Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 164
Скачиваний: 0
где оператор Даламбера определяется следующим образом:
V с 2 дР
Так как / (г, t) —известная функция, которая выражается согласно (1.11) через старые потенциалы, можно решить это уравнение отно
сительно Л, накладывая |
необходимые |
граничные условия на со |
|
ответствующие А и ср. Эти |
новые потенциалы будут тогда удовлет |
||
ворять условию Лоренца. |
|
|
|
Если условие Лоренца для потенциалов выполняется, уравне |
|||
ния Максвелла (1.6) и |
(1.8) принимают |
вид |
|
|
• |
Ф = — 4лр, |
(1.13а) |
|
• |
А = — — j . |
(1.136) |
с
Следует отметить, что наложение условия Лоренца еще не означает однозначного выбора потенциалов. Можно выполнить преобразова ния (1.9), в которых как старые А и ср, так и новые А и ср удовлетво
ряют |
уравнению (1.10). |
Как видно из (1.12), в такие преобразо |
вания |
входит функция, |
удовлетворяющая условию |
|
|
• А = 0. |
Можно, конечно, наложить какое-либо другое полезное калиб ровочное условие, совершенно отличное от условия Лоренца.Един ственная трудность, возникающая при этом, заключается в том, что, в то время как условие (1.10) ковариантно относительно преоб разования Лоренца, другое условие, вообще говоря, не будет обла дать этим свойством. Условие Лоренца включает свертывание 4-градиента
|
/ |
1 д |
|
с |
4-вектором (АДср), и результирующее |
выражение будет одним |
|
и |
тем же в любой системе координат. В то же время, например, |
||
условие |
|
|
|
|
|
V-A = 0 |
(1.14) |
не является ковариантным. Следовательно, каждый раз, когда мы рассматриваем нашу физическую систему в другой системе отсчета, условие, которое накладывается на А и ср, меняется, а вместе с этим меняется также математическая задача нахождения А и ср. Во многих случаях это может быть значительным неудобством, по скольку приводит к потере изящества и математической простоты явно ковариантной формулировки. С другой стороны, для наших целей такие недостатки часто могут компенсироваться специфиче скими упрощениями, которые возникают, например, при исполь зовании калибровки, определяемой уравнением (1Л4).
2* |
19 |
Калибровка, в которой
V - A = 0,
называется поперечной, или кулоновской, калибровкой. Если ис пользовать эту калибровку, то из уравнения (1.6) получим обычное уравнение Пуассона для скалярного потенциала
у2 Ф(М) = - 4 я р ( г , 0 , |
(1.15) |
решение которого хорошо известно: |
|
Ф(М)= Г - ^ Ч т ^ г ' . |
(1.16) • |
Происхождение названия «кулоновская калибровка» для условия (1.14) возникает из последнего результата, из которого видно, что скалярный потенциал определяется зарядом и мгновенным кулоновским взаимодействием. Потенциал в момент времени t опреде ляется положением заряда в тот же самый момент t. Это противо речит требованию специальной теории относительности, которое гласит, что ни один сигнал не может распространяться быстрее скорости света. Поскольку уравнения Максвелла обязательно должны подчиняться специальной теории относительности, проти воречие в действительности является кажущимся. Оно возникает из-за использования условия (1.14), которое не является явно реля тивистски ковариантным. Это противоречие можно устранить, если вспомнить, что ср (г, t) непосредственно не наблюдается, а наблю дается только в комбинации
с / j \ |
і j \ |
1 |
ЙА (г, /) |
. |
|
Е (г, t) — —\7ф (г, 0 |
с |
dt |
|
||
|
|
|
|
||
В процессе вычисления этой величины |
устраняется |
запрещенная |
|||
теорией относительности «мгновенная» часть в Е (г, t), |
порождаемая |
||||
слагаемым \7ф (г > 0 . которое содержит заряд, движущийся в момент
времени |
t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторный |
потенциал определяется |
уравнением (1.8), |
которое |
|||||||
для кулоновской калибровки |
записывается |
в виде |
|
|||||||
|
|
• |
А |
= |
- |
^ |
] + |
- ^ |
, |
(1.17) |
|
|
|
|
|
|
с |
|
с |
at |
|
где Ф уже известно из (1.16). Из уравнения |
непрерывности и выра |
|||||||||
жения |
(1.16) |
получаей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V -dt^ |
= |
- |
v |
fJ |
I г—г' | |
|
(1.18) |
|
где штрих у оператора градиента обозначает производную по пере менной г'. Используя этот результат, мы увидим (см. стр. 22), что в уравнение (1.17) войдет лишь поперечный ток j ' , т. е.
• • А ( г , 0 = - — j ' ( r , 0 - |
(1-19) |
Ток единственным способом разделяется на поперечную и про дольную части
j = j ' + j ' , |
(1.20а) |
где |
|
V i ' = 0, |
(1.206) |
V X J ' = 0. |
(1.20в) |
Соотношения (1.19) и (1.206) обеспечивают выполнимость условия поперечной калибровки (1.14). Разбиение на слагаемые в (1.20) можно понять, если рассмотреть
j ' ( r , / ) = f |
V X V X |
f - l i l ^ l r f r ' |
(1.21а) |
|||||
4я |
|
|
J |
| г — г |
| |
|
||
J4r./) = - |
f v |
P |
^ |
^ |
* |
| |
' . |
(1-216) |
|
4я |
J |
| г — г |
|
|
|
||
Ясно, что эти величины удовлетворяют уравнениям (1.206) и (1.20в) Кроме того, интеграл в (1.216) можно записать в более удобной форме. Сначала «проинтегрируем по частям» правую часть (1.216), написав
- f j ( r ' , f ) - V |
1 |
dr', |
(1.22) |
J |
I г — г |
I |
|
где использовано векторное тождество для дивергенции от произве дения скаляра s на вектор v
V-(sv)=--v-vs + sv-v. |
(1-23) |
В силу теоремы Гаусса первое слагаемое в (1.22) можно преобра зовать в поверхностный интеграл
н г ' . а , . ^ . - .
г — г
S1
Поскольку можно считать, что распределение зарядов и токов лока лизовано в ограниченной области пространства, этот интеграл будет исчезающе мал, если поверхность S' достаточно велика и охваты вает все пространство, которое содержит источники тока. Таким образом, мы перенесли действие оператора. \ на функцию 1/| г — г' |. Используем далее симметрию этой функции, чтобы заменить про изводную по г' производной по г. Тогда второе слагаемое в (1.22) примет вид
і (г', 0-V'
n |
' |
' v |
l r - r ' І |
= \i(r',t)-V—l—dr' |
= w \ - ^ ! т ^ ' , |
(1.24) |
где последнее равенство получается из-за того, что оператор v не действует на функции от г', например на j (г', /). Таким образом, имеем из (1.21а) и (1.24)
J ' + J ; = |
T - [ V X V X f - f ^ ^ U r ' - v v - |
J |
[i^—^dr' |
||
|
4л L |
J |
I г — г ' I |
l г — г ' \ |
|
и, используя |
тождество |
|
|
|
|
получаем |
|
V X V X v = v ( V - v ) — V 2 |
v, |
(1.25) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
J ' + J 1 |
- j - |
f j C r ' . O v 3 - ; — ^ - г г ^ г ' . |
||
|
|
4я J |
I г — r |
1 |
|
Этот интеграл легко взять, так как согласно закону Кулона еди ничный точечный заряд создает потенциал вида 1/|г — г'|. Ис пользуя уравнение Пуассона (1.15), получаем
V 2 , 1 ,, = —4пб(г—г'), |
(1.26) |
где б (г — г') —трехмерная дельта-функция Дирака. В результате имеем
i ' + j ' = $ j ( r \ 0 6 ( r - r ' ) d r ' = j ( r , 0 ,
что и доказывает правильность разбиения (1.20а) тока j на слагаемые (1.21). Кроме того, ясно, что из (1.17), (1.18), (1.20а) и (1.21) следует уравнение (1.19). Следовательно, при поперечной калибровке век торный потенциал определяется только поперечной частью источ ника.
Поперечная калибровка особенно полезна при рассмотрении областей, не содержащих источников. В этом случае можно взять в качестве решения уравнения (1.15) ср = 0, а векторный потенциал будет удовлетворять уравнению, в которое источники не входят:
•А = 0.
Пользуясь решением этого уравнения, которое удовлетворяет соответствующим граничным условиям, можно получить напряжен ности электромагнитного поля
Е = — , H = v X А .
сdt
§1.2. Взаимодействие электромагнитного поля с заряженными частицами и законы сохранения
Прежде чем дальше рассматривать физические свойства полей, описываемых уравнениями Максвелла, обсудим, как связаны друг с другом электромагнитные поля и заряженные частицы в клас сической электродинамике. Это означает, что в дополнение к ска занному о том, как заряды и токи создают поля [что мы делали
