Файл: Применение методов статистического моделирования в автоматизированном химическом производстве..pdf

отбор факторов предшествует построению математической мо­ дели зависимости. Сначала исследователь должен выделить, пользуясь методами математической статистики, наиболее влияющие на выходное значение процесса факторы, а затем построить математическую модель зависимости выходного значения у от у^ке отобранных факторов. В работе [6] описана модификация метода наименьших квадратов, позволяющая со­ четать отбор факторов с построением математической модели, которая приводится ниже.

Изложим еще одну распространенную за рубежом модель оценки зависимостей, так называемую модель Брандона, пос­ ле чего перейдем к разработанному способу отбора факторов.

Трудность стабилизации параметров, невозможность точ­ ного замера некоторых из них и ряд других обстоятельств, за­ висящих от производственных условий, проведения экспери­ мента, заставляют отказаться от обычной практики нахожде­ ния зависимостей и искать другой, более приемлемый метод их определения.

В зарубежной литературе [7, 8] излагается метод множест­ венной нелинейной корреляции. Ставится задача определить зависимость одного основного параметра системы от других параметров (хь х2, х3, ..., х п), то есть найти функцию

у — F (хх, х 2, х 3,...,хп).

Предполагается, что функция F является произведением некоторых функций отдельных параметров

причем каждая из / г (х() принимается для простоты расчета линейной

f l (xi) = al + bl x t.

Возможно использование и более сложной, нелинейной за­ висимости. Таким образом, задача сводится к определению коэффициентов ah bt \iK (i= 1, 2,. . ., п).

Исходными данными для такого расчета служит таблица экспериментальных данных, как и в методе наименьших квад­ ратов. Расчет начинается с построения графика зависимости у от X]. На этом графике получается корреляционное поле точек, из которых методом средних или методом наименьших квадратов [7] выявляется наибрлее вероятная линия репрес­ сии

hЫ = а1+ ь1 х х

иопределяются коэффициенты а\ и Ь\. После этого рассчи­ тываются значения нового приведенного параметра

16

и строится график зависимости у\ от хг, по которому опреде­ ляется уравнение линии репрессии /2(^2)- Затем рассчитыва­ ются значения следующего приведенного параметра:

/з ( х 2)

и по графику зависимости г/г от Хз находится уравнение линии репрессии /3(*з). Такой расчет продолжается до тех пор, пока не будут определены все функции /г (xj) и коэффициент К.

Недостатки модели Брандона — трудность определения остаточной дисперсии погрешности оценки с помощью функ­ ции y = F ( x и, как следствие, невозможность прове­ дения отбора значимых факторов.

Переходим к описанию метода отбора значимых факторов и построения математической модели на основе данных отбо­ ра. Математические основы этого метода изложены в работах

[6], [И].

Одной из важных задач расчета динамики производствен­ ного процесса является проблема оптимизации производствен­ ного процесса— установления комбинации значений, влияю­ щих на процесс факторов, которые оптимизируют значение выходной функции процесса. Будем считать, что, помимо пе­ ременных технологических параметров, на значение функции процесса оказывает влияние большое количество не поддаю­ щихся учету случайных факторов.

Примем следующую математическую запись исследуемого технологического процесса:

(а, а2), причем параметры А можно без ограниче­ ния общности свести к (0, а2).

Пусть имеется таблица N наблюдений исследуемого техно­ логического процесса:

W {1) х 1(1)...х „ (1)

W (N)x<N)...xn{N)

Здесь нижний индекс означает номер параметра, а верх­ ний— номер наблюдения. Обозначив //-мерный вектор W

значком W, а //-мерные векторы наблюдений параметров

x L— через x h имеем:

Здесь (а, Ь) — скалярное произведение векторов а и Ь. Отсюда можно определить параметры случайной величи­

ны А/:

18

Таким образом, оценивая изменения дисперсии о2 от /= 1 до }= п, можно отобрать все значимые параметры xt.

Предлагаемая методика отбора параметров хг проста в применении и выгодно отличается от способа отбора парамет­ ров при обычном методе наименьших квадратов тем, что нуж­

но только один раз ортогонализировать систему векторов х/, а не обращать п раз матрицу соответственно для 1, 2 параметров. Вычислительные формулы существенно упроща­ ются и легко программируются на ЭВМ.

После получения коэффициентов A t переход к итоговым осуществляется по формуле

В исследуемом примере процесса дегидрирования этил­ бензола в стирол на основании F-анализа ряда остаточных

в качестве фактора была выбрана активность катализатора — величина, обратная параметру).

В табл. 6 приведены данные измерений по группам для уже отобранных факторов (здесь х9 — активность катализа­ тора, остальные факторы взяты на основании отбора).

Отбор наиболее влияющих факторов может быть также приведен на основе анализа индексов корреляции. Заметим, однако, что статистический анализ в этом случае становится весьма трудоемким. Индекс корреляции представляет собой отношение среднеквадратичных отклонений

20