Файл: Лекция 14.pdf

Скачать файл (0,74Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 16

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Ортогонализация системы векторов (повторение)

Ортогональное разложение евклидова пространства

Определение 1. Вектор x ортогонален непустому множеству M Еn , если x y y M .

Множество всех таких векторов x Еn																		называется ортогональным дополнени-
ем множества M и обозначается M . Таким образом,																								M	x E		n	: x M .
																											n
Пример 1. Найти базис ортогонального дополнения подпространства, порож-
денного системой векторов u (1,0,1, 1) ,													v (1,2,1,1) ,										w (1,1,1,0) .
Решение. Пусть M – подпространство, порожденное данной системой векторов.
Ортогональное дополнение к M - M - состоит из множества векторов, ортогональных
каждому из векторов u, v, w .
То есть M x (x , x , x , x ) E														n		: x u, x v, x w .
						1		2	3	4				n
Запишем условия ортогональности x u (x,u) 1 x1 0 x2 1 x3 1 x4
x v (x,v) 1 x1 2 x2 1 x3 1 x4
x w (x, w) 1 x1 1 x2 1 x3
Таким образом,					некоторый вектор x M , тогда и только тогда, когда его эле-
менты удовлетворяют системе уравнений
x			x	x	4	0
1			3		4
x1 2x2 x3 x4 0
x	x	2	x		0
1		2	3
Решим систему линейных уравнений
	1 0 1 1							1 0				1 1							1			0 1 1

A 1			2 1	1		I			0	2		0		2						0		1		0 1		. Система совместна и
	1 1 1 0					I
	1 1 1 0					I			0 1			0 1								0		0 0 0

имеет бесконечно много решений.
x1, x2 - главные переменные,												x3, x4					-	свободные переменные. Пусть x3 С1 ,
x4 С2 .
						x			x			x		0				x2 С2 ,							x1 С2 С1 .
Тогда из системы							1	x2			3		4	0				x2 С2 ,							x1 С2 С1 .
								x2				x4		0
								C C							1									1
									1		2
Общее решение					X			C2				C					0		C					1
									C					1			1				2			0
									1
									C2								0							1
									C2								0							1

Таким образом, ортогональное дополнение для указанной системы векторов есть мно-

жество M С1( 1,0,1,0) С2 (1, 1,0,1) : С1,С2 R

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Одним из преимуществ евклидовых пространств является наличие в них орто-

нормированных базисов. В связи с чем, возникает задача о рассмотрении в них матриц линейных операторов. При этом, как и ранее, наибольший интерес представляют

«удобные операторы», то есть операторы, имеющие наиболее простую матрицу. Далее рассмотрим некоторые важные классы таких операторов:

ортогональные операторы,

сопряженные операторы,

симметричные (самосопряженные) операторы.

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ СВОЙСТВА

a	a	...	a
11	12		1n
a21	a22	...	a2n
Определение 2. Вещественная квадратная матрица A	...	...	...
...	...	...	...
	an2	...
an1	an2	...	ann

называется ортогональной, если соответствующая ей система

векторов	x1 (a11, a21,..., an1) ,	x2 (a21,a22 ,..., an2 ) , …,
xn (an1,an2 ,..., ann) является ортонормированной.
При этом предполагается,	что векторы x1, x2 ,..., xn	являются элементами евк-

лидова пространства, в котором скалярное произведение определено следующим обра-

	n
зом:	(xi , x j ) aki akj .
	k 1
	Из определения следует, что если A - ортогональная матрица, то
n	1,	i j
(aki , akj )		i j
k 1	0,	i j
	Теорема 1.	A - ортогональная матрица AТ А Е .
	Следствие 1.1. Если A – ортогональная матрица, то det A 1. Обратное не
верно.

Следствие 2.1. Ортогональная матрица невырожденная.

Следствие 3.1. A – ортогональна AT А 1 .

		Следствие 4.1. Если A – ортогональна, то А 1 так же ортогональна.
		Действительно, рассмотрим															( А 1)Т								( АТ )Т A ( А 1) 1
																						след 3.1
		Следствие 5.1. Если A – ортогональна, то АТ так же ортогональна
		Действительно, рассмотрим															( АТ )Т A ( А 1) 1										( АТ ) 1
																										след 3.1
		Следствие 6.1. Произведение двух ортогональных матриц есть ортогональная
матрица.
		Действительно, пусть A и B- ортогональные матрицы, тогда для них выполня-
ются условия AT А 1											и BT B 1 .
		Рассмотрим матрицу С A B .
		СТ ( A B)Т BT АT B 1 А 1 ( A B) 1 С 1 . Значит, С A B - ор-
тогональная матрица.
		Теорема 2. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому
								является ортогональной.
		Пример					2. Проверить									на	ортогональность следующую систему векторов
x (	2	,	2	,	1	) , x		(	2	,		1	,	2	) ,	x (		1	,	2	,		2	) . Выполнить проверку двумя способами.
x (		,		,		) , x	2	(		,			,		) ,	x (			,		,			) . Выполнить проверку двумя способами.
1	3	3		3			2	3			3		3			3	3		3			3
	3	3		3				3			3		3				3		3			3

Решение.

1 Проверка по определению

(x1, x1) 23 23 23 23 13 13 1

(x1, x2 ) 23 23 23 13 13 23 0

(x1, x3 ) 23 13 23 23 23 13 0

(x2 , x2 ) 23 23 13 13 23 23 1

(x3, x3 ) 13 13 23 23 23 23 1

(x2 , x3 ) 23 13 23 13 23 23 0

Система векторов x1, x2, x3 ортогональна

2 Проверка по теореме

	2		2			1

	3		3			3

A	2			1	2		Проверим произведение AТ A Е

	3		3		3
		1	2		2

		3	3		3

		2				2					1	Т	2				2				1
																							1	0 0
			3			3					3			3			3				3
			3			3					3			3			3				3
Т		2					1 2							2				1	2
Т	A	2					1 2							2				1	2			0		1 0 Е - верно.
A	A			3			3			3					3			3		3		0		1 0 Е - верно.
				3			3			3					3			3		3
					1	2			2							1 2			2				0	0 1

					3	3			3							3	3		3
					3	3			3							3	3		3
								ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Определение 3. Линейное преобразование																							ˆ	евклидова пространства называ-
Определение 3. Линейное преобразование																							А	евклидова пространства называ-
									ется ортогональным, если оно сохраняет скалярный квадрат
																							ˆ	ˆ
									каждого вектора. То есть ( Аx, Аx) (x, x)

Теорема 4. Ортогональное преобразование не меняет скалярного произведения

векторов: x, y En выполняется равенство	ˆ ˆ
	( Аx, Аy) (x, y) , где

ˆ - ортогональный оператор.

Доказательство:

( А(x

ˆ y), А(x

y))		(x y, x y) (x, x) (x, y) ( y, x) ( y, y)
	по опр.3

y))		ˆ ˆ ˆ ˆ		ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ
y))		( Аx Аy, Аx Аy)		( Аx, Аx) ( Аx, Аy) ( Аy, Аx) ( Аy, Аy)
	лин.		св-во
	ˆ		скал.
	А		пр -ия
			пр -ия

Сравним правые части двух последних равенств

(x, x) (x, y) ( y, x) ( y, y) =

По определению ˆ ˆ x)

(

ˆ ˆ	ˆ	ˆ
( Аx, Аx) ( Аx, Аy)
	ˆ	ˆ

(x, x) и ( Аy, Аy)

ˆ ˆ ˆ ˆ

( Аy, Аx) ( Аy, Аy)

( y, y)

							5
	ˆ ˆ			ˆ ˆ
(x, y) ( y, x) ( Аx, Аy)			( Аy, Аx)
В силу	коммутативности скалярного произведения					ˆ ˆ	или
В силу	коммутативности скалярного произведения					2(x, y) 2( Аx, Аy)	или
ˆ	ˆ
(x, y) ( Аx, Аy) . Что и требовалось доказать.
Следствие 1.4. Ортогональный оператор не меняет длины вектора, то есть
		ˆ		x	.
		ˆ
		Ax
Следствие 2.4. Ортогональный оператор не меняет угол между векторами, то
					ˆ ˆ
	есть (x, y) ( Ax, Ay) .
Из курса аналитической геометрии для пространств V2						и V3 нам известно, что