Файл: Справочник по элементарной математике, механике и физике.-1.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 140
Скачиваний: 4
48 |
Алгебра |
23.Действительные и мнимые решения квадратных
|
|
|
уравнений |
|
|
|
|
||
а) Для полного |
квадратного уравнения. |
имеет |
|||||||
Если |
Ь”— 4ас > 0, |
то |
квадратное |
уравнение |
|||||
два действительных различных решения. |
|
|
|
||||||
Н а п р и м е р : 2х2 + х — 1 = 0; |
|
|
|
||||||
|
1 ± V 1 + 8 |
|
1 ± 3 . |
_ |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
1 — |
,ЛС1- |
- |
г ’ **” |
|
Если |
62 — 4ас = |
0, |
то |
квадратное |
уравнение |
имеет |
|||
два действительных |
одинаковых решения |
(«два решения |
|||||||
совпадают»). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н а п р и м е р : х2— 6х + 9 = 0; |
|
|
|
|
|||||
|
г |
_ |
6 ± |
у 36 - 36 |
|
|
|
||
Если |
Ь2— 4ас < 0, |
то |
квадратное |
уравнение |
имеет |
||||
два мнимых решения. |
|
|
|
|
|
|
|||
Н а п р и м е р : Зх2— х + 5 = 0; |
|
|
|
|
|||||
|
* _ 1 ± ] /Г ^ б О _ 1 ± У ^ 5 Г |
|
|||||||
|
-------------e— |
;----------- 6— |
|
|
|||||
б) |
Для |
неполного |
квадратного |
уравнения |
1-го ро |
||||
(ах2-j- с = 0). Если |
а и с разных знаков, |
то оба решения, |
|||||||
действительные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н а п р и м е р : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4*2 — 9 = |
0; |
= ± |
] / - | - = |
± |
4 " |
|
|||
Если а и с одинаковых знаков, то оба решения мни мые.
|
|
|
|
|
Алгебра |
|
|
49 |
||
Н а п р и м е р : |
4х2 + |
9 = |
0; |
х из |
— ± |
у — -JL. |
||||
в) |
|
Неполное квадратное |
уравнение |
2-го |
рода (ад:2 + |
|||||
+ Ьх = 0) |
имеет |
всегда |
два |
действительных |
решения, |
|||||
одно из них — нуль. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
24. |
Свойства корней квадратного |
уравнения |
|||||||
Если |
х1 |
и |
х« — корни |
квадратного |
уравнения |
|||||
ах2 + |
Ьх + с = |
0, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*1 + |
|
|
Ъ |
|
|
|
|
|
|
|
*2 — — д |
|
|
|
|||
|
|
|
|
Xj • ха = |
+ |
— . |
|
|
||
В |
частном |
случае, если |
а = 1 |
(приведенная форма |
||||||
х2 + |
рх + |
q = |
0), |
то |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
*1 + *2 = |
— Р |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*1■* 2 = + <7 -
Этими формулами удобно пользоваться для проверки решения квадратного уравнения, а также для составле ния квадратного уравнения по заданным его корням.
25. Разложение трехчлена 2-й степени на множители
Если х1 и х 2— корни трехчлена 2-й степени ах2 +
+ |
Ьх + |
с |
(т. е. корни квадратного уравнения ах2 + 6x 4 - |
+ |
с = |
0), |
то |
|
|
|
ах2+ Ьх + с = а (х — х,) (х — Х+ |
50 |
Алгебра |
|
|
|
|
|
П р и м е р : Разложить на множители |
трехчлен |
Зх2 |
— |
|||
— 5х — 2. |
Находим корни данного |
трехчлена, |
т. |
е. |
||
Р е ш е н и е . |
||||||
корни квадратного уравнения |
Зх2 — 5х — 2 = 0: |
|
|
|||
_ 5 ± |
1/52+ 4 • 3 |
• 2, |
= 2, х2= — |
|
|
|
|
2 • 3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Представляем данный трехчлен в виде произведения:
Зх2 — 5х — 2 = 3 (х — 2) |
|
|
Теперь результат можно упростить: |
|
|
Зх2 — 5х — 2 = (х — 2) (Зх + 1 ). |
|
|
26. Комплексные числа |
|
|
а) Мнимые числа. Мнимым числом |
называется корень |
|
четной степени из отрицательного числа. |
Если взять |
|
отрицательное число — т, то У — т |
будет |
мнимое чи |
сло, которое можно представить так: |
|
|
У И п = У ( — 1)т = |
• V~in. |
|
Введем новое число: i = У — 1. Это число i назовем мнимой единицей. Числу i приписываем свойство, выра жаемое равенством: <2 = — 1. Теперь мнимое число
У— т представим так:
У— т = У — 1. У т = / У т ■
Действия над мнимыми числами производятся по тем же правилам, что и над числами вещественными.
Алгебра |
51 |
б) Степени числа г. При производстве действий над мнимыми числами приходится иметь* дело с различными степенями числа г. Находим эти степени:
г1 = г; р = — 1; г3 = |
г'2 • г = — <; |
г4 = д о _ ( _ 1) ( _ 1) = 1; |
|
|
|
,•5 = |
/ 4 + 1 = |
/; |
/0 |
= / 4 + 2 = |
г-2 = _ |
1; |
|
||||
|
|
|
г7 = г'41!-3 = |
г3 = |
— |
и т. д. |
|
|
|||||
Вообще, если |
показатель |
степени |
числа г есть |
целое |
|||||||||
число п, |
большее 4, |
то |
его |
можно |
представить |
так: |
|||||||
л = |
4k |
или |
же |
я = |
4k -)- р, |
где |
р |
может равняться |
|||||
1, 2, |
3 Если л = |
4й, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
in = |
г'4* = |
1. Если л = |
4А + |
р, |
то гя = |
ЛН-Р = |
iP. |
|||||
П р и м е р ы :
г'3б — |
/4 • 9 _ 1 ; /23 |
_ /4 |
• 5 + 3 = |
/ з = _ /■ |
(2г)4 = 16г'4 |
- 16; (2г)3 = |
8г3 = |
— 8г; |
(Зг) (5г) = — 15. |
в) Понятие о комплексных числах. Числа вида а 4 -Ы
называются комплексными. Такие числа могут получиться при решении квадратных уравнений. Возьмем в качестве примера уравнение:
х2 — 2х + 10 = 0.
Решаем это уравнение:
х = 1 ± / 1 — 1 0 = 1 ± Зг; * ! = 1 + Зг; х2 = 1 — Зг.
г) Алгебраическая форма комплексного числа. Комп лексное число вида a -f- Ы представляет алгебраическую форму комплексного числа. Число а называется веще ственной частью комплексного числа, а Ы — его мнимой
