Файл: Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов.pdf

РІА.-А,-...

-Ап)

=

П Р { Л , } ,

(1.7)

(=1

для п несовместных

событий

Р{А,+

А2+

... +

Ап)

= S P { A - } .

(1.8)

Р{А}

=

f Р {Ht}

Р {АІНі).

(1.9)

Например, если Я х — работа реактора

на мощности, Я 2 — простой

реактора, А — повышение

активности

в реакторном зале выше не­

которого-уровня,

причем

известно, что P ( # j } = 0 , 9 ;

Р ( Я 2 } = 0 , Г ,

РІА/Н^

= 0,01;

Р\А/Н2]

=

0,005, то вероятность события А для

такого

реактора

Р {А} = Р {НГ} Р {А1НЛ}

+ Р {Я2 } Р {Л/Я,} =

0,0095.

P{Ht/A} = * { Н і ] Р { А / Н і } ,

(1.10)

*

З д е с ь под г и п о т е з о й НІ п о н и м а е т с я п р е д п о л о ж е н и е о т н о с и т е л ь н о п о я в ­

л е н и я

с о б ы т и я Ні.

н о й, например

число остановок реактора АЭС в течение года. Ко­

гда возможные

значения случайной величины непрерывно запол­

на числовой оси, ее называют

н е п р е р ы в н о й ,

например по­

грешность эксперимента.

И н т е г р а л ь н ы м

з а к о н о м

(или функцией)

распреде­

ления случайной величины X называется

функция

F(x),

численно

равная вероятности, что

случайная

величина X примет

значение

меньшее, чем х:

F

(х) =

Р{Х<х);

О < F (х) < 1, F (—

оо)

= О,

F (оо) =

1.

F3 (х)

= т (х)/п.

(2.2)

Для

дискретных

случайных

величин F(x)

представляет

собой

ступенчатую функцию.

Для

непрерывных

случайных

величин-

F(x) — неубывающая функция,

как правило, монотонно

возраста­

ющая в области возможных значений.

Фиксированное значение хр

случайной величины

X,

для

кото­

рого F(xp) = р, в теории вероятностей называют к в а н т и л ь

ю.

Стало быть, квантиль хр,

отвечающая вероятности р,

есть

значе­

ние X,

вероятность

попадания

левее которого Р{Х

<С хр]

=

р.

Д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м

з а к о. и о м распределения

не­

прерывной случайной величины называется функция*

/ (л-) =

dF (x)/dx,

f

(л-) > 0.

(2.3)

Очевидно, что

j"

/ (x)dx

=

F

(x).

(2.4)

•—CO

величины X в достаточно

малый

интервал единичной' длины, по­

строенный около точки х(х

<

X <

х + А, Д = 1). Поэтому диффе­

ренциальный

закон f(x) часто

называют п л о т н о с т ь ю

р а с ­

п р е д е л е н и я

в е р о я т н о с т е й .

Чтобы найти дифференциальный закон f(x) опытным путем, на­

до произвести

я

наблюдений

над

случайной величиной X.

Если

ределению

эмпирическая

плотность вероятности

/Э

(Л-) =

Ал. (х)/пАх,

(2.5)

где х — середина

подынтервала;

Ал

(х) — число наблюдений, по-

павших в

данный

подынтервал

X

Дд;

, X

,

ДдЛ

. Обычно п и N

2

+

2

выбирают так, чтобы 5 ^

Ал(лг) <

40.

Из формулы (2.3) вытекает следующее свойство плотности рас­

пределения

вероятностей:

]f(x)dx

=

F(oo) =

l.

(2.6)

Pi = Р(Х = ХІ] для всех і = 1,2,

п, (2.7)

• п

ство

(2.6) в этом

случае

принимает

вид

^ Р г =

1-

і = 1

* З д е с ь

п р е д п о л а г а е т с я ,

что

ф у н к ц и я

F

(х) д и ф ф е р е н ц и р у е м а

во

всей

о б л а с т и в о з м о ж н ы х

з н а ч е н и й

X; о б ы ч н о

это

в ы п о л н я е т с я

в б о л ь ш и н с т в е

п р а к т и ч е с к и х

з а д а ч .

Е с л и F {х) не

и м е е т

п р о и з в о д н ы х в о т д е л ь н ы х

т о ч к а х , то

э т о о г р а н и ч е н и е

н е п р и н ц и п и а л ь н о ,

и б о д а ж е

п р и

нем

п р а к т и ч е с к и

в с е г д а

у д а е т с я п о с т р о и т ь /

(х), д и ф ф е р е н ц и р у я

F

(х)

по

о б л а с т я м ,

где

с у щ е с т в у е т

п р о и з в о д н а я ,

и

и с п о л ь з у я н о р м и р о в к у

(2.6). В

п о с л е д н е м с л у ч а е

/ (*)

б у д е т

и м е т ь

р о в н о

с т о л ь к о

т о ч е к р а з р ы в а ,

в

с к о л ь к и х т о ч к а х

о т с у т с т в у е т

dF/dx.