Файл: Чайлдс Э. Физические основы гидрологии почв.pdf

Алгебраическая сумма всех составляющих разности потенциалов, связан­ ной с действием всех сил, взятых по отдельности, равна

(ф в ” ф а )і+ (ф в — ф д)2+- •-+ (ф в— ф а )п =

Когда все эти силы действуют одновременно, их можно заменить равнодей­ ствующей F д, т. е. единой силой, эквивалентной всем им, а разность потенциалов

Рис. Д12.2. Алге­ браическое сложе­ ние элементарных работ, связанных с компонентами силы, действую­ щими в различ­ ных направле­ ниях.

Объяснения в тексте.

складываются по обычным правилам алгебры; следовательно, алгебраическая сумма составляющих нескольких сил Fn в любом данном направлении, например s, должна равняться компоненте равнодействующей силы F R в том же направле­

нии, поскольку в ином случае равнодействующая не могла бы быть полным эквивалентом суммы отдельных составляющих. Итак,

Учитывая уравнения (Д12.7) и (Д12.8), видим, что правые части уравнений (Д12.6) и (Д12.7) идентичны, следовательно, равны и левые их части, а потому

(ф в ~ ф а )і + ( ф в - ф а)2+ - ■• + (фВ - ф А )„ = (фв - ф А)в. (Д12.9)

Таким образом, полная разность потенциалов, связанная с одновременным действием нескольких полевых сил, есть алгебраическая сумма разностей по­

тенциалов, связанных с индивидуальными силами, действующими по отдель­ ности.

Дополнение 13. Эквивалентность напряженности поля и градиента потенциала.

На рис. Д13.1 показаны сила F поля, действующая на единичное количе­

ство почвенной влаги, и несколько направлений, в которых можно сместить эту единицу на расстояние s, чтобы вычислить разность потенциалов между концами пройденного отрезка. Пусть сила образует угол Ѳ с осью х, а пройденный путь —

угол і|). Тогда, по уравнению (Д12.5),

Когда s направлено так же, как F, т. е. г|) и Ѳ равны, разность потенциалов

составляет

Рис. Д13.1. Эквивалент­ ность напряженности поля и градиента потен­ циала.

Объяснения в тексте.

Если т|5 возрастает, член с косинусом уменьшается и становится равным нулю, когда г|) превосходит Ѳна 90°, тогда разность потенциалов между В а А

также становится равной нулю. При дальнейшем возрастании ^ косинус ста­ новится все большей отрицательной величиной, пока і|) не превзойдет Ѳ на 180° и направление s не станет противоположным направлению F. Тогда

( Ф В Ф а ) ѳ-Ы 80° — F s >

или

Комбинация определения направления наиболее резкого возрастания потен­ циала с определением скорости этого возрастания (Фв — ФА)Ь служит опреде­

лением градиента потенциала, величины векторной, поскольку направление является существенной частью его характеристики. Направление градиента потенциала есть, очевидно, направление Ѳ, то же, что и направление силы поля F, поскольку в этом направлении максимизируется разность потенциалов.

Следовательно, величина градиента равна (Фв — ФA)/s. Поэтому из уравнения (Д13.2)

Отрицательный знак указывает, что направление силы поля противоположно направлению возрастания потенциала. Тот же результат следует, конечно, из

уравнения (Д13.3), поскольку если написать FQ вместо F, чтобы указать ее на­

правление Ѳ, то сила, действующая в противоположном направлении, — Ѳ, бу­ дет, очевидно, отрицательной:

образом.

В возможно большем числе точек тела, образующих определенную систему, например прямоугольную сетку, измеряют потенциал как сумму давления и высоты, в соответствии с одним из уравнений (Д9.1) — (Д9.3), которые выводятся в Дополнении 14. Путем интерполяции на любой линии сетки можно найти поло­ жение, соответствующее из­ бранному значению потенциа­ ла, и затем построить кривую, соединяющую все точки с дан­ ным потенциалом. В трехмер­ ном теле геометрическим ме­ стом таких точек является поверхность, но для нагляд­ ности на рис. Д13.2 изображе­ но двухмерное распределение потенциалов, при котором геометрическим местом точек является линия. Такое геоме­ трическое место точек назы­ вается эквипотенциалью. Как показано на рисунке, можно провести ряд подобных эквипотенциалей, соответствующих разным значениям потен­ циала. Двухмерный случай представляет собой группу непересекающихся кривых (не­

пересекающихся потому, что точка пересечения обладала бы двумя значениями потенциала одновременно), а трехмерный случай, какой обычно и имеет место, представляет собой группу непересекающихся поверхностей, подобных слоям луковицы. В каждой точке тела направление напряженности поля находят по направлению, в котором потенциал возрастает наиболее быстро, т. е. по напра­ влению наикратчайшего расстояния между соседними эквипотенциалями.

На рис. Д13.2 изображено лишь несколько довольно удаленных друг от друга эквипотенциалей из их бесконечно большого числа, которое может быть проведено при бесконечно малом расстоянии между ними. Кратчайшее расстоя­ ние между ближайшими соседями, которые неизбежно должны быть почти параллельны, лежит на линии, секущей их под прямым углом. Градиент потен­ циала, а следовательно, и линия действия силы поля должны находиться на кривой, которая пересекает каждую эквипотенциаль под прямым углом к ней. Таким образом, можно провести семейство кривых, любой член которого, напри­ мер PQ, пересекает каждую эквипотенциаль под прямым углом. Направление

такой кривой в любой ее точке есть направление градиента потенциала в этой точке. Если, как на рис. Д13.3, построить кривую зависимости потенциала от расстояния, из­

меренного, скажем, вдоль PQ,

то наклон, или тангенс угла касательной в точке X, изме­

ренный в единицах, указанных на осях, даст отношение очень небольшого прироста потен­ циала 6 Ф к очень небольшому

участку пути ôs, т. е. вели­ чину градиента потенциала

чет в почве некоторым упо­ рядоченным образом, так что мы можем проследить средний путь. Если бы, например, мы ввели пятно метки в’ точке Р

на рис. Д14.1, то могли бы про­ следить плавный путь потока до

точки Q. Ход потока определяется напряженностью поля, заставляющей воду

течь в направлении напряженности, т. е. под прямым утлом к любой эквипотенциали. Этот путь называется линией тока. Поскольку эквипотенциали не могут пересекаться, не пересекаются и линии тока, так как при пересечении двух ли­ ний тока существовали бы две пересекающиеся перпендикулярные к ним экви­ потенциали. Значит, каждая линия тока должна следовать предписанным пу­ тем, перпендикулярным к любой эквипотенциали (в параграфе 9.3 было пока­ зано, что в некоторых материалах существуют предпочтительные направления движения воды и линии тока могут не совпадать с направлением поля, т. е. могут быть не перпендикулярны эквипотенциалям; тем не менее каждая из них все еще будет определена однозначно). Группу линий тока можно выбрать так, что они образуют трубку тока, как показано на рисунке. Вода, заключенная в такую трубку, при течении не выходит за ее пределы. Установить величину разности потенциала между двумя сечениями трубки В и А можно, анализируя перемещение единицы объема воды из А и В и воспользовавшись определением

потенциала.

Поскольку трубка тока удерживается в своих границах, то ни она сама, ни связанное с ней распределение потенциала не нарушится, если заключить трубку тока в непроницаемые стенки. Распределение потенциала также не изме­ нится существенно, если в трубке тока устроить две достаточно малые полости