---

Рекомендации по выполнению задания
Задание 1. Выполнение первого задания не требует применения специальных методов. Для вычисления интегралов в этом задании необходимы лишь знание основных табличных интегралов, владение простейшими свойствами неопределенного интеграла, а также умение выполнять алгебраические функциональные преобразования.

Пример 1.1. Найти интеграл .

Решение:



Пример 2.1. Найти интеграл .

Решение:


Задание 2.2. Для выполнения задания по нахождению первообразной F(u) заданной функции f(u) достаточно вычислить неопределенный интеграл и придать произвольной постоянной С в его выражении любое конкретное числовое значение, например, С = 0. При вычислении неопределенного интеграла в этом задании применяется техника подведение под знак дифференциала.

Пример 2.1. Найти первообразную функции .

Решение: Заметим, что , откуда . Следовательно,



так как последний интеграл имеет форму табличного интеграла . Полученное выражение содержит все первообразные заданной функции. Полагая в нем С=0, получим одну из них:

Пример 2.2. Найти первообразную функции .

Решение:

Учитывая, что ,

откуда

---

, получаем


Отсюда следует, что является первообразной данной функции.

Задания 3, 4. Интегралы вида

, где вычисляется по единой схеме, включающей следующие этапы:

1. 
   представление числителя в виде
   

с целью выделения производной квадратного трехчлена:

2) представление вычисляемого интеграла в виде линейной комбинации двух интегралов после почленного деления преобразованного числителя на знаменатель;

3) приведение полученных интегралов-слагаемых к интегралам табличного вида: первого – путем подведения производной трехчлена под знак дифференциала, второго – путем представления квадратного трехчлена в виде суммы или разности (в зависимости от знака его дискриминанта) двух квадратов;

4) вычисление полученных интегралов табличного вида.

Пример 3.1. Найти интеграл .



Пример 4.1. Найти интеграл .



Задание 5. Это задание выполняется с помощью применения формулы интегрирования по частям

Предварительные вычисления проводятся по схеме



Пример 5.1. Найти интеграл .

Решение. Для вычисления представим подынтегральное выражение в виде , где .

Тогда и в соответствии с формулой интегрирования по частям получаем

---

Пример 5.2. Найти интеграл .

Решение. Обозначим искомый интеграл и применим к нему формулу интегрирования по частям, полагая , . Тогда , и, следовательно,



К полученному в правой части интегралу снова применим тот же метод интегрирование по частям:




Таким образом, двукратное применение формулы интегрирования по частям приводит к соотношению

,

из второго находим

.

Задание 6. Интегралы в этом задании вычисляются методом замены переменной, которая направлена на устранение иррациональности в подынтегральном выражении, обусловленной присутствием квадратного корня одной из трех возможных форм

а) б) в) .

Устранение иррациональности достигается соответственно подстановками

а) или б)

---

в) ,

преобразующими разность (сумму) в новый квадрат.

Пример 6.1. Найти интеграл .

Решение. Для уничтожения корня применим подстановку , откуда .



Задание 7. Интегрирование рациональных дробей в этом задании выполняется по единой схеме, этапы которой рассмотрим на следующем типичном примере:

Пример 7.1. Вычислить интеграл .

Решение. Если дробь под знаком интеграла неправильная (степень числителя не меньше степени знаменателя) как в рассматриваемом интеграле, то первым действием будет

1. 
   выделение правильной части, которое подразделяется на
   

а) деление с остатком числителя на знаменатель



б) представление подынтегральной дроби в виде



Если исходная подынтегральная дробь является правильной рациональной дробью, то первым шагом будет следующий этап.

2. 
   Разложение многочлена в знаменателе на неразложимые множители
   

3. 
   Формальное разложение правильной рациональной дроби на простейшие (элементарные)
   

.

4) Вычисление значений неопределенных коэффициентов A, B, C, D. Для этого приведем сумму дробей к общему знаменателю



и отождествим многочлены в числителях

---

Смотрите также файлы

• Уп задачи, суб сторона Задача 1.docx

• Вопросы к экзамену Понятия психического и психологического здоровья.doc

• Отчёт о страховой медицинской компании.docx

• Программа среднего профессионального образования 40. 02. 01 Право и организация социального обеспечения Дисциплина Основы философии (1 семестр) Практическое задание 3.doc

• .rtf