Файл: Дроздов Е.А. Многопрограммные цифровые вычислительные машины.pdf

Глава II

МАШИННАЯ АРИФМЕТИКА

§2.1. Позиционные системы счисления

ВЦВМ арифметические действия производятся над числами, представленными в виде специальных (машинных) кодов в приня­ той для данной машины позиционной системе счисления.

Под системой счисления понимается способ наименования и изо­ бражения чисел с помощью символов, имеющих определенные ко­ личественные значения.

Символы, применяемые для изображения чисел, называются цифрами.

В зависимости от способа изображения чисел с помощью цифр системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

Позиционной называется система счисления, в которой количе­ ственное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе.

Примером такой системы может служить общепринятая в на­ стоящее время арабская (десятичная) система счисления.

Внепозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении положения в записи чис­ ла, как, например, в римской системе.

Впозиционной системе счисления любое число, например сме­

шанное, записывается в виде последовательности цифр:

часть имеет т разрядов, а дробная — / разрядов.

Каждая цифра щ, в записанной последовательности может при­ нимать одно из некоторого количества N возможных значений,

т. е. N—1 ^ ah ^>0.

29

Количество (N) различных цифр, используемых для изображе­ ния чисел в позиционной системе счисления, называется основа­

нием системы счисления.

Основание (N ) позиционной системы счисления указывает, во сколько раз единица (&+1)-го разряда больше единицы младшего £-го разряда, а цифра ад соответствует количеству единиц k-ro раз­ ряда, содержащихся в числе. Учитывая это, число (2.1) можно представить в виде суммы

Основание N позиционной системы счисления определяет и ее название. Например, общепринятая десятичная система счисления имеет основание N=10. Любое число в этой системе записывается с помощью десяти различных цифр: ад= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Исторически так сложилось, что именно десятичная система оказалась общепринятой, широко применяемой при ручном счете и в электромеханических вычислительных устройствах. Для электрон­ ных цифровых вычислительных машин оказались удобными другие системы счисления (например, двоичная, восьмеричная и шестна­ дцатеричная с основаниями соответственно два, восемь и шестна­ дцать) .

Для записи чисел в двоичной системе счисления используются

цифрам добавлены шесть прописных букв латинского алфавита,

Втабл. 2.1 приведены примеры записи произвольного ряда де­ сятичных чисел в перечисленных системах счисления. Эти записи показывают, что основание любой системы счисления изображается цифрами той же системы в виде «10», хотя для десятичной системы это будет десять, для двоичной — два и т. д.

Вэлектронных цифровых вычислительных машинах наиболее просто реализуются процессы выполнения арифметических и ло­ гических действий над числами, представляемыми в двоичной системе счисления. Это объясняется следующими ее достоин­

ствами.

Во-первых, для представления двоичных чисел в машинах мож­ но использовать достаточно простые и надежные электронные эле­ менты, имеющие лишь два устойчивых состояния. Одно из таких состояний принимается соответствующим коду 1, другое — 0.

Во-вторых, в двоичной системе счисления очень просто выпол­ няются арифметические и логические операции над числами. Дей­

30

Многоразрядные двоичные числа складываются, вычитаются, умножаются и делятся по тем же правилам, что и в десятичной си­ стеме, как показано в табл. 2.4.

Некоторое неудобство двоичной системы счисления заключается в необходимости перевода в двоичную форму исходных числовых данных, представленных в десятичной системе. Однако данное

31

обстоятельство несущественно, поскольку этот перевод при вводе исходных данных в машину выполняется автоматически самой ма­ шиной по специальной подпрограмме или просто команде. Ана­ логичным образом и при выдаче результатов машина автоматиче­ ски переводит двоичные числа в десятичную систему счисления.'

Перевод числа (в общем случае любого смешанного) из десятичной системы счисления в двоичную и обратно обычно выполняется по универсальному алго­ ритму, заключающемуся: 1 ) в последовательном делении целой части и образую­ щихся целых частных на основание новой системы счисления и 2 ) в последова­ тельном умножении дробной части и дробных частей получающихся произведе­ ний на то же основание, записанное, как и в первом случае, в исходной системе счисления.

При переводе целой части получающиеся в результате процесса последова­ тельного деления остатки представляют цифры целой части числа в новой си­ стеме счисления, записанные цифрами исходной системы счисления. Последний остаток является старшей цифрой переведенного числа.

При переводе дробной части числа целые части, получающиеся при каждом умножении, не участвуют в последующих умножениях. Эти целые части пред­ ставляют цифры дробной части исходного числа в новой системе счисления, изо­ браженные цифрами старой системы. Значение первой целой части является пер­ вой цифрой после запятой переведенного числа.

Пример 2 .1. Требуется перевести десятичное число <4(1(y = 30.6 в двоичную

32