Файл: Справочник по элементарной математике, механике и физике.-1.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 135

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

36

 

Алгебра

 

 

величин: аъ а2.............

ап называется их сумма,

деленная

на их число ---------------

ai + аг + ----------------•

• •+

ап .

 

 

 

 

п

 

 

 

 

Квадратный

корень из произведения

(]^

ДВУХ ве'

личин ,а1 и аг

называется

их

геометрическим

средним;

геометрическим средним п

величин называется

корень п-й

степени из их

 

 

л , ---------------------

 

произведения: у

а1а2 . .

. ап .

 

11. Уравнение 1-й степени с одним неизвестным

Решение уравнения 1-й степени с одним неизвестным проводим следующим образом:

 

 

 

 

Пример

Путь

решения

2

•

7

00 1 х

 

 

Освобождаемся от знаме»

(9* +

7) • 7 +

(* — 2) • 2 =

натслей

 

 

- (36 +

дг) • 2 • 7

Раскрываем скобкн

63л +

49 + 2х — 4 = 504 + 14л:

Собираем члены, содер­

 

 

 

 

жащие неизвестное (*), в ле­

63л: +

2л: — 14*

- 504 — 49 + 4

вой части,

а остальные —в

правой части уравнения

Делаем приведение по­ добных членов

Делим обе части уравненыя на коэффициент при неизвестном

51л: = 459

459 Х ” 5 Г “ *

Алгебра

37

Полученное значение неизвестного (я) называется кор­ нем или решением данного уравнения. При подстановку этого значения в уравнение вместо неизвестного уравнение превращается в тождество.

В нашем примере:

9 - 9 + 7 9 — 2

2 + _ т ~ = 36 + 9.

12. Система уравнений 1-й степени

Всякое уравнение 1-й степени с двумя неизвестными можно после упрощений привести к виду

ах + by = с

(«нормальный вид»).

Одно уравнение с двумя неизвестными а: и у не имеет определенных решений. Решение системы двух уравнений

с двумя

неизвестными х и у заключается

в

нахождении

значений,

которые при подстановке в оба уравнения вместо

х ч у превращают оба уравнения в тождества.

Система двух уравнений решается путем

исключения

одного из двух неизвестных, что приводит

систему к од­

ному уравнению с одним неизвестным.

 

исключения

Наиболее часто применяемыми способами

неизвестных являются: а) способ уравнивания коэффициен­ тов и б) способ подстановки. Те же способы исключения неизвестных применяются и для решения системы трех и более уравнений.

38

Алгебра

 

 

 

 

а) Р е ш е н и е с п о с о б о м у р а в н и в а н и я

 

к о э ф ф и ц и е н т о в

 

 

 

 

Путь решения

_

1

бх

14у ■» 24

 

Пример:

j

iac Z

2lt, _ l 7

Уравниваем коэффициенты

1-е уравнение

умножаем

при

каком-нибудь из неизвест­

на 3, а 2-е — на 2. Тогда урав­

ных1), для чего умножаем

ниваются коэффициенты при у:

каж дое уравнение на некото­

5*-f- 14р -

 

24 131 15*4-42//—72

рый множитель

 

 

 

19* — 2\у -

 

17 |2| 38*—42//-34

Складываем почленно оба уравнения (или вычитаем одно из другого) для исключения одного неизвестного

Решаем полученное урав­ нение с одним неизвестным

Подставляем найденное значение одного .неизвестного в одно из данных уравнений и находим значение другого неизвестного

Складывая

уравнения, ис­

ключаем у.

 

72

, 15дг -Н 42// -

38* — 42// -

34

53лт

~

106

Находим корень *:

 

х ~

106

 

 

53

”

2

Подставляем

х =

2 в пер­

вое уравнение и решаем его

относительно у.

5*2-}- \Ау *- 24, 14# — 14, у ~ 1

Решение системы: * — 2, у — 1

’) Вернее сказать —.уравниваем абсолютные значения коэффи­ циентов: они Могут после «уравнивания» отличаться знаками, как это и имеет место в приведенном примере.

 

Алгебра

 

 

39

б) Р е ш е н и е с п о с о б о м п о д с т а н о в к и

 

Путь решения

_

f

5х + 1Ау =

24

Пример:

(

m * - 2 I p =

17

Решаем одно нз двух урав­ нений относительно какогонибудь нз неизвестных, рас* сматрнвая другое как известмое

Решаем 1-е уравнение от­ носительно у:

24 — 5х

" "

14

< >

Подставляем

найденное

Это выражение

подстав­

выражение для этого неиз­

ляем во 2-е уравнение:

вестного в другое

уравнение

19дг — 21 - ?4 ~ 5 -

« 17

и тем самым исключаем нз

него это неизвестное

14

 

Решаем полученное урав­ нение с одним оставшимся не­ известным

Подставляя найденное значение второго неизвестно­ го в выражение для первого, находим значение первого не­ известного

Решаем это уравнение от­ носительно х:

Юг 3 ,2 4 . , - а д =17.

38л:— 72 + 15а- = 34, 53л: = 106, х = 2

Подставляя х = 2 в (*), находим:

У ~

24 — 5 л:

2 4 - 5 - 2

14

"

■ 14

” 1

 

Решение системы:

 

 

л: = 2,

у =

1

_________________________________ 1

40

Алгебра

13. Возведение в степень

Произведение п одинаковых множителей: а • а . . .а называется п-й степенью числа а и обозначается символом ап (читается: «а в п-й степени»). Нахождение п-й степени числа называется возведением в степень.

П р и м е р : Возвести 2 в 5-ю степень. 25 = 2 - 2 - 2 -

• 2 ■2 = 32.

Число а, которое берется несколько раз множителем,

называется основанием степени, а число п, показывающее,

сколько раз повторяется основание, — показателем сте­

пени.

Так, в данном примере (2б =

32) число 2 — основа­

ние,

число 5 — показатель,

число 32 — степень.

 

2-я степень (а2) иначе

называется квадратом числа

а

(читается

«а

квадрат»); 3-я степень

(а3) — кубом числа

а

(читается

«а

куб»).

 

 

 

14. Извлечение корня

Извлечение корня есть действие, посредством которого по данной степени и данному показателю степени находится основание степени. Так, если 25 = 32, то извлечение корня 5-й степени из 32 есть действие, посредством которого по данной степени (32) и данному показателю степени (5) на­ ходится основание степени (2). Для обозначения действия

извлечения корня служит знак У , называемый знаком корня, или радикалом, а самое действие обозначается для

нашего примера так: У~32 = 2; при этом число 32 назы­ вается подкоренным числом, число 5 — показателем корня,

Смотрите также файлы