Файл: Дроздов Е.А. Многопрограммные цифровые вычислительные машины.pdf

рассматриваемом примере, то производят округление, руководствуясь заданной

счисления.

Основание десятичной системы счисления в двоичной записи имеет вид 1010. Поэтому при переводе целую часть Д^2) будем последовательно делить, а дроб­

ную часть Ау) — последовательно умножать на число 1 0 1 0 .

последовательные преобразования, пользуясь таблицами сложения и умножения исходной системы счисления. Нетрудно самостоятельно убедиться, что эти таб­ лицы, например, для восьмеричной системы счисления будут отличными от таб­ лиц десятичной системы. .

33

Следует заметить, что кроме изложенных универсальных алгоритмов пере­ вод можно осуществлять непосредственно по формуле (2.2). На основе этой фор­ мулы, например, составляют программы машинного перевода чисел из десятич­ ной системы счисления в двоичную. Формула (2.2) также оказывается удобной при ручном переводе из восьмеричной или шестнадцатеричной системы в деся­ тичную (но не наоборот!). При этом вычисления выполняют по схеме Горнера:

— сначала находится произведение цифры старшего разряда числа на осно­ вание исходной системы счисления, к которому прибавляется следующая цифра переводимого числа;

— затем полученная сумма также умножается на основание, к произведе­ нию прибавляется следующая цифра и т. д. до последнего этапа, на котором осуществляется только прибавление цифры младшего разряда без последующего умножения.

Пример 2.3. Перевести восьмеричное число A(g) = 775 и шестнадцатерич­

Для осуществления автоматического перевода десятичных чи­ сел в двоичную систему счисления необходимо вначале каким-то образом ввести в машину эти десятичные числа, т. е. представить их с помощью комбинаций состояний двухпозиционных элементов, из которых построена машина. Для этой цели используется двоич­ но-десятичная запись (кодирование) чисел.

При двоично-десятичной записи каждая цифра десятичного чи­ сла заменяется четырехразрядным двоичным числом (тетрадой). Например, десятичное число/4(,0)= 983,65 в двоично-десятичной

записи будет иметь вид

Л(2—10) = 1°01 1000 0011 0110 0101.

Согласно сделанному выше замечанию относительно формулы (2.2) при пе­ реводе двоично-десятичного числа в двоичную систему счисления каждая деся­ тичная цифра, представленная двоичной тетрадой, множится на основание деся­ тичной системы в соответствующей степени, записанное в двоичной системе счисления. Искомое двоичное число формируется как сумма полученных произ­ ведений. Например,

183 = 1-102 + 8-101+3-100-н-0001.1100J00 + JOOO-IOIO + 001М = 10Ц0Ш.

34

В современных машинах, предназначаемых, например, для об­ работки экономической информации, характеризующейся большим количеством исходных данных и результатов, предусматривается возможность выполнения операций непосредственно в десятичной системе счисления над числами, представленными в двоично-деся­ тичной форме.

Восьмеричная система счисления используется при программи­ ровании задач для записи на бланках порядковых номеров команд, кодов операций и адресов в командах. Восьмеричная запись удоб­ на тем, что перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную осуществляется очень просто. Так как основание восьме­ ричной системы 8 = 23, т. е. представляет собой целую степень числа два, то для перевода восьмеричного числа в двоичное достаточно

Простота перевода восьмеричных чисел в двоичные позволяет осуществлять перевод программы в двоичное изображение с по­ мощью несложных шифраторов внешних устройств при наборе команд на соответствующей клавиатуре.

Для перевода двоичного числа в восьмеричную систему счисления вручную необходимо его разбить на триады вправо и влево от запятой и каждую триаду заменить восьмеричной цифрой. Если правая и левая крайние триады будут неполными, то двоичное число необходимо соответственно справа и слева дополнить нулями, как показано в примере перевода двоичного числа

А (2) = 1011110. 1011:

Простота и наглядность такого перевода упрощает чтение двоичных чисел, отображаемых на панелях сигнализации машин, и позволяет делать короткие восьмеричные записи считываемых таким образом двоичных кодов в процессе отладки программ и контроля работы машины.

Шестнадцатеричная система счисления, в которой основание 16= 24, широко используется в новейших отечественных и зарубеж­ ных многопрограммных ЦВМ. Она позволяет делать еще .более компактные записи двоичных кодов, что очень важно, поскольку диапазоны разрядности чисел, команд и специальных двоичных слов, которыми оперируют эти машины, стали значительно шире. Кроме того, в разрабатываемых и выпускаемых в настоящее время ЦВМ третьего поколения в качестве основной единицы информации все шире используется восьмиразрядный двоичный код — байт (от английского слова byte — слог). Переменные разрядности чисел и команд устанавливаются кратными байту. Двоичные коды байтов при записи на бланках удобно представляются двухразрядными шестнадцатеричными числами. Поэтому при подготовке к вводу в

35

I

такие машины программ, различных специальных слов и при пе­ чати выдаваемой информации, не переводимой в десятичную систе­ му, используется шестнадцатеричная система счисления. Примене­ ние ее оказывается не сложнее, чем восьмеричной системы. Отличие состоит лишь в том, что при переводе в шестнадцатеричную систе­ му счисления двоичные числа разбиваются влево и вправо от запя­ той на тетрады, а при обратном переводе каждая шестнадцатерич­ ная цифра заменяется двоичной тетрадой. Например, двоичному числу Л(2) = 1011 ОНО 1100 001 Соответствует шестнадцатеричное

"6 ""с"" Т'

Л(16) = В 6 СЗ и наоборот: Л(16) = А7-^ Л(2) == 1010 0111.

§ 2.2. Формы представления чисел

Для выполнения арифметических действий над числами цифро­ вая машина должна «уметь» оперировать положительными и отри­ цательными числами различных порядков.

В машинах числа представляются фиксированными или пере­ менными в определенных пределах количествами разрядов. Для представления чисел различных порядков применяются две формы изображения: полулогарифмическая с плавающей запятой и есте­ ственная с фиксированным положением запятой.

Полулогарифмическая форма представления с плавающей запя­

что в логарифмической форме представляется не все число, а толь­ ко его часть N~p.

В записи (2.4) положение запятой в мантиссе т определяется величиной порядка р. С изменением порядка в большую или мень­ шую сторону запятая соответственно перемещается влево или вправо, т. е. «плавает» в изображении числа.

В разрядной сетке машины число, соответствующее изображе­ нию (2.4), записывается в виде пары чисел ± р и ±т . Машины, использующие только такое представление чисел, называются м а-

36

то число А называют н о р м а л и з о в а н н ы м , в противном

мализованное. Во втором случае |/га | <-^-(нарушение нормализа­

ции вправо), где 10 (два) — основание двоичной системы счисле­ ния. В процессе вычислений возможно появление мантиссы | /га |>1 (нарушение нормализации влево). Такой случай может возникнуть, например, при сложении нормализованных чисел одинакового по­ рядка, в результате чего слева от запятой появляется единица.

Нормализованное представление чисел позволяет сохранять в разрядной сетке большее количество значащих цифр и, следова­ тельно, повышает точность вычислений, а также упрощает дей­ ствия над порядками и мантиссами. Однако может возникнуть не­ обходимость в выполнении действий и над ненормализованными числами. Поэтому в системах команд современных машин преду­ сматривается возможность выполнения действий как с автомати­ ческой нормализацией результатов операций, так и без нормали­ зации. Процесс нормализации состоит в сдвиге мантиссы влево или вправо таким образом, чтобы она удовлетворяла неравенству (2.5). Одновременно со сдвигом соответственно уменьшается или увели­ чивается порядок. При сравнительно небольших количествах раз­ рядов, отводимых на мантиссы и порядки, полулогарифмическая форма обеспечивает весьма широкий диапазон представления чи­ сел. Поэтому вычисления с плавающей запятой очень удобны для научных и инженерных задач, при решении которых часто прихо­ дится иметь дело с величинами, изменяющимися в больших преде­ лах. Широкий диапазон представления позволяет в подавляющем большинстве случаев решать задачи не прибегая к масштабирова­ нию используемых в них математических величин.

Пусть для представления значащих разрядов мантиссы /га и по­ рядка р в машине отводится соответственно I и q двоичных разря­

Такой диапазон представления двоичных чисел соответствует пред­ ставлению десятичных чисел в пределах 1 0 ~19< | Л(10)| < 1019.

Интересно отметить, что при том же количестве двоичных раз­ рядов I и q диапазон представления чисел можно существенно рас­

37