Добавлен: 20.03.2024
Просмотров: 11
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
2.4. История возникновения софизмов
Софизмы появились в Древней Греции. Они тесно связаны с философской деятельностью софистов — платных учителей мудрости, учивших всех желающих философии, логике и, особенно, риторике (науке и искусству красноречия). Однако софизмы существовали задолго до философов-софистов, а наиболее известные и интересные были сформулированы позднее в сложившихся под влиянием Сократа философских школах.
Первая в истории проба проведения "логической профилактики" в Евклид математике принадлежит гениальному древнегреческому математику - Эвклиду. Он создал удивительный сборник "Псевдарий", где помещая разнообразные ошибочные рассуждения, к которым часто приходят те, кто начинает играть в математику. Таким образом, Эвклид был автором первого из известных сборников математических софизмов и парадоксов.
Софистам идейно противостоял знаменитый греческий философ Сократ. Дискуссия между софистами и Сократом о существовании объективной истины зародилась приблизительно в V в. до н.э.
Наши дни: появление мысли о том, что человеку свойственно ошибаться, поэтому очень важно, чтобы он умел выявлять свои и чужие ошибки, учился избегать их. Действительно, чем хитрее софизм, чем искуснее замаскирована ошибка, тем больше удовлетворения приносит он тому, кто разгадал его, так как это - маленькое открытие и прекрасная школа, культура математических вычислений.
2.5. Практическое применение и польза софизмов
Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т. е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме - это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях. Когда ребенок раз притронется к горячему предмету, то впоследствии он постарается этого не делать. Он будет много осторожнее. Так изучающий математику впоследствии проявит больше осторожности.
Далее, что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Все это нужно и важно.
Наконец, разбор софизмов увлекателен. Только очень сухого человека не может увлечь интересный софизм. Как приятно бывает обнаружить ошибку в математическом софизме и тем как бы восстановить истину в ее правах. И чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ.
Имеется немало разных книг, в которых собраны различные софизмы. В конце XIX - начале XX в. особенно большой известностью среди учащихся пользовалась книга Обреимова "Математические софизмы". Этой книжкой зачитывались. Трудно было найти гимназиста, который не читал бы ее. Василию Ивановичу Обреимову, передовому, революционно настроенному деятелю народного образования последних десятилетий XIX и начала XX в. удалось собрать и обработать интересные софизмы. Наверное, этот сборник софизмов имел в виду В. И. Ленин, когда он в одной из своих статей писал, что такие сборники учащимся "приносят свою пользу".
В. И. Ленину в борьбе, которую он вел с врагами рабочего класса, часто приходилось разбирать и разоблачать разнообразные политические софизмы своих противников. Рассуждения по вопросам политики, содержащие замаскированные ошибки, В. И. Ленин сравнивал с математическими софизмами. Он говорил, что эти рассуждения похожи, "...как две капли воды, на те рассуждения, которые математики называют математическими софизмами и в которых, - строго логичным, на первый взгляд, путем, - доказывается, что дважды два пять, что часть больше целого и т. д."*. Эти слова В. И. Ленина показывают, что он знал математические софизмы и это знание помогало ему разоблачать софизмы в политике.
2.6. Софизмы в математике
2.6.1. Алгебраические и арифметические софизмы. Примеры
Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.
Всякое число равно своему удвоенному значению.
Запишем очевидное для любого числа a тождество
a2 - a2 = a2 - a2, вынесем a в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим a(a – a) = (a + a)(a - a).Разделив обе части на a - a, получим a = a + a, или a=2a.
Итак, всякое число равно своему удвоенному значению.
Разбор софизма. Здесь ошибочен переход к равенству a=2a. В самом деле, число a-a, на которое делится равенство a(a – a) = (a + a)(a - a) равно нулю. Поэтому его можно записать в виде, откуда, очевидно, следует, что число a слева и число a+a справа могут принимать любые, отнюдь не равные друг другу значения. Деление же обеих частей этого равенства на неравное нулю число a-a приводит к бессмыслице.
2.6.2. Геометрические софизмы. Примеры
Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.
«Загадочный треугольник»
Дан прямоугольный треугольник 13*5 клеток, составленный из четырёх фигур. (Рис. 1)
После перестановки фигур при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка. Но мы же понимаем, что такого быть не может. (Рис. 2)
Ошибка: (Рис. 3)
Площади закрашенных фигур, конечно, равны между собой (оба по 32 клетки), однако, то, что визуально наблюдается как треугольники 13*5, на самом деле таковым не является, и имеет разные площади. То есть ошибка, замаскированная в условии задачи, состоит в том, что начальная фигура названа треугольником (на самом деле являющаяся вогнутым четырёхугольником). Это отчётливо заметно на рис. 2 – гипотенузы верхней и нижней фигур проходят через разные точки: (8,3) вверху и (5,2) внизу. Секрет в свойствах синего и красного треугольников. Это легко проверить вычислениями. Отношения длин соответствующих сторон синего и красного треугольников не равны друг другу (2\3 и 5\8), поэтому эти треугольники не являются подобными, а значит, имеют разные углы при соответствующих вершинах. Если нижние стороны этих треугольников параллельны, то гипотенузы в обоих треугольниках 13*5 на самом деле являются ломаными линиями (на верхнем рисунке создаётся излом внутрь, а на нижнем – наружу). Если наложить верхнюю и нижнюю фигуры 13*5 друг на друга, то между их гипотенузами образуется параллелограмм, в котором и содержится «лишняя» площадь. На рис. 3 этот параллелограмм приведён в верных пропорциях.
Официальным автором этой задачи про «загадочные треугольники» является иллюзионист-любитель Пол Керри, придумавшим этот софизм в XX веке.
2.7. Софизмы, на которые до сих пор нет ответов
«Ахиллес никогда не догонит черепаху».
Образ Ахиллеса взят из «Илиады» Гомера, где герой Ахиллес неоднократно именуется «быстроногим». Сюжет софизма напоминает безуспешную погоню Ахиллеса за Гектором: «Гектора ж, в бегстве преследуя, гнал Ахиллес непрестанно. Словно как пёс по горам молодого гонит оленя…» Древнегреческий философ Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая, как известно, отличается крайне медленной скоростью передвижения. Вот примерная схема рассуждений Зенона. Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают движение одновременно, и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для определённости, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи, и что их отделяют друг от друга 100 шагов. Когда Ахиллес пробежит расстояние в 100 шагов, отделяющие его от того места, откуда начала двигаться черепаха, то в этом месте он уже её не застанет, так как она пройдёт вперёд расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес пробежит и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, поскольку она успеет перейти на 1 шаг вперёд. Достигнув и этого места, Ахиллес опять не найдёт там черепахи, потому что она успеет пройти расстояние, равное 1/10 шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придётся признать, Что быстроногий Ахиллес никогда не догонит медленно ползающую черепаху. Где ошибка? Рассматриваемый софизм Зенона даже на сегодняшний день далёк от своего окончательного разрешения. Вот некоторые его аспекты, указанные в книге Мадера А. Г., Мадера Д. А. «Математические софизмы»: «Сначала определим время t, за которое Ахиллес догонит черепаху. Оно легко находится из уравнения a+vt=wt, где a – расстояние между Ахиллесом и черепахой до начала движения, v и w – скорости черепахи и Ахиллеса соответственно. Это время при принятых в софизме условиях (v=1 шаг/сек и w=10 шагов/сек) равно 11,111111… сек. Другими словами, примерно через 11,1 сек. Ахиллес догонит черепаху. Подойдём теперь к утверждениям софизма с точки зрения математики. Проследим логику Зенона. Предположим, что Ахиллес должен пройти столько же отрезков, сколько их пройдёт черепаха. Если черепаха до момента встречи с Ахиллесом пройдёт m отрезков, то Ахиллес должен пройти те же m отрезков плюс ещё один отрезок, который разделял их до начала движения. Следовательно, мы приходим к равенству m=m+1, что невозможно. Отсюда следует, что Ахиллес никогда не догонит черепаху. Итак, путь, пройденный Ахиллесом, состоит из бесконечной последовательности отрезков, которые принимают бесконечный ряд значений. Трудности, которые возникают при оперировании понятиями «непрерывного» и «бесконечного» до сих пор не определены, а разрешение противоречий, содержащихся в них, послужило более глубокому осмыслению основ математики». В действительности,
трудно представить себе Ахиллеса, бежавщего расстояние в одну тысячную миллиметра. Таким образом, становится совершенно ясно, что этот софизм Зенона оказывается правильным в теории, но абсолютно неверным в практике.
2.8. Основные ошибки и приемы в софизмах
• деление на 0;
• неправильные выводы из равенства дробей;
• неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;
• нарушения правил действия с именованными величинами;
• путаница с понятиями “равенства” и “эквивалентность” в отношении
множеств;
• проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;
• неравносильный переход от одного неравенства к другому;
• выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;
• ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами и
предельным переходом.
Глава III. Исследовательская часть
Чтобы показать и подтвердить значимость софизмов и парадоксов в жизни, я провела исследовательскую работу в сфере учебной деятельности (приложение). Данная работа была направлена
-
на развитие умения находить ошибку, анализировать и устранять ее; -
на развитие логического мышления; -
на формирование математической грамотности учащихся.
Исследование проводилось среди учащихся шестого, седьмого, восьмого и одиннадцатого классов. В шестом классе был проведен урок – презентация, посвященный алгебраическим софизмам по теме «Единицы измерения», а в седьмом данного урока не проводилось. Затем по этой теме была проведена самостоятельная работа. По итогам самостоятельных работ средние баллы в каждом из классов разошлись. Так, средний балл в 6 классе составил – 4,2, в 7 – 3,6 (Диаграмма 1). Ни один учащийся из 6 класса не допустил ошибку при решении задач на единицы измерения, когда в 7 классе 2 учащихся (25%) допустили ошибки в решении задач. Такую же работу я провела в 8 и 11 классах, где в первом из них был проведен урок – презентация, посвященный алгебраическим софизмам по теме «Равносильные уравнения», а затем проведена самостоятельная работа в каждом классе. В 8 классе средний балл был равен – 3,9, а в 11 классе – 3,1 (Диаграмма 2). Только один учащийся (14,3%) 8 класса допустил ошибку по данной теме, когда в 11 ошибки допустили 2 человек (40%). Все полученные данные мы оформили в виде диаграмм (приложение), которые наглядно показали нам различия по уровню усвоения темы самостоятельной. Таким образом, проанализировав полученные результаты, я сделала вывод, что ученики, разобравшие варианты возможных ошибок, научились находить и устранять их. Ученики, не получившие данной информации, допустили различные ошибки по данной теме.
