Файл: Шумоподобные сигналы в системах передачи информации..pdf

Рассмотрим, за счет чего происходит сокращение времени поиска по сравнению с простейшим последовательным поиском (см. § 5.4). При последовательном поиске во время просмотра каждого дискрет­ ного значения задержки копится полностью весь сигнал. При двухэтапном поиске весь сигнал копится только при проверке тех значений задержки, при которых произошло превышение порога на первом этапе. Случаи, когда решение на первом этапе было принято ошибочно и проверка не подтвердила его, происходят редко и, следовательно, приводят в среднем к небольшим потерям времени. Все остальные возможные значения задержки обследуются только на первом этапе, где обнаружение осуществляется с помощью согласованного с сег­ ментом фильтра, т. е. довольно быстро.

Проанализируем работу рассматриваемой схемы. Так как поиск ведется до того момента, пока не произойдет обнаружение и на первом

зависеть от уровня порога на первом этапе. Если порог будет «высоким», то до правильного обнаружения выделенного сегмента может произой­ ти большое число пропусков. Если порог будет «низким», то произойдет большое количество ложных превышений порога, каждое из которых повлечет за собой проверку и, следовательно, потерю времени. И в том, и в другом случае среднее время поиска получится большим. Су­ ществует оптимальное значение порога, при котором достигается минимум среднего времени поиска. Среднее время будет также зави­ сеть от базы сегмента, базы сигнала и его энергии, плотности мощности помех. Для оценки качества системы ускоренного поиска важно знать,

5.5.2. Среднее время поиска

Для упрощения анализа будем полагать, что решения, принимае­ мые при обследовании соседних задержек, являются независимыми, проверка по всему сигналу является практически безошибочной и база сегмента Ъ достаточно велика, чтобы в первом приближении считать сегмент и всю последовательность квазиортогональными. Вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги на первом этапе (после приема одного сегмента) будем обозначать через Р (Гс /с) и Р (Гс /0).

Эти вероятности зависят от отношения энергии сегмента сигнала к плотности мощности шума, т. е. от базы сегмента Ь, и от отношения мощности сигнала к плотности мощности шума, а также от уровня

порога Пх .

Весь интервал неопределенности по задержке разобьем на эле­ ментарные дискретные интервалы AT = Тэ = Ts /Bs. При соответст­ вующих моментам окончания сегментов, с которыми согласован фильтр, значениях задержки сигнал может быть правильно обнаружен. Будем называть эти значения задержки «сигнальными». При других задержках сигнал не может быть правильно обнаружен, так как при

172

их обследовании отклик фильтра определяется действием шума и бо­ ковых выбросов функции взаимной корреляции сегмента и сигнала.

мент. Как уже указывалось, поиск может окончиться только при «сигнальном» значении задержки. Поэтому, если будет известно, сколь­ ко в среднем сигнальных значений задержки будет просмотрено ( и про­ пущено) до окончания поиска и сколько в среднем проверок будет сделано при ложных обнаружениях на первом этапе перед просмотром каждой сигнальной задержки, то можно будет определить среднее время поиска.

Число «шумовых» значений задержки, которое должно быть про­ смотрено перед первой обследуемой сигнальной задержкой, будет случайным, так как поиск начинается в случайный момент времени. В среднем число таких значений задержки будет равно приблизитель­ но BJ2, а среднее время, затрачиваемое на них, равно TJ2. Так как при каждой шумовой задержке ложное превышение порога может про­ изойти с вероятностью Р (Гс /0), а каждое ложное обнаружение вле­ чет за собой проверку, то среднее число проверок до первой просматри­ ваемой (обследуемой) сигнальной задержки будет равно 0,5BSP (Гс /0). Среднее время, затрачиваемое на проверки, будет равно 0,5Б8 Р (ГС /0)7Ѵ

ных значениях задержки будет определяться действием помех и боко­ вых выбросов функции взаимной корреляции сегмента и сигнала. При этом могут быть ложные обнаружения, на проверку которых будет затрачиваться время. Очевидно, что среднее время, затрачиваемое на эти процедуры (в случае, если пропуск имел место), будет состоять из времени Ts (до следующего момента «заполнения» фильтра сегмен­ том) и дополнительного времени на проверки, среднее значение кото­

в том случае, когда'пропущен один сегмент. Для того чтобы определить общие^затраты времени за счет пропусков, нужно найти среднее число пропущенных сегментов. Вероятность того, что первый сегмент будет пропущен, а поиск закончится при приеме второго, равна

[1 - Р (Гс /с)]Р (Гс /с).

173

Вероятность того, что будут пропущены и первый и второй сег­ менты, а поиск закончится при приеме третьего, равна

[ 1 - Р ( Г с / с ) Р Р (Гс /с)

и т. д. Вообще, вероятность пропуска і сегментов до окончания поиска (правильного приема сегмента) равна [1 — Р (Гс /с)Р Р (Гс /с). Если учесть всю последовательность пропусков, то для среднего числа сегментов, пропущенных до окончания поиска, получим величину

[\ІР (Гс /с) — 1].

Поэтому общие затраты времени за счет пропусков будут равны

Необходимо также учесть, что при просмотре последней обследо­ ванной сигнальной задержки производится последняя проверка, кото­ рой поиск заканчивается. Поэтому среднее время поиска будет равно

Р ( Г с / с )

Для иллюстрации процедуры поиска рассмотрим случайную реали" зацию процедуры двухэтапного поиска, изображенную на рис. 5.5.2-

поиска для случая, когда произошло ложное обнаружение при обсле­ довании задержки, соответствующей третьему временному интервалу 3, и началась проверка. В этот интервал времени, согласованный с сег­ ментом, фильтр был выключен. Проверка показала, что обнаружение было ложным и с задержки, соответствующей 14-му интервалу (14), поиск продолжался с включенным фильтром. Переход к 14-му интер­ валу времени после проверки обусловлен тем, что сигнал условно принят состоящим из 10 элементов (пгЪ3 = 10) и занимает 10 дис­ кретных интервалов времени. Как видно из рисунка, возможность обнаружения сегмента в момент 6 была упущена из-за проверки, а при обследовании сигнальной задержки 16 из-за действия помех отклик

174

не достиг порога и сегмент был пропущен. Поэтому поиск не закончил­ ся, а было начато обследование следующих задержек. При обследо­

26 произошло правильное превышение порога и после последней про­

и заданной базе сегмента Ь зависят от уровня порога П ь Можно выбрать величину порога таким образом, чтобы среднее время поиска при задан-

5 пер поел (t)

для практики случай приема сигнала со случайной фазой на фоне белого нормального шума. Найдем зависимость среднего времени поиска от порога Пг [или, что более наглядно, зависимость от Р (Гс /0)].

При заданных Es/Nn, Ъ3 и b можно найти отношение EJNn, где Е0 — энергия сегмента, и, воспользовавшись выражениями, приведен­

(т. е. среднего времени поиска в оптимальной системе) от различных параметров системы. На рис. 5.5.4 приведена зависимость минималь­

175

шений Es/Nn. В расчетах длительность проверки во всех случаях выбиралась такой, чтобы при вероятности ложной тревоги, равной Ю - 9 , вероятность правильного обнаружения была не меньше 0,999.

Рис. 5.5.4.

Из рисунка видно, что при малой базе сегмента небольшое ее увели­ чение приводит к резкому уменьшению среднего времени поиска. Из рисунка также видно, что при часто встречающихся параметрах системы и использовании базы Ъ, позволяющей создать для сегмента

176

согласованный фильтр, рассматриваемый метод позволяет получить существенный выигрыш по сравнению с последовательным, «пошаго­ вым», поиском (в десятки раз), для которого среднее время равно т1 (Ти) ^ hsTJ2; при этом сложность аппаратуры возрастает не­ намного. Таким образом, двухэтапный поиск с использованием со­ гласованного фильтра имеет явное преимущество по сравнению с по­ следовательным в части времени поиска и по сравнению с многоканаль­ ными беспоисковыми схемами в части значительного упрощения аппа­ ратуры.

5.5.3. Функция распределения

и дисперсия времени поиска

Время поиска во многих случаях будет намного превышать сред­ нее значение. Причины этого следующие. Могут наблюдаться случаи, когда ложные обнаружения повторятся в нескольких интервалах времени, предшествующих приему сегмента фильтром, и при их про­ верке будут пропущены моменты, когда сегмент дает выброс на выходе согласованного с ним фильтра, а затем произойдет пропуск и снова несколько ложных обнаружений. Очевидно, что время поиска при этом во много раз превысит Ts. Получение точных выражений для функции распределения случайного времени поиска (или хотя бы для дисперсии этого времени) связано со значительными математическими трудностями.

Однако для получения первого приближения можно воспользо­ ваться следующими соображениями. Из теории массового обслуживания известно, что если при выполнении той или иной операции используют­ ся «пробы» и отыскивается через эти «пробы» и их «проверку» правиль­ ное решение, то случайное время, затрачиваемое на операцию, обыч­ но имеет распределение, близкое к экспоненциальному, при разных законах распределения времени «проб» и «проверок». Экспоненци­ альное распределение полностью описывается одним параметром: средним значением, которому равно и среднеквадратичное отклонение. Классическим примером такого рода является поиск неисправностей в радиоаппаратуре. Очевидно, что при двухэтапном поиске также вы­ полняется множество проб, которые затем проверяются. Поэтому сле­ дует ожидать, что время поиска будет иметь распределение, близкое к экспоненциальному. В случае дискретного времени аналогом экспо­ ненциального будет геометрическое распределение. Некоторым обос­ нованием этого утверждения могут служить следующие рассуждения. Поиск может закончиться только при тех условиях, что в момент при­ хода на вход системы очередного сегмента, во-первых, открыт согла­ сованный фильтр и, во-вторых, с вероятностью Р (Гс /с) произойдет правильное обнаружение сегмента. Эти события являются независи­ мыми, поэтому вероятность окончания поиска при попадании на вход системы очередного /-го сегмента равна PCBjP (Гс /с), где Р С В 7 - — вероятность того, что в момент прихода / сегмента система «свободна»

177