1) , |
отвечающий собственному числу |
λ1 = 2 |
кратности 1, |
|||||
a2 |
= (1,1,1) , отвечающий |
собственному числу |
λ2 = 3 |
кратности 1, |
||||
a3 |
= (1,−2,1) , |
отвечающий собственному числу |
λ3 = 6 |
кратности 1. |
||||
Найдем их в Maple:
>A:=matrix([[3,-1,1],[-1,5,-1],[1,-1,3]]):
>eigenvectors(A);
[2,1,{[-1,0,1]}], [3,1,{[1,1,1]}], [6,1,{[1,-2,1]}]
В строке вывода перечислены в квадратных скобках собственное число, его кратность и соответствующий собственный вектор в фигурных скобках , затем следующие наборы таких же данных.
Характеристический и минимальный многочлены матрицы.
Для |
вычисления |
характеристического |
многочлена |
|||
PA(λ) = det(λE − A) |
матрицы |
A |
используется |
команда |
||
charpoly(A,lambda). |
|
|
|
|
||
Минимальный многочлен (делитель) матрицы А можно найти с помощью команды minpoly(A,lambda).
Канонические и специальные виды матрицы.
Привести матрицу А к нормальной форме Жордана можно командой jordan(A).
К треугольному виду матрицу А можно привести тремя способами:
69
Методы решения математических задач в Maple
1)команда gausselim(A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса;
2)команда ffgausselim(A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса без деления. Эта команда предпочтительней для работы с символьными матрицами, так как не производит нормировку элементов и исключает возможные ошибки, связанные с делением на нуль;
3)команда gaussjord(A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса-Жордана.
Характеристическую матрицу F( A) = λE − A можно вычислить
командой charmat(A,lambda).
Задание 3.
|
3 |
2 −i |
. Найти ее собственные векторы и |
|
1. Дана матрица U = |
+ i |
7 |
|
|
2 |
|
|
||
собственные числа.
>U:=matrix([[3,2-I],[2+I,7]]):
>eigenvectors(U);
|
2 |
|
1 |
|
|
, [2,1,{[− 2 + I,1]}] |
|
8,1,{ |
|
− |
5 |
I,1 } |
|||
|
|||||||
|
5 |
|
|
|
|
||
|
3 |
− i |
0 |
|
|
||
|
|
3 |
|
. |
Найти собственные векторы, |
||
2. Дана матрица A = i |
0 |
||||||
|
|
0 |
|
|
|
||
|
0 |
4 |
|
|
|||
собственные числа, характеристический многочлен и минимальный многочлен, Жорданову форму.
>A:=matrix([[3,-I,0],[I,3,0],[0,0,4]]):
>eigenvectors(A);
[2, 1, {([1, −I, 0])}], [4, 2, {([0, 0, 1]), ([−I, 1, 0])}] > P(lambda):=charpoly(A,lambda);
P(λ) := λ3 −10λ2 + 32λ − 32
> d(lambda):=minpoly(A,lambda); d (λ) := 8 − 6λ + λ2
> jordan(A);
70