Файл: Радиотехнические системы в ракетной технике..pdf

выше шести констант можно принять время t0 и пять парамет­ ров (а), характеризующих эллипс.

В системе ПРО задачу определения параметров дели решают радиолокаторы, сопряженные с ЭВМ. Радиолокационные наблю­ дения дают обычно азимут, угол места, наклонную дальность и (или) радиальную составляющую скорости цели. Измеряемые ве­ личины функционально связаны с параметрами эллипса и теку­ щим моментом времени. Эта связь выражается в аналитическом виде через известные, хотя и громоздкие уравнения. При детер­ минированном характере движения цели и идеальном измерителе в принципе достаточно было бы иметь шесть независимых изме­ рений одной из величин (например, азимута) для однозначного определения искомых параметров. Однако в показаниях реальных измерительных устройств всегда присутствуют ошибки, обуслов­ ленные многими факторами.

Наличие случайных составляющих в ошибках измерений за­ ставляет отказаться от детерминистского метода решения постав­ ленной задачи и перейти к статистическому. Среди множества ста­ тистических методов наиболее эффективными являются метод максимального правдоподобия, байесов метод и метод наимень­ ших квадратов.

Метод максимального правдоподобия представляет собой один из основных методов теории точечных оценок и широко исполь­ зуется при обработке радиолокационных измерений. Этот метод максимизирует функцию правдоподобия, которая определяется как апостериорная плотность вероятности р(у/а):

L (а) = р (у/а),

где у — совокупность исходных данных (выборка из N измере­ ний) ;

а — искомый вектор оцениваемых параметров.

Для нахождения максимума плотности вероятности необходи­ мо решить систему уравнений правдоподобия

В общем случае уравнения правдоподобия являются нелиней­ ными. Точное решение этих уравнений сопряжено с большими вы­ числительными трудностями. Как правило, применяют приближен­ ные методы их решения, например, метод Ньютона или метод ите­ раций. Указанные операции выполняются на быстродействующих ЭВМ. Общим приемом, существенно ускоряющим и упрощающим вычисления по любому из методов статистических оценок, яв­ ляется линеаризация исходной нелинейной системы уравнений от­ носительно опорной траектории движения.

Оценки параметров по методу наименьших квадратов совпа­ дают с оценками максимального правдоподобия при нормальном распределении ошибок измерений. В противном случае метод наи­ меньших квадратов приводит к менее эффективным оценкам.

112

RK— корреляционная матрица текущих ошибок порядка m (при измерении дальности и двух угловых координат

Рекуррентный фильтр представляет большие удобства в про­ цессе обработки наблюдений на ЭВМ, так как освобождает от не­ обходимости хранения использованной входной информации. Кроме того, матричные преобразования в фильтре Калмана имеют относительно малую размерность. Однако при наличии некорре­ лированных во времени ошибок наблюдения, построение опти­ мальных рекуррентных фильтров наталкивается на принци­ пиальные трудности.

В данном случае для относительно коротких интервалов на­ блюдения и экстраполяции можно рекомендовать метод наимень­ ших квадратов применительно к полиномиальной модели движе­ ния цели. При этом баллистическая траектория аппроксимируется совокупностью полиномиальных функций, описывающих проекции траектории в прямоугольной системе координат РЛС.

Соответствующий полином движения цели по каждой из коор­ динат Zj, z2, z3 может быть записан следующим образом:

I

z (t — ix) = |2_ (— ix)K(k!)-1z(k) (t), k=0

где z<K)(^) — к-тая производная от z(t); г— степень полинома;

t — текущее время (время последнего замера).

При полиномиальной модели движения цели экстраполирован­ ная координата z3 в момент времени t + /a рассчитывается по фор­ муле

* Г

z3 (t + 1,) = 2 ч (к0-1щ о ,

к=0

где aK( t) — оценка к-той производной от z(t).

Экстраполяция координат цели требуется для решения задач целеуказания, вывода антиракеты в расчетную точку встречи, вы­ числения координат точек падения баллистических целей и др.

В случае известной степени полинома движения цели опти­ мальная оценка к-той производной, вычисляемая по методу наи­

114

Систематические ошибки вызываются, главным образом, де­ фектами измерительных устройств.

Рассмотрим представляющие практический интерес некоторые частные случаи матричного уравнения [3.10].

В случае стационарной шумовой помехи и равноточных изме­ рений (bp= b0) выражение для ошибки упрощается и при N ^>г принимает вид

Для сравнения приведем точные выражения Эф при малых] иг

Ошибка экстраполяции положения цели по каждой из коор­

динат в случае некоррелированных оценок производных aj вычис­ ляется по формуле

Медленно меняющиеся ошибки измерения. В условиях малого объема выборок следует воспользоваться точным выражением для

116