Файл: Голенко Д.И. Статистические модели в управлении производством.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 162
Скачиваний: 0
2. Если l>k, |
то |
разбиение 1-го |
порядка |
представляет |
собой измельчение разбиения k-ro |
порядка, |
т. е. при/>'г |
||
любые элементы |
ял |
и Я в из одного класса |
1-го порядка |
|
обязательно входят |
в один класс |
k-ro порядка. |
||
3. Все классы одного порядка |
содержат |
одинаковое |
число элементов.
Таким образом получилась некоторая иерархия клас сов, все множество П, состоящее из п\ перестановок, раз делилось на п классов 1-го порядка, каждый из которых
состоит |
из (п—1)! |
перестановок; |
с другой |
стороны, каж |
||||||||||||
дый класс 1-го порядка содержит (п—1) |
классов 2-го по |
|||||||||||||||
рядка, состоящих из (п—2)! |
перестановок и т. д., нако |
|||||||||||||||
нец, имеется п\ |
классов |
(п—1) |
порядка, каждый |
из кото |
||||||||||||
рых содержит ровно одну перестановку. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
Внутри каждого класса k-ro порядка классы |
(/г+1)-го |
||||||||||||||
порядка |
|
можно |
перенумеровать |
следующим |
образом. |
|||||||||||
Первым |
классом |
(&+1)-го |
порядка назовем класс с наи |
|||||||||||||
меньшим |
элементом на |
|
(k+l) |
|
месте; вторым |
назовем |
||||||||||
класс |
со |
следующим |
|
по |
возрастанию |
|
элементом |
на |
||||||||
{k+1) |
-м месте и т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Для нумерации всех перестановок используются чис |
|||||||||||||||
ла |
от |
1 до п!; причем |
первые |
(я—1)! чисел используют |
||||||||||||
ся |
для |
нумерации |
перестановок |
1-го класса 1-го поряд |
||||||||||||
ка; |
следующие |
(п |
1)! |
|
чисел — для нумерации |
переста |
||||||||||
новок 2-го класса |
1-го |
порядка |
и т. д., наконец, последние |
|||||||||||||
{п |
1)! |
чисел используем— |
для |
нумерации |
последнего |
п-го |
||||||||||
класса 1-го порядка. Далее внутри каждого класса |
1-го |
|||||||||||||||
порядка— |
|
производим разбиение |
на классы |
2-го |
порядка |
|||||||||||
и распределяем между ними имеющиеся |
(п |
1)! |
номеров. |
|||||||||||||
|
Продолжая эти рассуждения, получим общую фор |
|||||||||||||||
мулу |
для |
выражения |
номера |
перестановки—в зависимос |
ти от номеров классов различных порядков, в которые входит данная перестановка. Если обозначить номера классов k-x порядков в классах (k 1) порядков через /•„
то номер перестановки в общем ряду п\ перестановок оп |
||
ределится формулой: |
— |
|
N(n) |
= {h-\) |
( я - 1 ) ! + ( / 2 - 1 ) ( я - 2 ) ! + - |
•••-t-(Zf t |
-l) (n-k)l+ |
••• + ( / „ - 2 - 1 ) 2 ! + ( Z n - i - l ) + 1 - |
Практически W определяется как порядковый номер объекта в.ряду, составленном по возрастанию объектов; на каждом шаге классифицированный объект вычерки вается из ряда и оставшиеся объекты снова располага-
ются в порядке возрастания для определения следующего номера класса.
Покажем на конкретных примерах, как пользоваться
приведенной формулой. |
|
|
Пусть я = ( 1 , 4, 2, 3, 5), |
тогда /і = 1, так как |
в ряду |
1, 2, 3, 4, 5 этот объект занимает первое место; на |
втором |
|
шаге, вычеркнув 1, получим |
последовательность 2, 3, 4, 5 |
и определим /2 = 3, так как объект 4 стоит на третьем мес те; на третьем шаге, вычеркнув 4, получим последователь ность 2, 3, 5 и определяем / з = 1 , так как объект 2 стоит на первом месте; на четвертом шаге, вычеркнув 2, полу
чим |
последовательность 3, 5 и соответственно определим |
|||||
/ 4 = 1 . По |
формуле определяем |
Л^(я) = (1—1)4!+ (3— |
||||
— 1)3!+(1 — 1)2! + (1 —1)11 + 1 = 13. |
Для |
я = ( 4 , |
2, 1, 3), |
|||
Л » |
= (4—1)3!+ (2—1)2! + ( 1 — 1) + |
1=21. |
|
|||
Можно также предложить и другой способ определе |
||||||
ния |
4. Легко проверить, ЧТО ДЛЯ |
Я = (і'ь |
І% . . ., |
ih, • • ., Іп) |
||
lh = ik—zh, |
где 2ft — число элементов в |
перестановке я, |
стоящих левее іи и по своей величине меньше, чем ih) Дру
гими словами, |
определяется |
как |
число элементов мно |
||
жества |
{ij |
• j < k, |
ij < |
Іи). |
|
|
|
||||
Покажем теперь, как найти перестановку я по задан |
|||||
ному Л''(я) и числу элементов |
перестановки п. |
Применяя |
|||
к выражению |
N (л) |
метод последовательного |
деления, |
||
получим: |
|
|
|
|
|
ЛЧ л ) - 1 = ( / і - 1 ) ( я - 1 ) ! + <7і
<? і = ( / 2 - 1 ) ( я - 2 ) ! + ?2
|
qn-3= |
( / п - 2 - 1 ) 2 ! |
+<7п- |
|
|
||
|
оп-г |
= [In-i — |
1) • |
— l |
|
|
|
Здесь qx— |
остаток отделения |
N(n) |
на (п— 1)!, |
a q% |
|||
(2^i^n—2) |
—остаток от деления |
qt-i |
на |
(п—і')!. |
|
||
Будем считать, что U—\=h—1= |
• • • = ln-2—1=0, |
если |
|||||
TV (я) — К |
(п— 1)!, <7!<(п—2)!,..., <7„_3<j2! |
соответст |
венно. Последнее вытекает из того, что мы не выходим за пределы множества целых чисел. Значения <7г(1^г'^«— —2) располагаются в убывающий ряд
<7і5г<72^ ••• 5г< ? п -2^0
и определяются соответствующие значения U по форму лам:
, , . [ ^ 1 + 1 .
где квадратные скобки обозначают целую часть числа. На основе полученной последовательности получаем
зт=(іі, «г,..., in) |
следующим |
образом. Принимаем |
i\ — U |
||
и вычеркиваем |
число i"i из |
последовательности |
чисел |
||
1,2, |
...,п, затем |
определяем |
U |
как число, стоящее на |
|
І2-м |
месте в последовательности |
с вычеркнутым ЧИСЛОМ І], |
после определения вычеркиваем это число из последова
тельности 1, ... , п и определяем |
із как число, стоящее на |
|||||||||
/3 -м месте в последовательности |
с вычеркнутыми |
І\ и |
і2 |
|||||||
и т. д. На последнем |
шаге определяется і п как |
единствен |
||||||||
ное незачеркнутое число последовательности |
1, 2,..., |
п. |
||||||||
Приведем несколько примеров. |
|
|
|
|
||||||
1. М ( я ) = 3 8 ; я = 5 |
+ i= 2, |
|
|
|
|
|
||||
/ 1 = |
r |
3 8 - 1 |
" |
<7i = 37-- 24=13, |
|
|
||||
- |
4! |
|
|
|
||||||
І2 = |
" |
13 |
|
+ i= |
3, |
<?2 = 13 - 2 X 6 = 1 , |
|
|
||
- |
3! |
- |
|
|
||||||
h = К - ] |
+ i= |
1, |
<7з = 1 - |
0-2 = 1; |
|
|
|
|||
U = |
(А, І2, /з, Ц) = |
|
|
|
|
|
|
|||
Итак, имеем |
(2, З, I , 2). |
|
|
|
|
|||||
і\=1\ = 2, последовательность |
1, 2, 3, 4, 5 после |
вычер |
||||||||
кивания двойки имеет вид 1, 3, 4, 5; |
|
|
|
|
||||||
і2 = 4, так |
как на третьем |
месте в последовательности |
||||||||
1, 3, 4, 5 стоит 4. После вычеркивания |
четверки |
имеем |
||||||||
последовательность |
1, 3, 5; |
|
|
|
|
|
|
|||
і 3 = 1 , так |
как первым членом в последней |
последова |
тельности является 1. После вычеркивания имеем после довательность 3, 5;
t4 = 5, так как /4 = 2 и в последовательности 3, 5 на вто
ром месте стоит 5; |
|
|
i 5 = 3 , |
так как |
после вычеркивания в последователь |
ности 3, |
5 пятерки |
остается число ЗІ |
Итак, я = (2, 4, 1, 5, |
3). |
|
|
|
|
|
|
2. Ы(я)=38, |
п = 6 |
|
|
|
|
|
|
|
Г 38-1 |
1 |
= |
1, |
<7i = |
37, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2, |
(72 |
13; |
||
|
|
|
|
3, |
<7з |
1; |
|
|
|
|
|
1, |
? 4 |
1, |
/5 = (74 + 1=2. |
соответственно |
я = ' ( 1 , |
3, 5, 2, 6, 4). |
|
|
с т станками и |
||
В задаче календарного планирования |
п деталями при индивидуальных технологических марш рутах любой действительный план AeZ) однозначно оп ределяет т перестановок из п объектов, т. е. вектор-пе
рестановку |
я = (яь Яг |
я т о ) , где перестановка |
Я і ( І ^ і ^ т ) |
указывает последовательность обработки |
деталей на і-м станке.
С помощью лексикографической метрики можно каж дой перестановке я, поставить в соответствие ее норму
N(m) и таким образом |
каждому |
плану А |
будет |
постав |
лена в соответствие целочисленная точка |
X из т-мерно- |
|||
го эвклидова пространства Я. Эти преобразования |
схема |
|||
тически запишутся в виде |
|
|
|
|
А |
я |
X |
|
|
A^D |
Я<=П |
І Є Н |
|
|
|
|
|
|
Чтобы практически организовать поиск, необходимо уметь перейти от целочисленной точки к конкретному расписанию А, дающему время начала всех операций по каждой детали. Это делается в два этапа: на первом этапе по целочисленной точке X находим вектор-переста новку я; на втором — строим сетевую модель, у которой элементарными работами являются деталеоперации, а в качестве связей выступают технология (последователь ность) обработки каждой детали и указанные вектором я последовательности обработки даталей на соответст вующих станках. Применяя к построенной сети алгоритм Форда, мы определим (вычислим) план А (если он суще-