Файл: Борисенко И.Ф. Основные сведения из теории исследования операций курс лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2024
Просмотров: 24
Скачиваний: 0
- 10 -
кагорами независимо друг от друга. Какова вероятность захва та самолёта всеим тремя радиолокаторами,если первый из них захватывает цель с вероятностью 0 , 8 $ второй - с вероятностью
0 ,6 |
и трети! - с вероятностью 0 ,5 . |
|
|
Решение. Обозначим» В - захват цеди тремя |
радиолокатора |
ми, |
Aj - захват цехи первым радиолокатором, Ag |
" захват цели |
вторым радиолокатором |
и А3 - |
захват цели третьим радиолока |
|||
тором. Дано, что Aj, Ag и kr, |
- независимые |
события и что |
|||
P(Aj) -0,8} PCAg) - 0 ,6 } |
P U 3) - 0 ,5 . |
Так |
как B -A j.A ^ ftj, |
||
то P(B)*P(Aj . А2А3) - |
P(Aj ).P(A2 )«P(A3 ) |
- |
|
||
— 0 ,8 . |
0 ,6 |
. 0 ,5 — 0,24 |
, |
|
|
т .е . примерно в 24-х поисках цели из 100 все три радиолока
тора обнарулат цель.
ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ,
С увеличением числа событий или числа испытаний, в который может появиться интересующее нас событие, применение правил сложения я умножения вероятностей становится очень громоздким.
Применение формулы Бернулли упрощает вычисления.
Формула Бернулли позволяет получить ответ на вопрос:како-
ва вероятность того,что при повторении Л независимых испы таний некоторое событие А наступает равно т , раз, если в каж
дом из этих испытаний данное событие наступает с постоянной вероятностью Р(А)=-Р.
Если обозначить искомую вероятность через Рщ ,то формула Бернулли будет иметь вид»
|
|
Р = С ? р т |
|
(1 > |
|
у-n/W ^ |
сочетаний |
из |
п элементов по п г |
||
где С /| |
- |
число |
|||
Г т |
л / |
т° г^ |
^ |
(I) |
примет вид: |
С н =nt |
|
формула |
|||
- 11
Рп = Щ п ^ T P m- « - P ) n-m |
00 |
Пример I . Производится испытание на срабатывание пяти взрывателей одной партии изготовления. Вероятность отказа одного взрывателя равна 0 ,2 . Какова вероятность, когда при испытании откажут ровно два взрывателя?
Решение. По условии /1 =» 5, т = 2, Р = 0,2
Найти Р2 .
'По формуле Бернулли получаем:
Это значит, |
что при 100 |
испытаниях партий взрывателей |
в 5 штук примерно |
в 21 случае |
откажут два взрывателя. |
Пример 2 . По одной и той же стартовой позиции против ника производится пуск пяти ракет, причём
вероятность попадания в цель одной ракетой равна 0,8.Тогда вероятность промаха всеми ракетами (/71*0),а также вероят иость попадания одной, двумя ракетами и т .д . будут иметь следующие значения:
Р0 |
5 ! |
" UT5T" |
|
h |
5 ! |
" ТТЧГ |
|
Р2 |
5 ! |
“ 27ТГ |
5 !
РЭ = ЗТТ Г ~
5!
*4 - ТПГГ
5'
ъ= 5TDT
|
• |
О 00 о |
( |
I - |
0, 8)5 -= 0,0003 |
|
||||
. |
0,8 |
(I |
- |
0, 8)** * 4. 0 |
, 2** ■■0,0064 |
||||
|
• |
О со го |
(I |
- |
0, 8)3 * 1 . 2. 172'.'Т ~ . |
0,64 |
||||
|
|
|
|
|
|
1. 2 |
. 3? |
4 |
|
. |
0,008 |
= 6,4 |
. |
0,1008 * |
0,05 |
|
|||
|
• |
о со |
. |
( 1- 0, 8)2 - |
5,02 |
. |
0, 04 =| |
0,201 |
||
. 0, 8** . |
( 1- 0, 8) |
« |
5 . 0,41 |
. 0,2 - |
0,41 |
||||
. 0, 85 |
(—1 1 СО ч=/ О |
= |
0, 33. |
|
|
||||
12 -
|
Запишем результаты в виде таблицы: |
|
|
|
|||
|
0 |
I |
2 |
3 |
' |
4 |
5 |
р |
0,0003 |
0,0064 |
0,05 |
0 ,2 0 1 |
|
0,41 |
0,33 |
В рассмотренном примере получилось,что вероятность про
маха всеми ракетами значительно меньше вероятности попадания в-цель всеми ракетами. Вероятность попадания четырьмя ракетами имеет наибольшее значение.
ФОРМУЛА МУАВРА - ЛАПЛАСА
При больших значениях * f l ” формула Бернулли приводит к
громоздким вычислениям. Поэтому в этих случаях целесообразно пользоваться формулой Муавра-Лапласа;
_
</Т! |
|
|
(3)’ где |
|
|
Р -~ J n p n - р ' |
|
|
|
||
у _ |
ГП-ГЬр |
|
|
|
|
|
уггр(РР) |
|
|
|
|
Пример .Производится 100 независимых испытаний. Вероятность |
|||||
наступления события А при |
одном испытании равна 0 ,1 . |
|
|||
Определить вероятность |
того, что событие |
наступит |
ровно |
||
5 раз. |
|
|
|
|
|
Решение. |
f t p |
= 100 . |
= 10; |
|
|
Чпра-Р) = |
^00 0^-0,9 = 3, |
ЭС = |
/ / ? |
||
|
|
= о ; о з з |
|
|
|
Числитель в формуле (3 ) можно |
вычислять |
по специальным |
|||
таблицам. |
|
|
|
|
|
Чтобы подсчитать вероятность |
того,что |
число появлений |
|||
события будет более "а", |
но не менее "в ", используют |
инте- |
|||
- 13 -
тральную формулу Муавра-Лапласа, которая записывается в виде
о о .
i - * } .
Интеграл f С aC(QC. не берётся в элементарных функ
циях. Что<& вычислить его, нухно подынтегральную функцию раз ложить в ряд Маклореяа. Можно также воспользоваться для этого специальной таблицей.
*АНАЛИЗ ТАКТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ
Методы исследования операций дали ряд ценных результатов в области анализа тактических действий, В ходе второй миро вой войны возникло много новых вопросов,связанных с новыми тактическими приёмами со стороны противника,для которых нужно найти решение. Немедленный ответ,разумеется, должны были най
ти войска,столкнувшиеся сами с этими вопросами в бою,однако ча сто оказывалось, что подобные непосредственные решения можно было бы улучшить после дальнейшего изучения.
Как только составлено общее представление о |
ходе операции |
и выработана приближенная мера её эффективности, |
становится |
возможным подвергнуть операцию теоретическому анализу.
Чтобы проанализировать ту или иную ситуацию, необходимо предварительно оценить числами ожидаемый результат каждого со четания способа действий одной стороны со способом действий противника. Рассмотрим пример.
Предположим, что в распоряжении одной из сторон имеется три способа действий. Если на любой из этих способов действий противник будет отвечать шаблонно,то, подсчитав критерии эф фективности для каждого способа действий и сравнив их между собой,можно сказать,какой из способов более выгоден.
Так,например, если противник построит действия своей группировки войск ПВО одним определённым образом,а налёт может быть осуществлен тремя различными способами,то,очевид но, лучшим способом налёта будет тот, который обеспечит наи-
- 14 -
большую вероятность достижения цели.
гПусть вероятности достижения цели для каждого способа
ЯОлйта соответственно равны 0,5 } 0,6} 0 ,4 . |
|
||||
Способы |
! |
Вероятность достижения |
цели |
||
налёта |
! |
||||
|
— |
|
|||
I |
! |
|
|
||
|
0,6 |
|
|||
П |
! |
|
|
||
ш |
i |
|
0,4 |
|
|
|
I |
|
|
|
|
Лучшим способов является |
второй, поскольку он обеспе |
||||
чивает наибольшую вероятность |
достижения цели |
(60$). |
|||
Однако может оказаться,что противник подготовит нес колько вариантов отражения налёта и мы не будем знать,ка
кой именно вариант он на этот раз применит. Как принято
говорить в таких случаях,будет отсутствовать полная и до стоверная информация о противнике. Действия противника трудно предугадать,но надо иметь в виду, что он в выборе своих действий тоже не свободен. Поэтому можно предположить,что действия его группировки построены по какому-то варианту из ограниченного их числа.
Допустимом в равной степени можно ожидать какого-
либо одного из трёх вариантов.
Как найти лучшее решение, когда обстановка (в данном случае вариант действия противника) содержит заранее неиз вестные нам условия?
В одном случае может оказаться лучшим первый способ налёта, в другом - второй, в третьем - третий.
В этой ситуации можно предложить вполне определённое решение,метод нахождения которого состоит в следующем.
Перечислив все существенные способы налёта и сущест-
