Файл: Справочник по элементарной математике, механике и физике.-1.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 152
Скачиваний: 4
Алгебра |
75 |
равноотстоящих от начала и конца разложения, равны между собой. Если п четное, то имеется один средний наибольший коэффициент; если п нечетное, то — два наибольших.
3) |
При |
возведении в л-ю степень |
р а з н о с т и а — Ь |
все четные члены разложения имеют знак |
«минус»: |
||
(а — Ь)п = |
л (л — 1) |
|
|
ап — пап ~ • 6 + — ["72— а™— 2 — ... |
|||
54. Таблица биномиальных коэффициентов
Коэффициенты бинома Ньютона могут быть получены из так называемого «треугольника Паскаля»:
Бином |
|
|
Треугольник Паскаля |
|
||||
(а + |
b f |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
( а + |
6)1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
(а + |
b f |
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
(а + |
b f |
|
1 |
1 |
3 |
3 |
|
|
(а + |
Ь у |
|
4 |
6 |
4 |
1 |
1 |
|
(a + |
b f |
1 |
1 |
5 |
10 |
10 |
5 |
|
(а + |
b f |
6 |
15 |
20 |
15 |
6 |
1 |
|
Каждый элемент образуется сложением двух элемен тов, стоящих над ним (слева и справа); таким же образом можно продолжать эту таблицу и дальше.
76 |
Геометрия |
|
|
|
IV. ГЕОМЕТРИЯ |
|
|
|
А. П Л А Н И М Е Т Р И Я |
|
|
( Г Е О М Е Т Р И Я НА П Л О С К О С Т И ) |
|
||
|
55. Треугольники |
|
|
Точки А, |
В, С — вершины тр-ка, углы |
при |
вершинах |
(углы тр-ка) |
обозначаются соответственно |
А, |
£ В , ,/ |
стороны тр-ка обычно обозначаются строчными буквами а, Ь, с соответственно противолежащим углам; Сумма длин всех сторон треугольника: а-\- Ь + с (а также и всякого
РИС. I.
многоугольника) называется его периметром и обычно обозначается 2р\ а + Ъ+ с = 2р.
|
|
|
|
Геометрия |
|
7? |
|
На |
рис. |
1, а — тр-к |
остроугольный (все |
углы острые). |
|||
На |
рис. |
1,6 — тр-к |
тупоугольный: |
один |
угол |
||
(^С ) — тупой. |
|
|
прямоугольный: |
один |
угол |
||
На |
рис. |
1,в — тр-к |
|||||
С) — прямой, |
^ А |
и |
— острые углы, |
сторона |
|||
с — гипотенуза, |
стороны а , |
b — катеты. |
|
|
|||
На |
рис. |
1, г — тр-к равнобедренный: две стороны равны |
|||||
(6=с). При этом равны и противолежащие углы: ^ .В = ^ С .
На |
рис. |
1,6 — тр-к |
равносторонний: |
все |
стороны |
|
равны |
(а = Ь — с). При |
этом равны |
и |
все |
углы: |
|
= |
^сВ = |
^.С. |
|
|
см. |
стр. 82; |
Площадь треугольника и других фигур |
||||||
основные формулы для треугольника см. |
стр. |
81. |
|
|||
56. Параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат
В параллелограмме (рис. 2) стороны попарно параллельны
(АВ || |
DC |
и AD || ВС). Основные |
свойства: |
АВ = DC, |
AD = |
ВС, |
^.А = ^ С , ^.В — *zD\ |
точка О |
пересечения |
диагоналей (АС и BD) есть середина каждой |
из них. |
|||
|
Рис. |
2. |
Рис. з. |
Важнейшие частные случаи параллелограмма; |
|||
а) |
Ромб |
(рис. 3). Все |
стороны равны. Имеет все |
свойства параллелограмма. Кроме того, диагонали взаимно |
|||
перпендикулярны |
(АС ± В D) и |
являются биссектрисами |
|
78 |
Геометрия |
углов ромба1), б) Прямоугольник (рис. 4). Все углы пря мые. Имеет все свойства параллелограмма. Кроме того, диагонали равны, в) Квадрат (рис. 5).
D
Рис. 4. |
|
|
Рнс. |
5. |
|
Все стороны равны и |
все |
углы |
прямые. |
Имеет все |
|
свойства прямоугольника и ромба. |
|
|
|
||
57. |
Трапеция |
|
|
|
|
Трапецией называется |
четырехугольник с двумя парал |
||||
лельными сторонами (рис. 6; АВ || DC). Стороны АВ и DC— |
|||||
. |
г ■ |
основания: |
АВ — ниж- |
||
Верхнее основание |
нее |
и |
DC _ верхнее |
||
основания. Стороны ВС
и AD — боковые сто
роны. Отрезок EF, соединяющий середины боковых сторон, на зывается средней ли нией трапеции; средняя линия трапеции парал лельна обоим основа
ниям, и длина ее равна полусумме длин оснований:
___________ EF = Vs (АВ + DC).
1) Определение биссектрисы см. ниже, стр. 79.
|
|
|
|
|
Геометрия |
|
|
|
|
79 |
Если у трапеции боковые стороны равны, она называется |
||||||||||
|
|
|
|
|
р а в н о б о ч н о й |
(рис. 7). |
||||
|
|
/ |
\ |
|
Ее |
характерные |
свойства: |
|||
|
|
|
углы |
при |
каждом основании |
|||||
|
|
|
|
|
равны между собой ( /_А — </_В |
|||||
|
|
|
|
|
и / С — |
/£>)', если продол |
||||
|
|
|
|
|
жить боковые стороны до их |
|||||
|
|
|
|
|
пересечения |
в точке Е, |
то |
|||
|
|
|
|
|
образуются |
равнобедренные |
||||
|
|
|
|
|
треугольники |
ЕАВ и EDC. |
|
|||
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58. |
Высота, |
медиана, |
|||
|
|
|
|
|
биссектриса |
треугольника |
||||
Перпендикуляр, опущенный из любой |
вершины тр-ка |
|||||||||
на противолежащую сторону или на |
ее продолжение, |
на |
||||||||
зывается |
высотой, |
тр-ка |
|
|
|
в |
|
|||
(рис. |
8; BD — высота). |
|
|
|
|
|||||
Отрезок |
прямой, |
соединя |
|
|
|
|
|
|||
ющий |
любую |
вершину |
|
|
|
|
|
|||
тр-ка с серединой противо |
|
|
|
|
|
|||||
лежащей стороны, назы |
|
|
|
|
|
|||||
вается |
медианой |
тр-ка |
|
|
|
|
|
|||
(BE — медиана). |
Отрезок |
|
|
|
|
|
||||
прямой, |
делящей |
пополам |
|
|
|
|
|
|||
любой угол тр-ка, |
от вер |
|
|
|
|
|
||||
шины угла до противоле |
|
|
|
|
|
|||||
жащей стороны, называется |
|
Рис. 8. |
|
|
||||||
биссектрисой тр-ка (BF — |
|
|
|
|
|
|||||
биссектриса), |
а сама |
пря |
|
|
|
|
|
|||
мая, |
делящая |
пополам угол, — биссектрисой этого угла. |
||||||||
Биссектриса разделяет сторону тр-ка |
на части, |
пропорци |
||||||||
ональные двум другим сторонам: |
|
|
|
|
|
|||||
80 Геометрия
В
|
AF : FC = ВА : ВС |
|
|
||
В тупоугольном |
тр-ке все медианы |
||||
и биссектрисы |
лежат |
внутри тр-ка, но |
|||
две |
высоты, |
выходящие |
из |
острых |
|
углов, проходят вне |
его и |
падают на |
|||
продолжения |
противолежащих |
сторон |
|||
(рис. |
9) |
|
|
|
|
59. Четыре замечательные точки в тр-ке
а) Все три высоты каждого тр-ка пересекаются в одно точке, называемой ортоцентром тр-ка (рис. 10. а);
Рас. ш.
Геометрия |
81 |
б) все три медианы пересекаются в одной точке, являю щейся центром тяжести тр-ка, он лежит на медиане, на расстоянии двух третей ее от соответствующей вер шины (рис. 10, б); с) все три биссектрисы тр-ка пере секаются в одной точке, являющейся центром вписан ного кругу (рис. 10, в); г) все три перпендикуляра, восста новленные из середин сторон тр-ка, пересекаются в одной точке, являющейся центром описанного круга (рис. 10, г).
В случае тупоугольного треугольника ортоцентр и центр описанного круга находятся не внутри, а вне треугольника.
60. Основные формулы для треугольника1)
Соотношение |
Формула |
|
Сумма углов |
-(- jz.В -f- |
« 2d |
|
(d — прямой угол) |
|
Зависимость между |
а-{- b > с. а — Ь < с |
|
сторонами тр-ка |
(а, Ь. с — любые стороны |
|
|
тр-ка) |
|
Зависимость между |
Георема Пифагора: |
|
сторонами прямо- |
е* - а* + |
Ь* |
угольного тр-ка |
(с — гипотенуза, |
|
|
а и Ь — катеты) |
|
') Iригонометри четкие формулы приведены систематически и раз деле «Тригонометриях (стр. 98 и 104 — 105).
