Файл: Методические указания для выполнения лабораторных работ по теме анализ и моделирование деятельности организации с целью принятия управленческих решений.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 31
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
большего доверия заслуживают последние данные, α следует увеличивать. Рекомендуемые значения 
обычно выбираются из интервала 0.1-0.5.
Метод Чоу адаптивного прогнозирования позволяет подбирать α в процессе прогноза. Его суть состоит в том, чтобы одновременно вести три прогноза с разными значениями α, например 0.1, 0.15 и 0.2. Если реальный спрос ближе к одной из границ, скажем, верхней, система перестраивается, и новыми значениями α будут 0.15, 0.2 и 0.25.
Чаще всего среднее значение спроса с течением времени меняется. Такое изменяющееся среднее принято называть трендом. Для краткосрочного прогноза часто достаточно ограничиться линейным трендом. Наиболее распространены две модели линейного тренда. При линейно-аддитивном тренде среднее изменяется на постоянную величину за время dt. В линейно-мультипликативной модели тренд меняется на постоянный процент, например, ежемесячно спрос может возрастать на 2%.
Рассмотрим подробнее линейно-аддитивную модель, при которой спрос меняется по формуле:
St = a + b * t + et (3.4)
где et - ошибка измерения. Если параметры модели a и b постоянны, их оценки можно получить по методу наименьших квадратов. Именно такие оценки реализованы в стандартных функциях Excel, предназначенных для прогнозирования
Однако можно рассматривать методы, когда предполагается, что и сами параметры меняются во времени. Метод, предложенный Холтом, использует ту же идею взвешенного суммирования, примененную в экспоненциальном сглаживании. Вот соотношения для расчета оценки прогноза и оценки параметра b:
Pt = α*St + (1- α)*(St -1 + bt -1 * dt) (3.5)
bt = β*(Pt - Pt -1)/ dt + (1-β)* bt -1 (3.6)
где dt - временной интервал между двумя последними измерениями. Прогнозируемое значение на момент времени
t+t1 вычисляется по формуле:
Ft + t1 = Pt + bt * t1 (3.7)
Некоторым недостатком метода является необходимость эмпирического задания двух констант α и β, задающих веса. В методе двойного сглаживания Брауна достаточно ввести одну константу. Прогнозируемое значение здесь вычисляется по формуле:
Ft + t1 = 2Pt - Qt + bt * t1 (3.8)
Двойное экспоненциально взвешенное среднее вычисляется из соотношения:
Qt = α Pt + (1-- α)Qt-1 (3.9)
Оценка коэффициента bt дается формулой:
bt = α /(1-- α)*( Pt -Qt) (3.10)
Есть и другие модели краткосрочного прогнозирования тренда, например, методы Бокса-Дженкинса.
Сезонные колебания действуют независимо от других факторов и накладываются на ту или иную модель спроса. Проще всего учесть сезонный фактор, используя коэффициенты сезонности. Так, если, как обычно, принять сезонный цикл за год, можно иметь 52 недельных или 12 месячных коэффициентов сезонного спроса. Коэффициент сезонности представляет собой отношение среднего спроса за текущий период (месяц) к среднему значению за весь период цикла (год). Чтобы оценить значения коэффициентов сезонности, требуются данные за несколько лет. Достоверность результатов обычно можно повысить за счет того, что сезонные циклы одинаковы для разных товаров.
Если сезонные коэффициенты рассчитаны, то учет сезонности не вызывает трудностей для любой из моделей тренда. Вначале необходимо текущие значения очистить от влияния сезонности делением на соответствующий коэффициент. Затем применить обычный алгоритм прогноза и полученную прогнозную оценку умножить на коэффициент сезонности, соответствующий моменту прогноза.
Для среднесрочного прогноза обычно применяются методы регрессионного анализа. Хотя ничто не мешает применять их и для краткосрочного прогноза. Они основаны на получении оценок по методу наименьших квадратов. Эти методы и реализованы в стандартных функциях Excel, так что рассмотрим их подробнее. Начнем с наиболее простой модели линейного тренда. В основе модели лежит уже упоминавшееся соотношение:
Yt = a + b* t + Et (3.11)
Это соотношение можно интерпретировать следующим образом. В каждый момент времени t измеренное значение спроса Yt является суммой неизвестной помехи Et и линейной функции времени с неизвестными (ненаблюдаемыми) параметрами a и b. Из-за помех решения, принимаемые на основе измерений, носят вероятностный характер. Найти точные значения параметров a и b в этих условиях невозможно, но, зная выборку Yt, можно вычислить оценки параметров. В статистике оценкой называют любую функцию от измерений. Оценки параметров a и b можно получить по методу наименьших квадратов из условия минимизации квадратичного функционала:
F(a, b) =
(Yt - (a +b*t))2 (3.12)
При этом, когда мы имеем дело с линейной моделью, минимум этого функционала находится аналитически, и в случае двух параметров можно явно выписать конечные соотношения для оценок параметров a и b. В этом одно из преимуществ метода наименьших квадратов.
Прямая Yt = в + ^b* t , где a и ^b - оценки параметров, называется линией регрессии и используется для прогнозирования значений Y в произвольные моменты времени t. Конечно, чем дальше отстоит значение t от интервала наблюдений, тем вероятнее, что ошибка прогноза будет увеличиваться.
Метод наименьших квадратов хорош и с точки зрения статистики. Если предположить, что неизвестные нам помехи распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и, в общем случае, с заданной корреляционной матрицей, то полученные оценки обладают важными свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности. Мы не будем давать строгого определения всех этих терминов. Скажем лишь, что в классе несмещенных оценок наши оценки обладают минимальной дисперсией, т. е. минимальным разбросом относительно истинного значения параметров. Чем больше измерений, тем точнее оценки, так как уменьшается интервал, накрывающий истинное значение параметра с заданной вероятностью. Как ни странно, но практика показала, что предположения о характере помех зачастую оправдываются. В теории вероятностей этому факту есть хорошее объяснение. Недаром открытый Гауссом закон распределения называется "нормальным". Все (многое) в нашей жизни распределено по гауссиане.
Обобщим теперь постановку задачи на произвольное количество параметров, полагая теперь, что спрос может быть описан уже не линейной, а полиномиальной функцией времени, например:
Yt = a0 + a1 t + a2t2 + … + amtm + Et (3.13)
Это полиномиальное относительно времени соотношение остается линейным по отношению к неизвестным параметрам. Для простоты перейдем к матричной форме записи соотношений:
Y = X*a + E (3.14)
Здесь Y - вектор измерений, a - вектор параметров, E - вектор ошибок, X - прямоугольная матрица, элементы которой зависят от t и не зависят от параметров
a. Для полиномиальной зависимости нетрудно выписать явный вид ее элементов:
X = || tij.|| i= 1…n; j = 0..m; (3.15)
Число строк этой матрицы определяется моментами времени t1, t2, … tn, в которые производились измерения, а количество столбцов определяется степенью полинома. Квадратичный функционал F(a) в матричной форме имеет вид:
F(a) = (Y - X*a)T R-1 (Y - X*a) (3.16)
Продолжая обобщать постановку задачи, мы ввели корреляционную матрицу R ошибок измерений. В частном случае, когда отсутствует корреляция ошибок измерений и дисперсия их единична, матрица R превращается в единичную матрицу. Другой важный частный случай - диагональный, когда корреляция отсутствует, но дисперсия ошибки меняется от измерения к измерению. Величину, обратную к дисперсии -1/σ2 , можно рассматривать как вес измерения. Так что введение этой матрицы позволяет приписать разный вес измерениям, придавая, например, больший вес последним измерениям.
Все эти обобщения не нарушают возможности получения аналитического решения. Вектор оценок a, минимизирующий квадратичный функционал F(a), определяется по формуле:
a = Î-1 XT R-1 Y (3.17)
где Î - информационная матрица Фишера, вычисляемая из соотношения:
Î = XT R-1 X (3.18)
Наряду с вектором оценок нетрудно получить и его статистические характеристики. Поскольку оценки являются несмещенными, для полного знания распределения вектора оценок достаточно знать его корреляционную матрицу. В данном случае она является обратной к матрице Фишера.
Ra = Î-1 (3.19)
Даже если исходные измерения независимы, между оценками параметров может возникать корреляция. Правда, на практике чаще всего используют только значения их дисперсий.
До сих пор мы рассматривали временные ряды, и в наших измерениях присутствовал только один наблюдаемый параметр - время. В регрессионном анализе обычной ситуацией является проведение измерений, когда в каждой точке фиксируется несколько наблюдаемых параметров, влияющих на измеряемое значение. Применительно к задаче спроса такими параметрами могут быть, например, уровень текущей рекламы, количество конкурирующих товаров, погодные условия. Так что линейная относительно неизвестных параметров модель спроса в общем случае может быть такой:
обычно выбираются из интервала 0.1-0.5.Метод Чоу адаптивного прогнозирования позволяет подбирать α в процессе прогноза. Его суть состоит в том, чтобы одновременно вести три прогноза с разными значениями α, например 0.1, 0.15 и 0.2. Если реальный спрос ближе к одной из границ, скажем, верхней, система перестраивается, и новыми значениями α будут 0.15, 0.2 и 0.25.
-
Прогнозирование нестационарных показателей
Чаще всего среднее значение спроса с течением времени меняется. Такое изменяющееся среднее принято называть трендом. Для краткосрочного прогноза часто достаточно ограничиться линейным трендом. Наиболее распространены две модели линейного тренда. При линейно-аддитивном тренде среднее изменяется на постоянную величину за время dt. В линейно-мультипликативной модели тренд меняется на постоянный процент, например, ежемесячно спрос может возрастать на 2%.
Рассмотрим подробнее линейно-аддитивную модель, при которой спрос меняется по формуле:
St = a + b * t + et (3.4)
где et - ошибка измерения. Если параметры модели a и b постоянны, их оценки можно получить по методу наименьших квадратов. Именно такие оценки реализованы в стандартных функциях Excel, предназначенных для прогнозирования
Однако можно рассматривать методы, когда предполагается, что и сами параметры меняются во времени. Метод, предложенный Холтом, использует ту же идею взвешенного суммирования, примененную в экспоненциальном сглаживании. Вот соотношения для расчета оценки прогноза и оценки параметра b:
Pt = α*St + (1- α)*(St -1 + bt -1 * dt) (3.5)
bt = β*(Pt - Pt -1)/ dt + (1-β)* bt -1 (3.6)
где dt - временной интервал между двумя последними измерениями. Прогнозируемое значение на момент времени
t+t1 вычисляется по формуле:
Ft + t1 = Pt + bt * t1 (3.7)
Некоторым недостатком метода является необходимость эмпирического задания двух констант α и β, задающих веса. В методе двойного сглаживания Брауна достаточно ввести одну константу. Прогнозируемое значение здесь вычисляется по формуле:
Ft + t1 = 2Pt - Qt + bt * t1 (3.8)
Двойное экспоненциально взвешенное среднее вычисляется из соотношения:
Qt = α Pt + (1-- α)Qt-1 (3.9)
Оценка коэффициента bt дается формулой:
bt = α /(1-- α)*( Pt -Qt) (3.10)
Есть и другие модели краткосрочного прогнозирования тренда, например, методы Бокса-Дженкинса.
1.5. Сезонный спрос
Сезонные колебания действуют независимо от других факторов и накладываются на ту или иную модель спроса. Проще всего учесть сезонный фактор, используя коэффициенты сезонности. Так, если, как обычно, принять сезонный цикл за год, можно иметь 52 недельных или 12 месячных коэффициентов сезонного спроса. Коэффициент сезонности представляет собой отношение среднего спроса за текущий период (месяц) к среднему значению за весь период цикла (год). Чтобы оценить значения коэффициентов сезонности, требуются данные за несколько лет. Достоверность результатов обычно можно повысить за счет того, что сезонные циклы одинаковы для разных товаров.
Если сезонные коэффициенты рассчитаны, то учет сезонности не вызывает трудностей для любой из моделей тренда. Вначале необходимо текущие значения очистить от влияния сезонности делением на соответствующий коэффициент. Затем применить обычный алгоритм прогноза и полученную прогнозную оценку умножить на коэффициент сезонности, соответствующий моменту прогноза.
1.6. Среднесрочный прогноз и методы регрессионного анализа
Для среднесрочного прогноза обычно применяются методы регрессионного анализа. Хотя ничто не мешает применять их и для краткосрочного прогноза. Они основаны на получении оценок по методу наименьших квадратов. Эти методы и реализованы в стандартных функциях Excel, так что рассмотрим их подробнее. Начнем с наиболее простой модели линейного тренда. В основе модели лежит уже упоминавшееся соотношение:
Yt = a + b* t + Et (3.11)
Это соотношение можно интерпретировать следующим образом. В каждый момент времени t измеренное значение спроса Yt является суммой неизвестной помехи Et и линейной функции времени с неизвестными (ненаблюдаемыми) параметрами a и b. Из-за помех решения, принимаемые на основе измерений, носят вероятностный характер. Найти точные значения параметров a и b в этих условиях невозможно, но, зная выборку Yt, можно вычислить оценки параметров. В статистике оценкой называют любую функцию от измерений. Оценки параметров a и b можно получить по методу наименьших квадратов из условия минимизации квадратичного функционала:
F(a, b) =
(Yt - (a +b*t))2 (3.12)При этом, когда мы имеем дело с линейной моделью, минимум этого функционала находится аналитически, и в случае двух параметров можно явно выписать конечные соотношения для оценок параметров a и b. В этом одно из преимуществ метода наименьших квадратов.
Прямая Yt = в + ^b* t , где a и ^b - оценки параметров, называется линией регрессии и используется для прогнозирования значений Y в произвольные моменты времени t. Конечно, чем дальше отстоит значение t от интервала наблюдений, тем вероятнее, что ошибка прогноза будет увеличиваться.
Метод наименьших квадратов хорош и с точки зрения статистики. Если предположить, что неизвестные нам помехи распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и, в общем случае, с заданной корреляционной матрицей, то полученные оценки обладают важными свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности. Мы не будем давать строгого определения всех этих терминов. Скажем лишь, что в классе несмещенных оценок наши оценки обладают минимальной дисперсией, т. е. минимальным разбросом относительно истинного значения параметров. Чем больше измерений, тем точнее оценки, так как уменьшается интервал, накрывающий истинное значение параметра с заданной вероятностью. Как ни странно, но практика показала, что предположения о характере помех зачастую оправдываются. В теории вероятностей этому факту есть хорошее объяснение. Недаром открытый Гауссом закон распределения называется "нормальным". Все (многое) в нашей жизни распределено по гауссиане.
Обобщим теперь постановку задачи на произвольное количество параметров, полагая теперь, что спрос может быть описан уже не линейной, а полиномиальной функцией времени, например:
Yt = a0 + a1 t + a2t2 + … + amtm + Et (3.13)
Это полиномиальное относительно времени соотношение остается линейным по отношению к неизвестным параметрам. Для простоты перейдем к матричной форме записи соотношений:
Y = X*a + E (3.14)
Здесь Y - вектор измерений, a - вектор параметров, E - вектор ошибок, X - прямоугольная матрица, элементы которой зависят от t и не зависят от параметров
a. Для полиномиальной зависимости нетрудно выписать явный вид ее элементов:
X = || tij.|| i= 1…n; j = 0..m; (3.15)
Число строк этой матрицы определяется моментами времени t1, t2, … tn, в которые производились измерения, а количество столбцов определяется степенью полинома. Квадратичный функционал F(a) в матричной форме имеет вид:
F(a) = (Y - X*a)T R-1 (Y - X*a) (3.16)
Продолжая обобщать постановку задачи, мы ввели корреляционную матрицу R ошибок измерений. В частном случае, когда отсутствует корреляция ошибок измерений и дисперсия их единична, матрица R превращается в единичную матрицу. Другой важный частный случай - диагональный, когда корреляция отсутствует, но дисперсия ошибки меняется от измерения к измерению. Величину, обратную к дисперсии -1/σ2 , можно рассматривать как вес измерения. Так что введение этой матрицы позволяет приписать разный вес измерениям, придавая, например, больший вес последним измерениям.
Все эти обобщения не нарушают возможности получения аналитического решения. Вектор оценок a, минимизирующий квадратичный функционал F(a), определяется по формуле:
a = Î-1 XT R-1 Y (3.17)
где Î - информационная матрица Фишера, вычисляемая из соотношения:
Î = XT R-1 X (3.18)
Наряду с вектором оценок нетрудно получить и его статистические характеристики. Поскольку оценки являются несмещенными, для полного знания распределения вектора оценок достаточно знать его корреляционную матрицу. В данном случае она является обратной к матрице Фишера.
Ra = Î-1 (3.19)
Даже если исходные измерения независимы, между оценками параметров может возникать корреляция. Правда, на практике чаще всего используют только значения их дисперсий.
До сих пор мы рассматривали временные ряды, и в наших измерениях присутствовал только один наблюдаемый параметр - время. В регрессионном анализе обычной ситуацией является проведение измерений, когда в каждой точке фиксируется несколько наблюдаемых параметров, влияющих на измеряемое значение. Применительно к задаче спроса такими параметрами могут быть, например, уровень текущей рекламы, количество конкурирующих товаров, погодные условия. Так что линейная относительно неизвестных параметров модель спроса в общем случае может быть такой:
