Файл: Рвачев Л.А. Математика и семантика. Номинализм как интерпретация математики.pdf

данные характеризуют индивидуальность каждой ситуации. Разумеется, мы не в состоянии четко разграничить опыт­ ные и априорные данные или описать класс ситуаций; но на интуитивном уровне это и не нужно — достаточно убе­ диться, что о ситуациях можно говорить. Язык, объектами которого являются вещи в ситуациях, назовем псевдофизи­ ческим языком («псевдо» — потому, что кроме ситуаций, рассматриваемых в настоящее время как физические гипо­

тезы, этот язык описывает и любые другие ситуации). Удобно считать, что все ситуации представляют собой

равноправные возможности, а псевдофизический язык есть мозаика, состоящая из всевозможных гипотез о реальности. Эта мозаика скреплена модальными терминами и кванто­ рами, ее элементы описывают ситуации и взаимно исклю­ чают друг друга.

5. При любом выборе системы объектов молчаливо пре полагается, что можно много раз говорить об одном и том же объекте. Представление о подобном полном тождестве в случае системы вещей позволяет говорить, в частности, и о различных возможностях для одной и той же вещи (т. е. что одна и та же вещь могла бы иметь разных «соседей»

впространстве—времени). Например, мы называем «Земля

впрошлом веке» нечто в ситуации, где его продолжение (во времени) превратилось в Землю XX века; а в другой си­ туации продолжение этого же самого «нечто» испаряется, па­ дая на Солнце. Единственность этого «нечто» будем рассмат­ ривать как понятие тождества вещей в различных ситуаци­

ях — ситуации исключают'друг друга в целом, но они мо­ гут пересекаться; точнее, пересекаются элементы псевдо-’ физической мозаики в том смысле, что две гипотезы до опре­ деленного момента совпадают, дальше начинаются разно­ гласия.

10

Глава II

ПСЕВДОФИЗИЧЕСКИЙ ЯЗЫК

1. Будем строить псевдофизический язык как прикл ное исчисление предикатов, переменные которого изменяют­ ся на области всех вещей. Для обозначения индивидуумных переменных употребляются малые латинские ~буквы; других переменных, кроме индивидуумных, нет. В качестве инпивипуальных имен вещей употребляются малые гре­ ческие буквы; эти имена предельно единичны в том смысле, что переход к другой вещи или к другой ситуации всегда вызывает изменение имени.

В псевдофизический язык могут вводиться любые ин­ дивидуальные предикаты, определенные на области всех вещей. Некоторые из этих предикатов — простейшие — должны иметь специальные обозначения. Прочие предикаты образуются из простейших по обычным правилам образова­ ния формул. Правила образования используют обычные логические символы: конъюнкции А , дизъюнкции V , от: рицания , импликации гэ, эквивалентности ~ , кван­ торы вида (х) и (Ех), а также скобки. Поскольку преди­ катных переменных нет, то в случае надобности большие

12

латинские буквы будут употребляться для метаобозначения предикатов вне псевдофизического языка.

Истинные формулы получаются на основе классического исчисления предикатов первой ступени, заданного в виде схем аксиом (см. [5], стр. 77), к которому добавляются акси­ омы, определяющие простейшие предикаты; эти аксиомы вводятся по мере появления простейших предикатов. В замкнутых формулах внешние кванторы всеобщности часто будут опускаться.

Поскольку в каждый момент времени мы имеем дело с фиксированным числом имен простейших предикатов и ак­ сиом для них, то получаемую при этом часть псевдофизиче­ ского языка можно рассматривать как формальную систему. Будем обозначать ее через РР.

2. Для построения систем РР классическое исчисление предикатов выбрано не только из-за своей общепринятости. Например, у нас нет оснований отказываться, как от немыс­ лимой, от следующей ситуации, описанной в популярных работах по естествознанию: вселенная с бесконечностью уже существующих звезд или с бесконечностью сменяющих друг друга событий. Другой пример — для каждой вещи возмож­ но рассматривать ее собственные части и полагать, что это также суть вещи. Общим для этих примеров является вве­ дение вещей, которых бесконечно много в одной ситуации.

Таким образом, мы имеем повод среди элементов мозаики псевдофизического языка рассматривать и подвергать фор­ мализации также такие, которые содержат понятие реаль­ но существующей (актуальной) бесконечности.

3. В этой главе строится РР из пяти простейших пре­ дикатов, которые характерны именно для вещей в ситуациях. Вот эти предикаты (все они двухместные):

словесной формулировке;

13

2) предикат «вещь х совместна с вещью у» (обозначение

ху). Этот предикат определяется через предыдущий так:

х и у находятся в одной ситуации;

же ситуации;

б) х = у фиксирует упомянутый в главе I способ раз­ говора, когда ситуации пересекаются, т. е. речь идет два раза об одной и той же вещи, но вне ее рассматриваются, вообще говоря, разные возможности. Тогда х есть имя вещи в одной ситуации, а у — в другой.

Таким образом, не могут быть тождественными различ­ ные вещи в одной и той же ситуации; в случае необходи­ мости будет употребляться то или иное понятие равенства;

Эти аксиомы сопровождаются пояснениями их смысла или мотивировкой в терминах вещей.

I. ху ~ (и) (их ~ иу).

Это значит, что если х и у в одной ситуации (т. е. ху), то всякая третья вещь и находится либо в этой же ситуации

14

(тогда их и иу), либо не в этой (тогда их и иу). С другой сто­ роны, так как для всех вещей хх, то в формуле I импликация справа налево логически истинна.

Эквивалентность III, как импликация слева направо, означает, что если х = у, т. е. речь идет два раза об одной

итой же вещи, то речь может идти два раза также об одной

итой же части этой вещи, так что части х и у взаимно со­ ответствуют друг другу в смысле тождества. Но этот факт (так как тождество транзитивно) может быть записан так, что каждая вещь и либо одновременно тождественна частям

ха у, либо нетождественна им. Рассмотрим теперь смысл III как импликации справа налево. Так как для всех вещей

х = у, то получим, что х тождествен части у, не совпадающей с у, и далее, что х тождествен собственной части, не совпадающей с х, что противоречиво.

IV/ х = у Л х у \э [А (х) ~ А (у)].

Это схема аксиом при произвольных предикатах А. Аксиомы IV отмечают предельную единичность вещей в том смысле, что не существует предикатов, которые различали бы одну и ту же вещь в одной и той же ситуации.

15

лагается, что предикаты А (х) могут иметь, кроме х, и дру­ гие свободные переменные, отличные от переменных данной аксиомы. Предполагается, что эти свободные переменные связаны самыми внешними кванторами всеобщности данной аксиомы. Эти свободные переменные содержательно могут интерпретироваться как параметры в схеме аксиом.

W.^x = у Д ху^- (и) (и < х ~ и < у).

Аксиома V означает, что если у двух вещей совпадают все их части, то это равносильно тому, что речь идет об од­ ной и той же вещи в одной ситуации.

VI. (Ех) (х < у Д у < х).

Это значит, что каждая вещь у имеет протяженность.

VII. (Ех) А (х) А (х) (у) \А (х) А А (у) ZD ху\

ZD(Ez) [(и) \А(и) ZD и < г) А (и) 1« < г Z5

3) (Ev) (Ew) [1/ < ы А ц < пуД А (да)]]].

Это схема аксиом при произвольных предикатах А. Она означает, что если предикат А выполняется лишь на вещах одной ситуации, то существует вещь — объединение всех тех вещей, на которых выполняется А.

5« Определим трехместный предикат «2 есть объедине­

16