Файл: Применение методов статистического моделирования в автоматизированном химическом производстве..pdf

2)Выбор функции отклика

Вхимических процессах в качестве функции отклика мо­ гут быть приняты технические коэффициенты, которые опре­ деляют степень интенсивности ведения технологического про­

цесса: в каталитических процессах — выход целевого продук­ та на пропущенную и разложенную шихту, в диффузионных процессах — коэффициент извлечения, в процессах полимери­ зации (синтеза) — глубину конверсии.

3) Стабилизация всех основных факторов

Стабилизация факторов достигается в случае, если сбор информации осуществляется в условиях установившегося ре­ жима, то есть режима, не изменяющегося во времени.

В этом случае производная факторов по времени равна нулю. Практически это означает, что после внесения возмуще­ ний необходимо фиксировать замеры по основным факторам только после того, как на диаграммах появятся плавные пря­ мые.

После сбора информации о процессе из диаграмм необхо­ димо исключить те замеры, которые являются случайными. Последнее может быть вызвано неисправностью контрольно­ измерительных приборов.

Просматривая такие записи, можно еще до проведения де­ тального статистического анализа ориентировочно оценить скорость изменения фактора во времени, диапазон этих изме­ нений, или степень разброса фактора. Последнюю характери­ стику оценивают величиной дисперсии.

На практике проверка стабильности информации прово­ дится графически. По оси абсцисс откладывают время измене­ ния фактора, по оси ординат — значение фактора (см. фигу-

РУ)-

Строки, содержащие точки выброса, исключаются из ин­ формации.

10

4) Составление матрицы исходных данных

Матрица исходных данных составляется с учетом функции отклика и выбранных факторов. Строки матрицы представ­ ляют собой фиксированные замеры выбранных факторов, при­ чем первая строка матрицы совпадает с первым по времени замером, а последняя — с окончанием наблюдения.

5) Группировка исходных данных

Предварительно обработанная информация о процессе группируется по классу точности приборов.

Группировка проводится следующим образом. Первая строка матрицы исходных данных сравнивается со всеми по­ следующими строками, причем сравнение идет по столбцам в пределах ошибки прибора. Таким образом, в каждую группу входят лишь те строки, все столбцы которых лежат в преде­ лах: первая строка матрицы ± ошибка прибора. Пусть, на­ пример, имеется следующая информация о процессе (табл. 1):

11

Следуя описанной методике, получим группы (табл. 2 и 3):

Строки, не вошедшие ни в одну из этих групп, переносятся без изменения в таблицу исходных данных, туда же вносятся и средние значения образованных групп (табл. 4).

При группировании представляется возможным проверить гипотезу об адекватности представления процесса полученной математической модели по /"-критерию.

12

По описанной выше методике вся информация по иссле­ дуемому процессу дегидрирования этилбензола в стирол была сгруппирована в 25 групп. При этом в качестве влияющих факторов были взяты следующие 11 параметров (табл. 5):

хп Подача пара в испаритель

Вкачестве выходной функции отклика были выбраны вы­ ход стирола на разложенный этилбензол (у\) и выход на про­ пущенный этилбензол (г/г) -

Одним из эффективных методов определения линейной (или нелинейной) зависимости исследуемой величины от не­ скольких других является метод наименьших квадратов, кото­ рый заключается в следующем.

Рассмотрим зависимость между двумя величинами х и у (в целях упрощения мы будем определять линейную зависи­ мость величины у от одной величины х, хотя все рассуждения могут быть легко перенесены на многомерный случай, а зави­ симость может носить, например, квадратичный характер). В нашем распоряжении имеется таблица N результатов измере­ ний значений величины х и соответствующих значений у.

Будем рассматривать х и у как прямоугольные координа­ ты точек на плоскости. Предположим, что точки с соответству­ ющими координатами, взятыми из нашей таблицы, лежат на некоторой прямой линии. Естественно в этом случае предпо-

13

дожить, что между х и у существует линейная зависимость, то есть что у есть линейная функция от х, выражающаяся фор­ мулой

Формула (1) может быть представлена в следующем виде:

Разумеется, наша гипотеза о строго линейной зависимости между величинами у и х носит приближенный характер: на самом деле, данные, приведенные в таблице, имеют лишь тен­ денцию группироваться около некоторой прямой линии.

Следовательно, подставляя в формулу (2) вместо х и у табличные значения Х\У\, х2у2, ■■■, xn Ух, получим систему ра­ венств:

— отличные от нуля погрешности.

Требуется подобрать коэффициенты а и b таким образом, чтобы сумма квадратов погрешностей была минимальной, то

измерения, а коэффициенты а и b — неизвестные, подлежащие определению.

Таким образом, и можно рассматривать как функцию от двух переменных а и ft.

Подберем коэффициент а и ft так, чтобы и была минималь­

14

Берем частные производные и, разделив их на 2, получим

(ахх + b — у 1)х1+ (ах2+ b - y 2) x 2+ ...+(axN+ b — yN) x N= 0;

(ах1+ Ь — У1) + (ах2+ b — у2) + + (ахм ^ — Уы) ~ 0-

Производя несложные преобразования, окончательно по­ лучаем систему уравнений

i == 1 i = 1 /

Решая систему (9), находим коэффициенты а и Ь. Мы при­ вели лишь самый элементарный, хотя и весьма часто встре­ чающийся случай применения метода наименьших квадратов. В общем случае имеются результаты N независимых опытов,

полученную на опыте зависимость. Метод наименьших квад­ ратов основан на требовании обращения в минимум квадра­

J=1

х пи), аь ...,а5)]2должна быть сведена к минимуму. Здесь х ^ —

значение k-то фактора в /-м наблюдении, a y(i) — значение функции влияния факторов также в /-м наблюдении. Величи­ на aj, . . ., as, при которой достигается минимизация величи­ ны и, определяется из системы s уравнений:

Метод наименьших квадратов описан в ряде руководств по обработке наблюдений и математической статистике, напри­ мер в работе [5], и является весьма распространенным. Его основным недостатком является трудность отбора наиболее значимых факторов (существенно влияющих на выходное значение у). Действительно, если известно, что на величину у оказывают совокупное влияние п факторов х и . . . , х п, пред­ ставляет большой интерес не только построение математиче­ ской модели зависимости у = ц>(хи . . .,хп), но и оценка степени значимости каждого из факторов в отдельности. Заметим, что

15