Файл: Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов.pdf

Г л а в а 3.

О С Н О В Н Ы Е З А К О Н Ы Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Я С Л У Ч А Й Н Ы Х В Е Л И Ч И Н

§ 3.1. Законы распределения непрерывных случайных величин

Равновероятный закон. По этому закону распределяются по­ грешности измерений, связанные с округлением до ближайших целых значений (при считывании со шкал, при взвешивании в ус­ ловиях ограниченного количества мелких разновесок и т. п.). Он справедлив для отклонений параметров от номинальных значений в пределах полей допусков, связанных с погрешностями изготов­ ления, когда упомянутые отклонения вызываются следующими ус­ ловиями производства: а) наличием фактора, равномерно изменя­ ющегося во времени и доминирующего над совокупностью всех остальных (равномерная разлаДка оборудования, инструмента, равномерное ухудшение точности контрольных приборов и т. д.); б) использованием при изготовлении изделий большого числа раз­ личающихся по точности инструментов и оборудования или в слу­ чае смещения изделий многих партий, когда средние значения рас­ сматриваемого параметра для каждой партии равномерно распре­ деляются по заданному полю допуска [6].

Равновероятные дифференциальный и интегральный законы рас­ пределения имеют следующий вид:

Математическое ожидание (2.10), дисперсия (2.16) и среднеквадра­ тичное отклонение (2.17) соответственно принимают вид

М (X) = (a+b)/2- D (X) = (6 - а)2 /12; о = (Ь — а)12 V3.

Экспоненциальный закон. По экспоненциальному закону рас­ пределяется неотрицательная случайная величина — время работы изделия до отказа при условии, что отказы не связаны со старе­ нием, износом (а вызываются, допустим, случайными внешними факторами, такими, как внезапные чрезмерные увеличения меха­ нической, электрической, тепловой и |Щгочих ^нагрузок). Сущест-

венным здесь является то, что вероятность возникновения отказов, за период ДЛдолжна определяться только длиной этого промежут­ ка и не зависеть от предшествующего периода времени (от преды­ стории). Это часто выполняется для сложных технических систем, содержащих большое количество элементов [7, 8]. Вообще экспо­ ненциальное распределение реализуется во всех случаях, когда рассматриваемая случайная величина допускает следующую ма­ тематическую интерпретацию. На положительную ось (или пло­ скость, объем) случайным образом бросаются точки так, что сред­

Р и с . 2. Э к с п о н е н ц и а л ь н ы й з а к о н р а с п р е д е л е н и я , XY — Зк2.

нее число точек, попадающих на единицу длины, постоянно и рав­ но Я. Тогда случайная величина отрезка, на который не попало ни одной точки, будет распределена по экспоненциальному закону. Примером такой случайной величины может быть время между испусканием двух следующих друг за другом ос-частиц при радио­ активном распаде радия.

Дифференциальный закон для экспоненциально распределенной случайной величины X имеет вид (рис. 2)

(3.4).

(3.5)

Экспоненциальный закон обладает интересным свойством: для него математическое ожидание и среднее квадратическое откло­ нение совпадают:

Это обстоятельство часто помогает установить справедливость данного закона в конкретных практических случаях.

Нормальный закон (Гаусса). Большая распространенность нор­ мального закона на практике имеет под собой глубокую теорети­ ческую основу, которая выражена в центральной предельной тео­ реме А. М. Ляпунова. Сущность теоремы заключается в следующем. Если случайная величина Z может быть представлена в виде суммы достаточно большого числа п независимых (или слабо зависимых) случайных величин X,

каждая из которых сравнительно мало влияет на сумму (т. е. сре­ ди слагаемых нет доминирующих), то для большого класса случай­

здесь является то, что результат оказывается не зависящим от за­ конов распределения величин Xt. Если же известно, что Xt рас­ пределены по нормальным законам с М(Хг) = УИг и D(Xt) — oi, то даже в случае зависимости Xt между собой закон распределения величины Z будет нормальным при любом п и любых Mi, ait при­ чем

зиции нормальных законов (т. е. при сложении независимых слу­ чайных величин, распределенных нормально) получится снова нор­ мальный закон. Законы, обладающие этим свойством; называются у с т о й ч и в ы м и .

ная наработка ряда восстанавливаемых изделий до капитального ремонта, погрешности изготовления (отклонения. параметров от

Логарифмически нормальный закон. Логарифмически нормаль­ ному закону подчиняются величины напряжений и относительных удлинений при разрушении для некоторых легированных сталей, ис­ пользуемых в реакторостроении [15]; размеры частиц, получаю­ щихся в результате дробления [16, 17]; наработка до отказа у не­ которых невосстанавливаемых изделий, например электронных ламп определенных типов; время восстановления (ремонта или за­ мены) отказавшего устройства [18]; некоторые случайные величи­ ны, встречающиеся в экономике [19]. Из центральной предель­ ной теоремы А. М. Ляпунова [см. формулу (3.7)] следует, что при

где М и о — математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормальной случайной величины Y. Воспользовав­ шись формулой (2.30), получаем логарифмически нормальный за­ кон для случайной величины X (рис. 4)

Гамма-распределение. По этому закону распределяются время работы изделия до отказа, если этот отказ обусловлен усталостной прочностью материала [8І; наработка до отказа системы, состоя­ щей из невосстанавливаемого изделия (с экспоненциальным за­ коном распределения наработки) и дублирующего его, аналогич­ ного, но в. нормальных условиях ненагруженного изделия («холод­ ный резерв»); время работы между несмежными отказами (первым

и третьим, первым и четвертым и т. д.) при условии, что наработка

до очередного отказа (смежного) распределена экспоненциально