Файл: Шляпоберский В.И. Основы техники передачи дискретных сообщений.pdf

Скачать файл (18,35Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 166

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Г Л А В А В Т О Р А Я

Основы теории построения и реализации переключательных цепей

§ 2 . 1 . Э Л Е М Е Н Т Ы А Л Г Е Б Р Ы ЛОГИКИ

Современные дискретные системы связи часто содер жат весьма сложные преобразующие устройства, в кото рых выходной сигнал является функцией ряда одновре


менно приложенных входных						сигналов (рис. 2.1).					При
этом как входные, так и выходные								сигналы могут			при
нимать только два значения: 0 или								1. В	качестве		сит-
палов, обозначаемых 0 и 1, могут быть: 0^>—£;										1->-+£
или 0-»-£ = 0;		1-»-£ (любой полярности). Задача								построе
			ния	подобных			преобразующих				уст-
т> хг	лт	.. ройств			сводится		к	отысканию		таких
			схемных решений,					которые обеспечили
			бы требуемые преобразования							при ми
Преобразующее			нимальном			числе		используемых			эле
устройство			ментов. При двух-трех						входных		пере
			менных		нахождение оптимального ре
			шения не представляет трудностей, од
.	У		нако по мере увеличения числа								вход-
			ных	сигналов			задача		резко	услож-
Рис. 2.1. Преобра-			няется.

зующее устройство Предположим, что число входных

двоичных переменных равно Хт (рис. 2.1). Тогда Am—число возможных комбинаций значе ний т двоичных переменных — равно: Ат = 2т. Логичес кая (или переключательная) функция У для т перемен ных

Y = j(Xlt Х2, Х3, • • -Хт)

(2.1)

определяется совокупностью ее значений для каждой комбинации значений т переменных. Так как число со-

стоянии при in переменных	равно А,п,	то максимальное
число возможных функций (2.1)
Ау =	2А,п = 2*"'.	( 2 . 2 )
Функция (2.1) может быть задана		в аналитической

или табличной форме. Ее можно определять не для всех возможных состояний аргументов. Несмотря на свою сложность (при большем числе входных сигналов), ана лиз и преобразование переключательных функций упро щают задачу синтезирования искомого преобразующего устройства.


Переключательная			функция математически			описы
вает	логические связи		между	выходными и	входными
двоичными		сигналами,	т. е. оперирует двоичными			пере
менными, поэтому ее анализ				и преобразование	подчине
ны законам		алгебры	логики.	Отличительной	особенно
стью	алгебры логики, или, как ее часто называют, буле
вой	а л г е б р ы 1 ) , является то, что она оперирует					только

двумя понятиями (числами) — истинно (1) и ложно (0). Следовательно, логические переменные могут принимать только значения единицы и нуля. В основе алгебры логи ки лежат следующие основные операции.

Логическое сложение (дизъюнкция) переменных Xi и Х2 — операция, при которой результат сложения У будет


равен 1, если	хотя бы одна		из переменных	равнялась 1.
Обозначается	логическое сложение знаком			« + » (плюс).
Схемы, реализующие		операцию логического сложения,
называются схемами		сборки	или схемами ИЛИ.

Функция логического сложения двух переменных Y— = Xi + X2 может быть представлена в виде табл. 2.1. Ана логично записывается функция ИЛ И для т переменных:

			т
		У = Хг+Х2+	• • •+ Хт= £	Х{.	(2.3)
			i = i
Логическое		умножение	(конъюнкция)	переменных Xi
и Х2	— операция, при которой результат			будет	равен 1
тогда	и только тогда, когда обе переменные равны 1 од

новременно. Обозначается логическое умножение так же, капе и обычное умножение, точкой или &. Схемы, реали-

') Д ж. Б у л ь (1815—1864 гг.) — английский	математик, осно
воположник алгебры логики.
2—156	33

Зующие

операцию

логического

умножения,

называются

схемами

совпадения

или схемами

И.

Функция

логического умножения

двух

переменных

У = Х[Х2

описывается

табл. 2.2. Аналогично записывается

функция И для т переменных:

(2.4)

i = i

Логическое

отрицание

(инверсия)

—

операция, в ре^

зультате которой значение входной переменной X инвер

тируется

(меняется

на

противоположное). Функция

ло

Т А Б Л И Ц А

2.1

Т А Б Л И Ц А

2.2

гического

отрицания

Y—X

читается

«не

х.

икс».

Схемы,

реали

зующие

операцию

логического

отрица

ния, называются

схе

мами

НЕ

или

инвер

торами.

Операции

логиче

ского

сложения,

ум

ножения

и инверсии

(отрицания)

явля

ются

основными, так

как реализующие

их схемы

позво

ляют построить сколь угодно сложное двоичное пере

ключающее	устройство.
Рассматриваемые ниже операции являются (производ
ными от этих основных.		Две	функции — Y — f i ( X i j Х2,
Х3;...; Xm) «	Y2=\f2(Xi; Х2;	Х3;...;	Хт) — называются рав
носильными	(эквивалентными), если они принимают рав

ные друг другу значения для каждой комбинации значе ний переменных. Равносильность обозначается знаком равенства: Yi = Y2.

Над переключательными функциями, построенными на основании использования основных логических опера ций, можно производить различные преобразования со гласно основным законам алгебры логики, которые запи сываются для операций логического сложения и умноже ния следующим образом:

переместительный закон:
Хг + Хг = Хъ+Хи	(2.5)
Х\Х2 = ХоХх,	(2.6)


сочетательный	закон:
(Х х -\|- Х 2 ) -\|- Х3			= Xi + ( Х 2			+ Х 3 ) ,		(2.7)
( Х 1 Х 2 ) Х 3			=	Х 1 ( Х 2 Х Я ) ;				(2.8)
распределительный		закон:
ХгХ\	- j -	ХхХ 3 -		X i ( Х а +			Х 8 ) ,	(2.9)
Х х + Х 2 Х 3		= (Хх -\|- Х 2 ) (Х х				+	Х 3 ) ;	(2.10)
закон .инверсии	(отрицания):
	Хх + Х 2 =			X i X 2	,			(2.11)
	Х 7 Х 2 = Х х			+ Х2	".			(2.12)

В алгебре логики [выражения (2.5) — (2.9)] вынесение отдельных членов за скобки, раскрытие скобок, сложе ние и умножение многочленов можно производить по правилам, применяемым для обычных алгебраических выражений. Законы (2.10) — (2.12) являются специфиче скими для алгебры логики.

Смысл закона инверсии состоит в том, что инверсия логического сложения равносильна логическому произ ведению инверсий отдельных переменных, а инверсия логического произведения (равносильна логической сумме инверсий отдельных переменных. Справедливость распре делительного закона для умножения « закона инверсии может быть проверена при помощи таблиц истинности, т. е. таблиц информационных значений переменных. Так, табл. 2.3 иллюстрирует справедливость распределитель-

							Т А Б Л И Ц А 2.3
А',	х2	хй		х,+хг		Xi-{-Xax3	(Х,+Х,) (X,+Xs)
1	1	1	1				1
1	1	0	0	J		1	1
1	1	0	0	J			1
1	0	1	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	1	0	0	0
0	0	1	0	0	1	0	0
0	0	0		0	0	0	0
			0

ного закона для умножения, а табл. 2.4 — справедли вость закона инверсии. Естественно, что сформулирован ные законы могут быть распространены на большее чис ло переменных.

							Т А Б Л И Ц А			2.4
		х ,	х~.	А',4- Х2 Л",-]-		хг	Л',А'2	xtx,	А,+	А',
1	I	0	0	1	0	0	1	0	0
1	0	0	1	1	0	0	0	1	1
0	1	1	0	1	0	0	0	1	1
0	0	1	i	0	1	1	0	1	I
Из приведенных основных логических							операций и за

конов, которым они подчиняются, непосредственно выте кает ряд равносилыюстей:

		Х +	1 = 1	)			(2.13)
		х + х = \ у
		ХХ	= 0\				(2.14)
		х-о = о\'
	Х - 1 =Х				\|
X X X	• • • X = .Х					,	(2.15)
X + X - I - X + • • -гХ = Х )
Х1 +		ХхХо - f X i X 3 =			Xlt		(2.16)
X i {Хг +		Хг)	{Хг +	Х3)	=	Хг.	(2.17)
Хг +		XiX% = Xi-\- Х-1				I	(2	18)
x + x1x2			= x1 + xl у
		Х=Х.					(2.19)
Равносильности	(2.13) —(2.15) следуют						из определе
ния понятий логического			умножения			и	сложения,	а