Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf

равенства (1.52) дает возможность использовать теорему Гаусса и написать

где М — псевдотензор второго ранга с компонентами

зз

Соотношение (1.53) выражает тот факт, что электромагнитное поле имеет угловой момент, который в комбинации с угловым моментом частицы является сохраняющейся величиной. Поток углового мо­ мента через поверхность дается поверхностным интегралом от.

тензора М, тогда как плотность углового момента поля выражается векторным произведением координаты г на плотность импульса поля

§ 1.3. Плоские волны

Рассмотрение законов сохранения было проведено для поля, взаимодействующего с заряженными частицами, но оно касалось главным образом свойств поля: его энергии, импульса и углового момента. Теперь мы кратко обсудим некоторые другие свойства электромагнитного поля в классической физике, а именно природу полей в отсутствие источников. Для этого используем поперечную калибровку [см. (1.14) — (1.16), (1.19)]. Тогда скалярный потенциал равен нулю, а векторный потенциал является решением уравнения

с калибровочным условием поперечности

Решение этих уравнений, например, в декартовых координатах, конечно, очень хорошо известно. Для данного волнового вектора к имеем

а более общее решение является непрерывной суперпозицией таких векторных функций. Подставляя предполагаемое решение (1.57) в уравнение (1.55), мы видим, что указанное уравнение удовлетво­ ряется при условии, что величина волнового вектора связана с час-

тотой соотношением к — а/с. Условие поперечности будет удовлет­ ворено, если для каждого волнового вектора мы имеем

Поскольку плоские волны составляют полный набор, то супер­

дает общий вид векторного потенциала, удовлетворяющего урав­ нениям (1.55) и (1.56). Таким образом, можно в принципе удовлет­ ворить граничным условиям, которые налагаются на А в силу наличия источников в области, внешней по отношению к области, рассматриваемой в уравнении (1.55). Практически обычно исполь­ зуют решение в декартовых координатах только тогда, когда гра­ ничные условия достаточно легко формулируются для этой системы координат. Обычно накладывается требование периодичности реше­ ния на каждой грани куба с ребром L . Это требование отбирает волновые векторы, удовлетворяющие условию

к дискретной сумме, которая далее может быть преобразована с по­ мощью требований, накладываемых на А. Учитывая (1.60), полу­ чим число различных значений частоты, содержащихся при данной

Экспоненциальная форма записи для плоских волн в выражениях (1.57) и (1.59) является более предпочтительной по сравнению с решениями в виде синуса и косинуса) которые также могут быть использованы), поскольку экспоненциальная запись дает особенно простые алгебраические выражения для интересующих нас раз-

личных величин. Например, с помощью (1.4) и (1.5) можно получить выражения для напряженностей. Для заданной частоты имеем

Таким образом, напряженности Е и Н в вакууме имеют одинаковую абсолютную величину и три вектора {k, Е, Н} образуют правовинтовую систему. В этих выражениях все еще остается неопределен­ ным нормировочный коэффициент Nk для данного волнового век­ тора. Существует много способов, чтобы найти его. Например, можно подставить выражения (1.62) и (1.63) в (1.47) и вычислить энергию для данного волнового вектора в объеме L 3 , а затем какимлибо удобным способом нормировать на соответствующие значения \уfield (к) Вычисление по формуле (1.47) с комплексными зна­ чениями Е и Н тогда дает

Здесь использовано условие (1.58). С помощью выражения (1.64) можно связать его с соответствующей энергией

где к — единичный вектор в направлении вектора к. Безотноси­ тельно к конкретному виду Wfuld (к) соотношение (1.67) является естественным следствием теории, основанной на уравнениях Мак­ свелла. Однако, как мы увидим в гл. 3, квантовая теория электро­ магнитных волн приводит к конкретному виду этой величины,

аименно