Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 166
Скачиваний: 0
в связи с уравнениями (1.1)], следует также рассмотреть, как поля действуют на заряженные частицы. Это видно из выражения (1.3) для силы Лоренца, которое мы теперь объединим с законом Ньютона и запишем в виде
dp |
: j р (г', t) Е (г', t) dv1 |
j j (r', t) x H (r', і) dr\ (1.27) |
|
dt |
|||
|
|
где полагают, что величина
Р =
является релятивистским импульсом распределения заряда, на кото рое действует электромагнитное поле. Если мы рассматриваем частицу с зарядом q, то
|
|
р ( г , 0 = ? 6 ( г - г р ( * ) ) , 1 |
|
|
|
||
|
|
j ( r , 0 = <7v6(r-rp (0),J |
|
[ • |
' |
||
где Гр (t) — координаты частицы в |
момент |
времени t, a |
v |
= |
|||
= drp |
(t)/dt— ее |
скорость. |
Величины |
(1.28) |
удовлетворяют |
урав |
|
нению |
непрерывности, так |
как |
|
|
|
|
|
|
ЩЛ. |
= -qv |
•V 6 (г - r p (0) = - |
V j (г, *)• |
(1 -29) |
||
от
Подставляя (1.28) в уравнение (1.27), можно следующим образом записать уравнение движения для отдельной частицы:
dp |
= ? J E ( r p |
(0, Q + у xH(rp (/),*)' |
(1.30) |
|
~df
Значения напряженности поля берутся в точке, где находится час тица. Кроме того, мы видим, что изменение энергии частицы в еди ницу времени дается выражением
|
dp |
|
d |
— |
|
mv |
= |
|
|
||
|
v-—— = v |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dt |
dv |
dt |
|
У I — v°-Jc°~ |
|
dv2 |
|
||
У |
mv |
|
, |
1 |
|
v |
1 |
|
|
||
I— а 2 / с |
|
dt |
dv2 |
2 c2 |
1— u2/c2 |
dt |
|
||||
— |
1 |
m |
|
— |
d |
yi-vn-/c" |
' |
CI ЗП |
|||
|
2 ( l - u 2 / c 2 ) 3 / 2 , |
dt |
|
|
dt |
. |
|||||
которое является производной по времени от релятивистской энер гии W = тс2/У 1 — о2 /с2 частицы. Таким образом, с помощью выражения (1.30) получаем
^ = ? v - E , |
(1.32) |
или для распределения заряда
^ = J j ( r ' , 0 - E ( r ' , 0 d r ' . |
(1.33) |
Соотношения (1.27) и (1.33) описывают действие электромагнит ного поля на заряженные частицы. Мы можем теперь задать вопрос,
каким образом эти выражения связаны с законами |
сохранения |
|
энергии и импульса. Очевидно, что поскольку |
ни dp/dt, ни dW/dt |
|
не равны нулю, то, для того чтобы получить |
законы |
сохранения |
для системы взаимодействующих частиц и полей, необходимо ввести энергию и импульс электромагнитного поля. Например, распреде
ления |
заряда и тока в (1.27) можно всегда |
выразить |
через |
поля |
|||||
в этой |
области с помощью |
неоднородных |
уравнений |
Максвелла |
|||||
|
|
|
p(r', 0 = - f - V ' - E ( r ' , t), |
|
|
||||
|
|
|
|
|
4л |
|
|
|
|
|
j ( r ' , 0 = ~ |
су' хН(г ' ,0 — Э Е ( г ' , О |
|
|
|||||
|
|
|
4л |
|
|
|
dt |
|
|
и получить |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
^ = = - L f E ( r ' , / ) v ' - E ( r ' , O d r ' + |
|
|
|||||
|
|
dt |
4л J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
dE(r',t) x H (r ' , i )dr' . |
(1.34) |
||
|
+ i J [ v ' x H ( r ' ' ° - v |
dt |
|
|
|
||||
Далее • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ^ E - x H = 4 - ( E x H ) - E x ^ - - 4 ( E x H |
) + c E x ( V ' X E ) . |
||||||||
dt |
dt |
|
|
|
dt |
dt |
|
|
|
так что выражение |
(1.34) можно записать в виде |
|
|
||||||
|
dt |
= — ± - |
4 |
Г Е (г', t) X Н (г', t) dr' + |
|
|
|||
|
|
4яс |
dt J |
|
|
|
|
||
|
+ — Г [ E v ' - E — E |
x (V' X E) — H x (V' X H)] dr'. |
(1.35) |
||||||
|
4nJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы попытаемся интерпретировать первый член в (1.35) |
как ско |
|
рость изменения |
импульса поля и преобразовать второй |
интеграл |
в поверхностный |
интеграл, содержащий поток импульса поля |
|
через границу соответствующего объема интегрирования. Чтобы
выполнить эту работу, начнем с той части подынтегрального |
выра |
|
жения, которая относится к электрическому |
полю: |
|
Е у ' - Е — E x ( v ' X E ) = E V ' - E + (E-V')E |
~V (E2 ). |
(1.36) |
Здесь мы использовали векторное тождество для градиента от ска лярного произведения двух векторов. Это выражение в свою очередь
может |
быть записано как дивергенция |
аффинора* |
|
|
Е Е - ^ - / Е 2 |
] , |
(1.37) |
г д е / |
— единичный аффинор, или идемфактор. |
|
|
Остальная часть подынтегрального выражения второго интегра ла в (1.35), относящаяся к магнитному полю, может быть рассмот рена по аналогии с (1.36) и (1.37), если вспомнить, что четвертое уравнение Максвелла позволяет нам добавить равное нулю слагае мое Н (v'-H). Тогда эта магнитная часть будет выражаться в той же самой форме, что и (1.36). Таким образом, выражение (1.36)
может быть в следующем виде записано |
через вектор p>ield и аф |
финор Т, которые описывают импульс |
поля: |
_d_ (P + P/ J S / r f ) = j V - *Tdr'. dt
С помощью теоремы Гаусса второй член может быть преобразован
в поверхностный интеграл |
по поверхности S': |
|
|
.(p + pf/«w)= j |
dS'-T. |
(1.38) |
|
dt |
|
|
|
Импульс поля определяется следующим образом: |
|
||
p/*«w=_L_ |
Ге (г', Ox |
H(r',t)dr', |
(1.39) |
4лс |
J |
|
|
т. е. выражается как объемный интеграл от вектора |
плотности |
||
импульса |
|
|
|
N(r ',0 = - r - E(r ',OxH (r ',0 . |
(1.40) |
||
|
Акс |
|
|
Поток импульса поля через поверхность выражается через поверх ностный интеграл от аффинора
Е Е + Н Н і - / ( Е 2 + Н 2 ) |
(1.41а) |
4st
* Аффинором называется линейный оператор, который действует в трех мерном пространстве и переводит один вектор в другой. Матрица этого пре образования состоит из девяти элементов, совокупность которых образует тензор второго ранга. Единичный аффинор, или идемфактор, — э т о тождест венное преобразование, матрица которого представляет собой единичную матрицу 3 X 3 . (Подробнее см. [253, разд. 1.6], а также Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М., «Наука», 1967.) В русской ли тературе по классической электродинамике эта терминология обычно не применяется. — Прим. перев.
или с использованием обозначений тензора второго ранга
|
T u = z |
T A E i E j + H i H j ~ ^ ^ u { E % + H ' 2 ) ] ' |
( L 4 1 6 ) |
|
где б,-;- — символ |
Кронекера. |
Тензор (1.41) называется |
тензором |
|
напряжений |
Максвелла. |
|
|
|
Главный |
вывод из соотношения (1.38) заключается |
в том, что |
||
в области, окруженной поверхностью S', на которой исчезает элект |
||||
ромагнитное |
поле, так что |
|
|
|
|
|
[ |
dS'- Т = 0, |
|
сумма импульсов р + pi'eld |
системы, состоящей из частицы и поля, |
|||
сохраняется. Тот факт, |
что поле обладает |
импульсом, |
является |
|
одним из подтверждений |
его объективного |
существования, хотя |
||
это еще не является полностью |
доказанным |
до тех пор, пока не |
||
рассмотрены электромагнитные |
волны. Наличие у поля |
импульса |
||
наводит на мысль, что оно также является носителем энергии. Это может быть установлено с помощью второго неоднородного уравне ния Максвелла (1.16), которое позволяет переписать соотношение (1.33) в виде
су' X Н (г', /)- дЕ(г' ,ty dr. |
(1.42) |
dt |
|
Метод рассмотрения подобен нашему методу получения закона сохранения импульса. Интегрируем первое слагаемое в (1.42) по
частям, используя |
векторное тождество |
|
|
||
V'- ( E x H ) = |
H . ( V ' x E ) - E - ( v ' x H ) |
(1-43) |
|||
и теорему Гаусса. |
Тогда |
|
|
|
|
<М |
1 |
сН- ( V X Е) —Е- |
— dr'- |
|
|
dt |
4л |
|
|||
|
|
dt |
|
||
|
|
— |
Г ( E x H)-dS'. |
|
(1.44) |
4л J s-
В интеграл по поверхности 5' входит подынтегральное выражение, сходное с выражением (1.40) для плотности импульса поля. Введем
вектор Пойнтинга
S (г', 0 = - г ( Е (г'> 0 х Н (г'' 0) = с2 N (г', t) |
(1.45) |
4л
и, используя уравнение (1.1в), напишем
dW |
|
Н |
дН |
Е |
дЕ |
dr' — |
J |
S-dS' |
dt |
4л |
dt |
dt |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
5' |
|
или |
_d_{W + W'Md) |
|
|
|
|
|
||
|
= — ^ S-dS', |
|
(1.46) |
|||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
где величина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wiieid = |
A_ f (E2 + |
H2 )dr' |
|
(1.47) |
|||
определяется как энергия электромагнитного поля. В выражении (1.46) поверхностный интеграл от вектора Пойнтинга представляет собой убыль энергии поля через поверхность S' в единицу времени и связан, согласно (1.45), с поверхностным интегралом от плотности импульса поля. Если интеграл в (1.46) равен нулю, то, как следует из (1.46), суммарная энергия частиц и поля сохраняется.
Установив, что электромагнитное поле обладает энергией и импульсом, можно задать вопрос о том, какие другие физические величины системы «поле плюс материальные частицы» обладают такими свойствами, чтобы их сумма сохранялась. Важнейшей сохраняющейся величиной, которую мы можем сконструировать на данном этапе, является угловой момент. Это будет иметь для нас особую важность в последующем рассмотрении, так как мы знаем, что ядра претерпевают электромагнитные переходы, в кото рых изменяется спин ядра. Поэтому способность электромагнит ного поля нести угловой момент будет существенна, если эта вели
чина сохраняется. |
Воспользуемся уравнением (1.30), чтобы рас |
|||||
считать скорость изменения |
во времени |
углового момента |
частицы |
|||
L = г X р: |
|
|
|
|
|
|
dL |
dp |
|
E(r,t)+— |
|
x H ( r , 0 |
(1.48) |
7 = r |
x 7 = ? |
r x |
с |
|||
или для пространственного |
распределения |
заряда |
|
|||
|
|
|
р(г,0Е(г, 0- |
|
||
|
1 |
|
t)xH(r,t) dr. |
|
(1.49) |
|
|
+ — j ( r , |
|
||||
Еще раз воспользуемся неоднородными уравнениями Максвелла и получим
С dL |
, |
I |
|
f |
Г X |
EV-E + ( V X H ) x H - 4 §-хН" dr, |
|
J |
—- |
dr = |
— |
|
|||
dt |
|
4л |
ь |
|
|
С 01 |
|
где величины в квадратных скобках фигурируют в подынтеграль ном выражении в уравнении (1.34). Вычисляя их подобно тому,
