Другие интегральные выражения:
J grad <ЫѴ = ^ ^nodS = |
j" 4 d S , |
(П . III. 20) |
V |
s |
s |
= |
s(j) [dS A ] . |
( П .III .21) |
Vj rot A S |
= (j) [n0A] |
dS |
dV |
|
|
|
|
Цилиндрические функции с целым и полуцелым индексом
Виды цилиндрических функций
Цилиндрические функции являются частными решениями нижеследующего уравнения, получаемого при решении волнового уравнения в цилиндрической си стеме координат (5.49):
cPR |
, |
1 |
|
dR |
+ |
/к2 |
R = |
0. |
|
|
|
( П .III .22) |
|
dp |
|
|
|
dp2 |
|
р |
|
|
I - ' |
|
|
|
|
! т{ |
|
Цилиндрические функции |
обозначаются таким |
|
образом: |
|
р) — функция |
Бесселя от-го порядка; |
N m |
(р) |
— функция |
Неймана |
|
т |
-го |
порядка; |
( |
р) — |
функция Ханкеля первого рода |
т |
-го порядка; |
( |
р) — функция |
Ханкеля вто |
|
|
рого рода т-го порядка.
Существует аналогия между цилиндрическими и тригонометрическими функ циями, которые являются решениями известного линейного уравнения
d-Щ
R = 0. ( П .III .23)
dp2
Сопоставим частные решения приведенных уравнений:
cos р, sin р с е^р и е~~^р; ІтІР)' Х т(р) с Я£>(р) и //£>(?).
В результате можно написать: |
|
|
|
е;р = cos р + j sin р, |
H tjli ) {?) = Jm(p) + j N m(p), |
(П. 111.24) |
H ^ ) (p) = J m(p) — ]N m |
(p). |
e~ * = cosp — j tsi np, |
|
Из (П.111.24) следует, что имеется сходство в зависимостях между частными решениями уравнений (П .III.22) и (П .III.23).
Виды решений уравнения Бесселя в задачах электромагнетизма
Общее решение уравнения Бесселя записывается как линейная комбинация двух цилиндрических функций:
ИЛИ |
Rn ■AmJm(?) + BmNmiР) > |
( П .III .25) |
Rm = AmH ^ { p ) + BmH%4p). |
(П. II 1.26) |
Выбор той или иной функции в качестве решения зависит от конкретных условий задачи (наличия и вида границ раздела сред) и поведения функций в на чале координат (р = 0) и в бесконечности (р-»-оо).
Чтобы оценить поведение функций в обоих указанных случаях, напишем сте пенные ряды, определяющие функции J m и N т\
|
Jm (?) |
1 \яг |
|
1 |
|
\яг +2 |
|
т1 |
р\1т + 4 |
|
|
|
|
|
77Р |
Т |
р' |
2! |
|
|
+ 2); |
(П. III .27) |
|
|
|
|
— О! |
ml |
1! |
(т |
•-)- 1)! ■ + |
(т |
При целом |
т |
Nm(p) = sin |
1тя Ѵт ( Р) cos ш п - |
/ _ т (р)]. |
(П. III .28) |
|
правая часть |
(П .111.28) принимает неопределенный |
вид (0/0), |
так как sin |
т |
я = 0 и множитель в скобках также равен нулю вследствие того, что |
|
/ - m (p) = ( - l ) m / m ( p ) .
Раскрывая неопределенность, можно найти, что в окрестности начала отсчета (р<СІ) выражение для функции Неймана будет иметь вид
Л^о (Р) ~ — |
2 |
In |
2 |
(р) ~ — |
(т |
— 1)! |
|
/ 2 |
|
|
|
|
'V —р / |
. |
( П .III .29) |
п |
~і |
р , |
|
|
....... ■ |
где у =1,78107. |
|
|
|
|
|
я |
|
и |
|
|
нулевого, пер |
|
|
|
|
|
|
J m(p) |
N m(p) |
На рис. П .ІІІ.І построены кривые для функций |
N m |
|
и рис. |
|
вого и второго порядков. Из формул |
(П .III.27)— (П .III.29) |
|
П .ІІІ.І следует, |
что при р->-0 функция /т(р) |
конечна, |
а функция |
j |
|
|
(р) |
| —> о о . |
|
|
J m (P ! |
|
|
|
|
^ т (Р ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. П .ІІІ.І |
N m |
|
N m(При увеличении аргумента функции |
Зт |
и |
принимают значения, колеблю |
щиеся |
около |
оси абсцисс; |
при этом, |
если р->-°°, то функция /т (р)->0 и |
р)—5-0. |
|
|
|
от начала |
|
координат отношение цилиндрических |
На |
больших расстояниях |
|
функций |
Jm |
и |
N m |
стремится к отношению косинуса к синусу, как это следует из |
|
|
их асимптотических представлений при рЗ> 1:
Вследствие этого функции J m и N m аналогично косинусу и синусу использу ются при решении задач для представления стоячих волн.
Так как функция Неймана имеет особенность в начале координат (стремится к бесконечности при р->-0), то она не может входить в выражение, представляю щее поле в области, которая охватывает точку р = 0. В этом случае решение для стоячих волн должно составляться только из функций Бесселя:
Rm = Ащ]т(р)-
Если же область не включает в себя точку р= 0, то решение составляется из обеих функций (П .III.25).
По |
аналогии |
с показательными функциями |
(е}е |
и |
|
|
функции Ханкеля |
|
J |
|
|
применяются для представления бегущих цилиндрических волн. |
|
Из |
(ПЛИ.24) |
и асимптотических представлений |
|
m |
и |
N m |
можно найти, что |
|
|
|
при | р| > 1 |
я р |
; |
( |
2m+1* |
) |
( П .III .30) |
/ |
----- е |
_ |
. / |
4 |
, |
7) |
2m + l |
\ |
(П. III. 31) |
У |
----- е |
|
|
4 |
. |
я р |
|
|
|
|
|
Из (П .III.30) и (П .ІІІ.31) следует, что при принятом знаке у показателя вре менного множителя (еіші) для представления расходящихся волн должна исполь
Функция Бесселя с полуцелым индексом
Для удобства представления решения волнового уравнения в сферической системе координат используются так называемые сферические функции Бесселя, которые связаны с цилиндрическими функциями полуцелого индекса простыми соотношениями:
J m ( r ) = | / |
н2г |
|
1 |
(г)> |
|
|
= |
о- 7 |
|
|
( П .ІІІ .32) |
Пт(г) |
2 7 n |
|
, |
|
|
я |
m-Ь-—1 (г)’ |
|
А(« М 2 ,( 0 = і / |
т |
|
|
|
-^7 |
|
|
( г ) . |
|
|
|
2 |
Г |
|
+- |
|
|
|
|
|
|
|
|
На основании асимптотических представлений цилиндрических функций нахо дим асимптотические выражения для сферических функций (при r~> 1):
Jm. ,гч |
1 |
(г |
т + 1 |
п |
\ |
( ) « |
— |
cos I |
— — — |
|
I, |
|
1 |
/ |
т + 1 |
|
|
|
|
sin ( г — --- ---- я |, |
|
|
|
4 |
|
|
