Файл: Рвачев Л.А. Математика и семантика. Номинализм как интерпретация математики.pdf

столкнемся с В, то не сможем предполагать бессмысленное в интерпретации В (а).

Если теперь считать, что математические объекты абстра­ гировались от вещей, то прежде всего замечаем, что свойст­ ва, записанные в аксиомах для предикатов ху, х < у, х = у, х / у, х -> у и Q (х, у, z), являются общими для всех вещей. Однако эти свойства могут быть отброшены потому, что в формулах математики нет имен данных пяти предикатов. Далее, все вещи, на которых определены предикаты х(у1...,уп), обладают общими свойствами, записанными в аксиомах для этих предикатов. Однако, мы теперь не можем отбросить,

например, свойство (х)х(х), потому что предикаты х(у1...,уп) (как предикаты уп) £ х) употребляются в математи­ ческих формулах. Это свойство практически не используе- 1

тся и поэтому может игнорироваться, но разумеется, не в теории множеств. Аналогично, так как свойство некоторых предикатов, заключающееся в том, что они не могут быть объектами языка, возникает еще на уровне вещей (где это свойство очевидно), то должно быть очевидным, что ив дру­ гих интепретациях парадоксы (по крайней мере, рассмотрен­ ные) лишены парадоксальности — при условии, что принят тезис номинализма.

6. В заключение заметим, что номиналистическая ин

терпретация математики, чтобы наиболее приблизиться к принятому в настоящее время смыслу терминов, должна быть комбинированной — употреблять как приборы-пре­ дикаты, так и псевдофизические множества и приборы-функ­ ции. Действительно, современное изложение математики — теоретико-множественное, и поэтому нужно для множествабстракций ввести максимально много множеств-моделей среди вещей; по этой причине, а также в соответствии с при­ нятым смыслом терминов следует даже перейти к номинализ­ му точек. И обычно лишь тогда, когда множеств-моделей

77