Файл: Метода к лабам.pdf

торая получается, как невязка, если в конечно-разностном уравнении (12.5) подставить вместо yk значение точного решения uk :

которая зависит от шага сетки.

Говорят, что разностная схема (12.5) аппроксимирует исходную дифференциальную задачу с порядком p, если при h 0, k (h) Ch p , C const . Из

(12.6) следует, что порядок аппроксимации на единицу меньше, чем порядок погрешности используемой квадратурной формулы на интервале [xk, xk+1].

Чем больший порядок аппроксимации p, тем выше точность решения:

Основная теорема теории метода сеток утверждает, что если схема

где С0 – константа устойчивости.

Неустойчивость обычно проявляется в том, что с уменьшением h решение yk при возрастании k, что легко устанавливается экспериментально с помощью просчета на последовательности сеток с уменьшающимся шагом h, h/2, h/4, … . Если при этом yk , то метод неустойчив. Таким образом, если име-

ется аппроксимация и схема устойчива, то, выбрав достаточно малый шаг h, можно получить решение с заданной точностью. При этом затраты на вычисления резко уменьшаются с увеличением порядка аппроксимации p, т. е. при большем p можно достичь той же точности, используя более крупный шаг h.

12.3. Виды конечно-разностных схем

Большое разнообразие методов обусловлено возможностью по-разному выбирать узлы и квадратурные формулы для аппроксимации интеграла в (12.4) при получении схемы (12.5).

M1. Явная схема первого порядка (Эйлера)

Заменим интеграл в (12.4) по формуле левых прямоугольников:

99

Задавая y0 u0 , с помощью (12.8) легко получить все последующие значения yk , k 1, 2, ..., n1 , т. к. формула явно разрешается относительно yk 1.

Погрешность аппроксимации (h) и соответственно точность (h) имеют первый порядок в силу того, что формула левых прямоугольников на интервалеxx , xk 1 имеет погрешность второго порядка, а схема устойчива.

Алгоритм представлен на рис. 12.1.

Рис. 12.1

Рассмотрим пример решения задачи Коши явным методом Эйлера. Задача Коши имеет вид:

100

y y2 х, y(1) 0

на отрезке x [1,3] с шагом по сетке h 0.2 .

Из постановки задачи видно, что f (x, y) y y2 х , а из формулы (12.8)

следует, что

yk 1 yk h f (x, y) .

Зная, что y(1) 0, x0 1, получаем первое значение: y1 y0 h f (x0 , y0 ) 0 0.2 (( y0 )2 x0 ) 0.2.

Далее продолжаем процесс рассчета по формулам

x1 1.2, y1 0.2 y2 y1 h f (x1, y1) 0.2 0.2 (( y1)2 x1) 0.432; x2 1.4, y2 0.432 y3 y2 h f (x2 , y2 )

0.432 0.2 (( y2 )2 x2 ) 0.6746752;

...

x10 2.8, y10 1.56185 y11 y10 h f (x10 , y10 )

Эта схема неразрешима явно относительно yk 1, поэтому для получения требуется использовать итерационную процедуру решения уравнения

(12.9) (см. метод простой итерации в подразд. 9.2):

yk 1,s yk f (xk 1, yk 1,s 1),

где s 1, 2, 3, ... – номер итерации.

За начальное приближение берется значение yk 1, 0 yk c предыдущего шага. Обычно, если значение h выбрано удачно, достаточно сделать 2–3 итера-

ность неявной схемы заключается в том, что у нее константа устойчивости С0 значительно меньше, чем у явной схемы.

M3. Неявная схема второго порядка

Используя в (12.5) формулу трапеций, получим

101

Т. к. формула трапеций имеет третий порядок точности на интервалеxx , xk 1 , то погрешность аппроксимации (h) – второй.

Схема (12.10) не разрешена относительно yk 1, поэтому требуется итерационная процедура (см. схему М2):

Алгоритм представлен на рис. 12.2.

Рис. 12.2

Рассмотрим пример решения задачи Коши неявным методом Эйлера второго порядка (с пересчетом).

Задача Коши имеет вид:

102

Рассчитаем значение по схеме для первой точки отрезка по х:

1,54075 0.2 (( 1,54075)2 2.8) (( 1,62597)2 3) 1.61898. 2

Легко заметить, что данные результаты схожи с результатами, полученными с помощью явного метода Эйлера по схеме М1.

M4. Схема предиктор – корректор (Рунге – Кутта) второго порядка

решения этого уравнения существует следующий способ. Вначале по явной схеме (12.8) рассчитывают yk 1/ 2 (предиктор):

103