Файл: Дроздов Е.А. Многопрограммные цифровые вычислительные машины.pdf

Пример 2.17. Вычислить произведение 17X23. Множитель — 23

0391 — произведение.

Количество десятичных разрядов произведения не превышает суммарного количества цифр сомножителей. Знак произведения формируется логическим способом так же, как и при действиях с двоичными числами.

Одним из способов ускорения процессов умножения рассмотрен­ ного типа является комбинирование действий сложения и вычи­ тания. Для цифры множителя от б до 9 оказывается удобнее и быстрее вместо сложения производить вычитание столько раз, сколько единиц содёржится в дополнении цифры до 10. При такой замене сложения вычитанием к цифре следующего старшего раз­ ряда множителя добавляется единица. Вычитание реализуется в виде прибавления дополнения множимого.

Множимое или его дополнение прибавляется к текущей сумме частных произведений до тех пор, пока очередная цифра множи­ теля не будет сведена к нулю.

Как и для двоичных чисел, десятичное деление в машинах также реализуется в виде многошагового процесса. Одним из про­ стейших способов определения цифр частного является последо­ вательное вычитание делителя из делимого. После каждого

67

вычитания, если остаток неотрицательный, в соответствующий раз­ ряд частного добавляется единица.

Пример 2.19. Пусть требуется разделить 42 на 6 .

В данном примере после первого пробного вычитания полу­ чился отрицательный остаток, который затем был восстановлен. Однако и при десятичных числах можно производить деление, не восстанавливая остатка. Для этого достаточносдвинуть делитель на разряд вправо и продолжать деление, теперь прибавляя дели­ тель к отрицательному остатку с приписанным справа следующим разрядом делимого. После первого прибавления в очередном раз­ ряде частного устанавливается цифра 9. На каждом очередном этапе сложения содержимое этого разряда уменьшается на еди­ ницу. При новом появлении положительного остатка в разряде зафиксируется искомая цифра разряда частного. Далее осуще­ ствляется переход к определению следующей цифры частного.

Пример 2.20. Выполним процесс деления 42 на 6 по методу без восста­ новления остатка.

Частное

Если делимое не делится нацело, то для целей округления мо­ жет определяться дополнительная цифра частного.

Г л а в а III

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ И УЗЛОВ ЦИФРОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ

МАШИН

Элементы и узлы цифровых вычислительных машин являются цифровыми автоматами, преобразующими цифровую информацию в соответствии с определенными алгоритмами. Это позволяет опи­ сывать работу элементов и узлов с помощью конечных математи­ ческих ф 0 Р м Ул . а также осуществлять необходимые преобразова­ ния с целью получения наиболее простых, надежных и малога­ баритных структур. Элементы и узлы могут быть как автоматами с памятью, т. е. автоматами с хранением цифровой информации, так и автоматами без памяти, информация на выходах которых формируется только в зависимости от входной информации, подан­ ной в рассматриваемый момент времени. Автоматы первого вида во многих случаях более сложны и требуют для своего описания достаточно сложного математического аппарата. Однако их по­ строение в конечном итоге сводится к построению автоматов без памяти, представляемых обычно в виде так называемых функцио­ нальных или логических схем.

Алгоритм, реализуемый цифровым автоматом без памяти, опре­ деляется функциональным составом автомата и связями между его отдельными частями, т. е. его функциональной схемой. Наобо­ рот, если задан алгоритм, то функциональная схема автомата строится в соответствии с положениями этого алгоритма.. Переход от заданного алгоритма или заданных условий работы автомата к его функциональной схеме достаточно просто осуществляется при использовании аппарата алгебры логики— одной из состав­ ных частей математической логики. Этот аппарат обеспечивает, кроме того, поиск наиболее простых решений при построении эле­ ментов и узлов. Широкое использование алгебры логики в каче­ стве теоретической основы построения элементов и узлов ЦВМ объясняется тем, что ее исходные посылки, сводящиеся только к

69

двойственному представлению значений используемых понятий, хорошо согласуются с началами двоично-кодированных систем счи­ сления и основными принципами построения схем машин. Отме­ тим, что при построении схем сложных цифровых автоматов ис­ пользуют еще исчисление предикатов, алгебру событий и некото­ рые другие дисциплины.

§ 3.1. Начальные понятия алгебры логики

Фундаментальным понятием алгебры логики является понятие высказывания. Под в ы с к а з ы в а н и е м понимается всякое пред­ ложение, в отношении которого имеет смысл утверждение о его истинности или ложности. При этом считается, что высказывания удовлетворяют закону исключенного третьего и закону противоре­ чия, т. е. каждое высказывание или истинно, или ложно и не мо­ жет быть одновременно и истинно, и ложно. Примеры высказы­ ваний: «Киев — столица Украинской ССР», «Частное от деления десяти на два равно четырем» и т. п.

В алгебре логики каждое высказывание обычно обозначается, например, одной из прописных букв латинского алфавита (А, В, С, ...). При этом различные высказывания, т. е. высказывания, имеющие различное содержание, обозначаются различными бук­ вами. Содержание высказываний учитывается только при введении их буквенных обозначений. В дальнейшем высказывания оценива­ ются исключительно по их истинности или ложности, а конкретное их содержание не учитывается.

При логическом описании схем цифровых вычислительных ма­ шин значения истинности высказываний обозначают двоичными цифрами, считая, что если высказывание истинно, то значение его истинности равно единице, а если высказывание ложно, то значе­

что высказывание L истинно.

Каждое конкретное высказывание имеет вполне определенное значение истинности, которое может быть и переменным. Так зна­ чение истинности высказывания «Сегодня — пятое число месяца» равно единице в течение двенадцати дней в году; в течение осталь­ ных дней года оно равно нулю. При рассмотрении некоторого произвольного высказывания А без указания на его конкрет­ ное содержание значение истинности А следует считать пере­ менным.

70

Произвольное высказывание («высказывание вообще») можно рассматривать как некоторую переменную величину, принимаю­ щую только два значения: 0 или 1. Понятие произвольного вы­ сказывания широко используется при построении схем цифровых вычислительных машин, так как сигналы на входах и выходах

понимается произвольная величина, которая принимает только два значения: 0 или 1. Двоичные переменные обычно обознача­ ются через Х\, х2, хъ и т. д.

Кроме постоянных, т. е. имеющих вполне определенное значе­ ние истинности, и переменных высказываний в алгебре логики рассматриваются еще простые и сложные высказывания.

Высказывание, значение истинности которого не зависит от зна­ чений истинности других высказываний, называют п р о с т ы м . При абстрагировании понятия высказывания, что обычно и де­ лается при рассмотрении конкретных схем машин, простое выска­ зывание, являющееся произвольным, считается независимой двоич­ ной, или логической, переменной.

Высказывание, значение истинности которого зависит от значений

высказывания обычно обозначаются прописными буквами ла­ тинского алфавита; в этом случае простые высказывания обозна­ чаются строчными буквами.

Сложные высказывания подобно простым могут быть как по­ стоянными, так и переменными. Если исходные высказывания яв­ ляются переменными, то и сложное высказывание, составленное из них, как правило, также является переменным, принимая толь­ ко два значения истинности: 0 или 1. Если задать определенные значения истинности всем переменным исходным высказываниям, то и переменное сложное высказывание, составленное из них, при­ мет вполне определенное значение истинности. Таким образом, каждая формула, т. е. сложное переменное высказывание, опре­ деляет некоторую логическую функцию, аргументами которой яв­ ляются переменные исходные высказывания.

В связи с изложенным переменное высказывание часто обо­ значают как F(xu х2, х3, ...), считая F символом логической функ­ ции. Функция F является двоичной (переключательной) функцией, так как она принимает только два значения (0 или 1) и зависит от двоичных переменных. Количество значений двоичных функций и их аргументов ограничено, поэтому они описываются конечными таблицами.

71