Файл: Рвачев Л.А. Математика и семантика. Номинализм как интерпретация математики.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2024
Просмотров: 61
Скачиваний: 2
откуда средствами I выводятся формулы (4). Это значит, что система РР, о которой идет речь, по доказанному в и. 4 настоящей главы дедуктивно не слабее теории типов. Остается только установить, что можно надеяться на непро тиворечивость этой системы.
Предположение о непротиворечивости системы ТТ ос новано на том, что ТТ имеет интуитивную модель, которая не вызывает особых сомнений. Чтобы с такой же достовер ностью можно было говорить о непротиворечивости систе мы РР, достаточно доказать, что модель ТТ является мо
делью и для РР.
В п. 3 уже установлено, что аксиомы II и III истинны при интерпретации определений (At) для области а, ко торая и есть модель ТТ. Поэтому достаточно доказать истинность при упомянутой интерпретации для области а второй группы аксиом. Рассмотрим, как происходит один шаг перевода формул по правилам a) — d). Исходная формула А принадлежит, вообще говоря, смешанному языку, в ней заменяется, вообще говоря, часть В (являющаяся формулой) на В', а остальная часть не меняется; формула А', получен ная в результате, принадлежит, вообще говоря, смешанному языку. Замена В на В' происходит по правилам b)—d). Как уже указывалось, при этом истинность или ложность В и В' одинакова (при интерпретации смешанного языка для области а). Этот факт имеет место при каждом значе нии не указанных явно в b)—d) свободных переменных фор мул В, В', если такие переменные есть. Рассмотрим теперь два случая:
А совпадает с В (и, следовательно, А' с В'), т. е. заме няется вся формула. Поэтому если А истинно, то истинно
иА';
Весть часть А . В этом случае замена В на В' может про исходить лишь по правилам Ь) или с). Но в этих правилах
64
речь идет о таких В, В', наша оценка истинности которых служит оценке истинности А, А' (в отличие от правила d), где речь идет о таких формулах, которые, будучи частями формулы А, для оценки истинности А интерпретировались бы не так, как у нас, а как предикатные функции). Поэтому,
так как В и В' одновременно истинны или ложны, |
то если |
А истинно, то истинно и А'. |
|
Следовательно, в любом случае истинная формула А |
|
переходит в истинную формулу А'. |
__ |
Таким образом, учитывая, во-первых, что |
языки РР |
и ТТ суть частные случаи смешанного языка и, |
во-вторых, |
что аксиомы ТТ истинны для области а получим, что ак сиомы второй группы истинны для области а.
6. Системы РР отличаются от наивной теории множеств:
аксиомами III первой группы; равноправием (по крайней мере, в принципе) систем аксиом второй группы. Например,
если система РР содержит некоторую аксиому свертыва ния А, то имеется и такая система РР, где истинно А.
Первая особенность сужает, а вторая — расширяет воз можности наивной теории множеств. Эти две особенности представляются довольно произвольными, во всяком слу чае, не менее произвольными, чем существующие аксиома тические теории множеств. Кроме того, системы РР пред ставляют собой частный случай систем Бочвара, которые по существу, сформулированы в цикле работ, начиная с [11
(класс систем Бочвара шире, так как нет ограничений в виде аксиом III). По этим причинам формулировка систем РР сама по себе вряд ли представляет интерес.
Однако для целей семантики важно другое — системы
РР имеют, как мы увидим, непосредственную интерпрета
цию в псевдофизическом языке (в системах РР с прибора ми). Это подтверждает тезис номинализма для математики.
5 |
937 |
65 |
Кроме того, произвольность систем РР окажется мни мой, так как в приборной интерпретации аксиомы III ста нут истинными, а согласно гл. III связь между предикатами (чем, в сущности, являются элементы а) и приборами нель зя считать случайной.
Вот эта интерпретация.
7, Предикаты РР у £ х, (уъ у2) £ х и т. д. будем и терпретировать как предикаты х (у), х (у±, у2) и. д. псев
дофизического языка. Тогда формулы РР переходят в со ответствующие по написанию формулы псевдофизического языка. При этом аксиомы II переходят в следствия из схе мы аксиом X гл. III, а аксиомы III переходят в утверждение (26) из гл. III. Аксиомы второй группы интерпретируются как гипотезы о существовании и свойствах приборов. Та ким образом, область а интерпретируется как область ве щей, причем элементы а0 — как вещи, не являющиеся при
борами, а множества из а — как приборы.
Индивидуальные имена элементов а можно интерпре тировать двумя способами: 1) заменить индивидуальные
имена на соответствующие греческие буквы и рассматри вать их как индивидуальные имена вещей; тогда, если имена описаны в системе РР формулой С, то их описанием в язы ке РР явится формула С', полученная из С заменой преди
катов (г/j, |
..., |
г/л)с* на п р е д и к а т ы ..., уп): 2) пусть |
||
имена аъ |
..., |
ап описаны в системе РР формулой С(аъ .... |
||
...,ал). Перейдем от каждой формулы с |
именами |
А (а,,, ... |
||
..., alk) (cut, ..., |
aik взяты среди ах......ап) |
к следующей форму |
||
ле РР: |
|
С(аи .... an)ZDA(a{t, ..., aik). |
(11) |
|
|
|
Если А выводима из С, то формула (11) доказуема неза висимо от свойств ах, ..., ап, т. е. останется доказуемой, если
бв
из системы аксиом убрать формулу С. Поэтому доказуема
также формула РР:
C(xt....... xn) z эА ( х {„ ..., xih) |
( 12) |
Мы будем интерпретировать каждую формулу РР с именами,
которая имеет вид (11), |
как следующую формулу РР: |
|
С (xi, ..., |
xn)ZDA'(Xi, , .... .xiк), |
(13) |
где С' и Л' получены из С и Л уже описанной заменой эле ментарных предикатов. Очевидно, формула (13) есть интер претация в языке РР также для формулы (12). Поэтому, если формула (И) доказуема в системе РР, то формула (13) доказуема в РР — интерпретации этой системы РР.
Вопрос о совместности аксиом второй группы и аксиом гл. III для предикатов х (уи ..., уп) перекрывается более об щим вопросом: если даже эти аксиомы совместны, то значит
ли это, что мы |
имеем псевдофизическую |
интерпретацию |
|
для систем РР? |
|
|
|
Речь идет о |
следующем. Обязательные |
аксиомы |
РР |
в РР-интерпретации не противоречат принятым в гл. |
III |
аксиомам РР, потому что, как указано выше, следуют из
аксиом гл. III. Аксиомы второй группы Р Р в РР-интерпре тации не противоречат обязательным аксиомам по опреде
лению систем РР. Однако мы знаем, что в гл. II, III не полностью формализовано представление о вещах во обще и о приборах в частности. Пусть теперь мы доказали относительно некоторой системы аксиом, что это есть систе
ма РР и что эта система интерпретируется как система РР. Но если в будущем более тщательный анализ представле ния о приборах создаст дополнительные обязательные ак сиомы для приборов, то где гарантия, что эти дополнитель-
Б» |
67 |
ные аксиомы не будут противоречить интерпретации аксиом второй группы данной системы РР. В случае такого проти
воречия данная система РР, имея интерпретацию как си стема РР, не будет иметь псевдофизической, т. е. номинали стической интерпретации.
Это затруднение преодолевается на интуитивном уровне следующим образом.
Очевидно, что для каждой формулы псевдофизического языка, не содержащей иных индивидуальных предикатов, кроме х (t/i, ..., г/л), возможна обратная интерпретация —
как формулы языка РР. Таким образом, модель языка РР, о которой идет речь, это совокупность всех тех и только тех псевдофизических формул, которые построены только из предикатов х (г/ь ..., уп).
Постулируем тот факт, что эта модель не содержит до полнительных обязательных аксиом по отношению к ин терпретации аксиом II, III. Иначе говоря, пусть мы рас сматриваем интуитивное представление о приборах — ве щах и хотим записать те свойства приборов, которые могут быть выражены только с помощью предикатов Р Р х (у ъ ....
...,г/л) и логических средств. Тогда нам кажется очевидным,
что это интуитивное представление в самом общем виде может указать лишь на следующие обязательные свойства приборов:
(Еу\) ...(Еуп) х(у\, |
..., yn) z 2 x(zi, ..., 2m), п + т |
П |
|
П х(уи |
г/г- i, *, У1+и - , г/л), |
г=| |
|
а также, разумеется, на выводимые отсюда свойства. Этот постулат, собственно говоря, имеет такой характер, как и ак сиомы гл. II, III, и его можно было бы ввести в гл. III; одна ко там у нас не было причин отделять предикаты х (ylt ...,
68
• ,уп) от прочих предикатов псевдофизического языка. Уве ренность в этом постулате основана на том, что речь идет об обязательных аксиомах, общих для всех предикатов Q
и необходимости, т. е. о чисто умозрительном представлении
оприборах, которое потому и чисто умозрительно, что не принимает в расчет опытных данных (см. гл. I). Любые же опытные данные, полученные когда-либо в прошлом или будущем, по определению могут оказать влияние лишь на выбор аксиом второй группы.
Из этого постулата следует, что каждая непротиворечи
вая система РР действительно имеет модель в области вещей.
8. Для установления такой интерпретации, казалось бы,
достаточно иметь в псевдофизическом языке только преди каты х (уI , ..., уп) и аксиомы для них. Однако в настоящее
время не существует сколько-нибудь принятого понимания области вещей и однозначного употребления соответствую щих терминов. Поэтому, если просто сказать, что «предикат» интерпретируется как «прибор» (или ограничиться лишь аксиомами для предикатов х (г/х, _, у„)), то откуда мы узнаем о возможности номиналистического понимания приборов и вообще о возможности языка над областью вещей? Таким образом, нужно, чтобы понятие о приборах возникло само стоятельно в языке о вещах; а для описания приборов в этом языке (и вообще для создания языка) нам потребовались РР-предикаты ху, х < у, х = у и др. Это дает и некоторый эффект сверх ожидания — теоремы типа (х) х (х) (аксиома
III в языке РР), которых нет в языке с абстрактными объек тами.
9. В приборной интерпретации истинность математиче ских утверждений имеет двоякий характер;
1) если формула относится к аксиомам первой групп
или выводима из них, то она обладает истинностью, которую
69