Файл: Лекция 14.pdf

ˆ

Решение. А - ортогональный оператор A – ортогональная матрица, то есть

выполняются условия

n

1,

i j

(aki , akj )

i j

k 1

0,

n

1

1

2

2

1

1

(ak1, ak1)

1

6

k 1

6

6

6

6

6

n

1

2

2

1

1

(ak1, ak 2 )

0 0

k 1

6

5

6

5

6

n

1

1

2

2

1

5

(ak1, ak 3 )

0

k 1

6

30

6

30

6

30

n

2

2

1

1

(ak 2 , ak 2 )

0 0 1

k 1

5

5

5

5

n

2

1

1

2

5

(ak 2 , ak 3 )

0

0

30

30

30

k 1

5

5

n

1

1

2

2

5

5

(ak 3 , ak 3 )

1

30

30

30

30

30

30

k 1

СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР

Определение 4. Линейный оператор

ˆ

А* евклидова пространства Еn называет-

ˆ

x, y En

выполняется

ся сопряженным оператору А , если

ˆ

ˆ

равенство ( Аx, y) (x, A* y) .

ˆ

ˆ

ˆ

3. Для любого линейного оператора А :

А* * A .

4.

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Для любых линейных операторов А и

B : А B * B * A * .

5.

ˆ

ˆ

1

, то верно равен-

Если для оператора А существует обратный оператор А

ˆ

1

ˆ

1

* .

ство: А *

A

ˆ

ˆ

6. Собственные значения операторов А и

А* совпадают.

ˆ

Пример 4. Оператор А имеет в некотором ортонормированном базисе матрицу

A. Найти матрицу сопряженного оператора в том же базисе, если

1

3

2

A

0

1

4

3

1

2

Решение. Согласно свойствам сопряженного оператора, в ортонормированном

базисе матрица A* сопряженного оператора может быть найдена, как A* AT . Тогда

1

0

3

A*

3

1

1

2

4

2

СИММЕТРИЧНЫЙ (САМОСОПРЯЖЕННЫЙ) ОПЕРАТОР

ˆ

Еn называется

Определение 4. Линейный оператор А евклидова пространства

ˆ

ˆ

симметричным (самосопряженным), если А A*, то есть

ˆ

ˆ

( Аx, y) (x, Ay)

ˆ

ˆ

Аx kx,

Аy ky . Рассмотрим скалярное произведение при данном преобра-

ˆ

ˆ

зовании: (Аx, y) (kx, y) k(x, y)

(x, ky) (x, Ay)

акс

св-во

Свойства.

ˆ

1. В ортонормированном базисе оператор А задается симметрической матри-

ˆ

ˆ

ратора А является симметрической матрицей, то оператор

А - симметричный опера-

тор.

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2. Если А и

B - симметрические преобразования, то

А +

B также симметриче-

ˆ

- симметрическое преобразование и - некоторое число, то

ˆ

3. Если А

А -

ˆ

Пример 5. Для линейного оператора А имеющего в некотором ортонормиро-

2

1

1

ванном базисе матрицу

A

1

1

0

,

найти ортонормированный базис, в котором

1

0

1

2

1

1

A E

1

1

0

(2 )(1 )2

(1 ) (1 )

e

1

0

1

(1 )((2 )(1 ) 2) (1 )( 2 3 ) (1 )( 3) 0

1 3, алг кратность1

1, алг кратность1

- собственные значения линейного

Корни уравнения

2

0, алг кратность1

3

ˆ

оператора A .

Найдем собственные векторы, относящиеся к каждому собственному значению.

1. 1 3 . Решим матричное уравнение (Ae

3 E)X 0 .

1

1

1 x

0

1

( Ae

3E) X

1

2

0

x2

0

, что равносильно системе урав-

1

0 2 x

0

3

x1 x2 x3 0

0

нений x1 2x2

x

2x

0

1

3

1

1

1

1

1 1

1

1 1

Матрица системы

1

2

0

0

1

1

0

1 1

1

0 2

0 1 1

0

0 0

Ранг основной матрицы системы равен 2. Пусть

x3 - свободная переменная,

x1, x2 - главные переменные. Положим x3 С1 , тогда x2

С1 , x1 2С1

2

Решением является вектор U

C1 0 , базисом пространства решений

С1

1

,

1

1

является вектор u (2;1;1)T .

1

2. 2 1 . Решим матричное уравнение (Ae 1 E)X 0 .

1 1

1 x

0

1

( Ae

E) X 1

0

0

x2

0

,

что

равносильно

системе уравнений

0

0

1 0

x3

x

x x 0

1

2

3

x1

0

10

1 1

1

1

1 1

1 1

1

Матрица системы 1

0

0

I

0

1

1

0

1

1

1

0

0

I

0

1

1

0

0

0

Ранг основной матрицы системы равен 2. Пусть

x3 - свободная переменная,

x1, x2 - главные переменные. Положим x3 С2 , тогда x2

С2 ,

x1 0

0

Решением является вектор U 2

, C2 0 , базисом пространства реше-

С2

1

1

ний является вектор u2 (0; 1;1)T .