Файл: Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 203
Скачиваний: 1
Медиана и мода. М е д и а и а |
численно равна |
такому значе |
||||
нию случайной величины Me(yY), для которого |
|
|
||||
|
Р {X > Me (X)} = Р {X < Me (X)} = |
1/2. |
|
|||
М о д а — наиболее вероятное |
значение случайной |
величины, |
||||
при |
котором |
функция дифференциального закона имеет макси |
||||
мум: /[Мо(Л/)1 = max, если X непрерывна, или Р{Х = |
Мо(Х)} = |
|||||
= max, если |
А' дискретна. |
|
|
|
||
Дисперсия |
и среднее |
квадратическое отклонение. |
Д и с п е р |
|||
с и я |
— мера |
разброса |
значений |
случайной величины около ее |
||
математического ожидания. Численно она равна математическому
ожиданию квадрата |
разности между самой |
случайной |
величиной |
и ее математическим |
ожиданием: |
|
|
D (X) = М [X — М (Х)Г- = М (X2) |
— 1М (Х)1\ |
(2.16) |
|
На практике для характеристики разброса значений случайной величины около ее математического ожидания используют также корень из дисперсии
|
|
|
a = VD, |
|
|
(2.17) |
||
называемый |
с р е д н и м |
к в а д р а т и ч е с к и м |
о т к л о |
|||||
н е н и е м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
На основе |
формул (2.11) — (2.13) и |
(2.16) легко получить сле |
||||||
дующие правила для вычисления дисперсий: |
|
|
||||||
если с — константа, то |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
D (с) = |
0; |
|
|
(2.18) |
|
|
|
D (сХ) = c2D (X); |
|
(2.19) |
||||
D |
(X + |
Y) = D (X) |
+ D (Y) |
+ 2 cov (XY). |
|
(2.20) |
||
Из последнего правила следует, что для независимых |
случайных |
|||||||
величин |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
\ |
т |
|
|
|
|
|
|
|
2 * J = |
2 |
|
|
(2.21) |
|
|
|
k=\ |
I |
k=\ |
|
|
|
|
Асимметрия и эксцесс. Эти две числовые характеристики |
зако |
|||||||
нов распределения |
случайных |
величин |
обычно используются |
для |
||||
оценки отличия кривой распределения /(х) от так называемого нормального закона (подробно о нем см. § 3.1). Как асимметрия, так и эксцесс являются безразмерными величинами, определяе
мыми соответственно |
по формулам: |
А = |
\М[Х-М{Х)\*^^; |
|
(2.22) |
Е = — М [Х—М (X)]"— 3 = -Ні- —3.
где ц т |
— центральный момент m-го порядка |
случайной величины |
X. Для |
всех симметричных распределений |
А = 0. Если А > 0 |
(положительная асимметрия), то длинная ветвь плотности рас
пределения |
лежит |
правее М(Х), при А < |
0 — левее. Эксцесс |
равен нулю |
только |
для нормального закона. |
Эксцесс Е > 0 по |
казывает, что кривая распределения имеет более острую и высо кую вершину, чем нормальный закон. Отрицательный эксцесс ука зывает на более плосковершинную кривую.
§ 2.3. Определение числовых характеристик корреляции и регрессии
Стохастическая связь. Между величинами Хн Y возможна связь двоякого рода: 1) функциональная, когда конкретному значению X = х соответствует одно единственное значение Y = у (много значные функции не будем рассматривать); 2) стохастическая или вероятностная, когда одному значению X = х соответствует мно жество возможных значений Y, распределенных по определенному
Р и с . 1. Ф у н к ц и о н а л ь |
н а я |
(1) |
и с т о х а с т и ч е с к а я (2) с в я з и д в у х |
|
в е л и ч и н X и |
Y |
(АВ |
—• л и н и я |
р е г р е с с и и ) . |
вероятностному закону f{ylx), |
зависящему |
от этого х (рис. 1). Эта |
||
связь проявляется в том, что при изменении х меняется закон рас
пределения |
f{y/x). |
|
|
|
Стохастическую связь |
характеризуют |
ф у н к ц и е й |
р е г |
|
р е с с и и |
Y по X: |
|
|
|
|
~~у{х) = |
М (Y/x) =]yf |
(у/х) dy. |
(2.23) |
Это неслучайная функция, в каждой точке х равная условному математическому ожиданию случайной величины У (на рис. 1 — кривая А В).
Большое значение для практики имеет случай (он встречается чаще других), когда функция регрессии линейна. Кстати, такой она будет, если случайные величины X и Y распределены по нор
мальному закону (закону |
Гаусса, |
подробнее о нем см. § 3.1). Ли |
||||||
нейная функция регрессии имеет следующий вид: |
|
|
||||||
|
~у (х) = М (Y) + |
г {у/х) їх — М (X)], |
|
(2.24) |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
Ш |
= р ^ |
^ |
Ш |
. ; |
(2.25) |
|
|
|
|
Ох |
|
°х |
|
и Y; |
|
°".v. |
— средние квадратические |
отклонения величин |
X |
|||||
соу(ХУ) = М{\Х — M(X))IY |
— М (К)]} — к о в а р и а ц и я,, |
раз |
||||||
мерная |
характеристика |
(или момент) |
связи случайных |
величин. |
||||
Ковариация тем больше, |
чем сильнее |
связь между X и Y. |
Если |
|||||
cov(XF) = 0, то случайные величины X и У некоррелированы.
Для независимых случайных величин всегда cov = 0, но обратное |
||||
не верно. |
|
|
|
|
К о э ф ф и ц и е н т , |
к о р р е л я ц и и |
(нормированная ко |
||
вариация) |
р = С 0 У |
^ ^ |
— безразмерная |
характеристика связи |
случайных |
величин |
X |
и У (—1 <; р ^ 1). Чем теснее и ближе к |
|
линейной |
эта связь, тем | р | ближе к единице. Для случайных ли |
||||||||
нейно связанных величин X и |
У = |
аХ + Ь, так как D(Y) = |
|||||||
= a-D{X), |
а СОУ(ХУ) = |
|
aD(X), |
|
|
|
|
|
|
|
" — |
aD |
(X) |
- |
а |
• = |
і . |
. . |
|
|
І a \ax a* |
|
(sign a) • 1, |
||||||
|
|
|
\a\ |
|
|
|
|||
т. e. p = 1 со знаком при a.
К о э ф ф и ц и е н т |
р е г р е с с и и |
У по |
X |
г(у/х) — |
это |
тангенс угла наклона |
к оси х прямой регрессии |
у(х) |
(2.24), т. |
е., |
|
грубо говоря, средней прямой, проходящей вдоль облака опытных точек* на плоскости ху через его центр тяжести. Для линейно-
зависимых случайных величин X и У = аХ + |
b г (у/х) — а. |
||||||
Зная r(ylx) |
и М(Х), М (У) — центр тяжести |
облака — можно |
|||||
прогнозировать |
(в среднем) величину У для заданного |
значения х. |
|||||
Зная р(х, у), |
можно |
судить, |
насколько связь между |
X |
и У близка |
||
к линейной |
(|p| - » - |
1) или |
же насколько эта связь |
вообще суще |
|||
ственна (р - > 0). По ковариации СОУ(ХУ) Ф 0 трудно судить о зна чимости связи, поскольку, изменив размерность, ковариацию мож но сделать сколь угодно большой.
* И м е ю т с я в в и д у т о ч к и , п о л у ч е н н ы е п у т е м н е п о с р е д с т в е н н о г о и з м е р в ' н и я н а о п ы т е в е л и ч и н ы Y п р и р а з л и ч н ы х з н а ч е н и я х X.
§ 2.4. Определение числовых характеристик и законов распределения функций случайных величин
Числовые характеристики функций случайных аргументов. Ес ли случайная величина X имеет дифференциальный закон рас пределения f(x), то для любой функции ф(Х) математическое ожи дание и дисперсия соответственно равны:
М [ф (X)] = Мщ = |
] Ф (*) / (*) dx; |
|
|
— о о |
(2.26) |
||
со |
оо |
||
|
|||
D [ Ф (X)] = J [<р (А-) — М ф 1 2 / (х) dx = |
J V (х) f (х) dx — M<р- |
|
|
Приближенное вычисление числовых характеристик методом линеаризации. Метод сводится к тому, что функцию Ф(Х) разла гают в ряд Тейлора в окрестности точки х° = М(Х) и сохраняют только члены первого порядка
Ф (X) ^ ср Ш (X)] + Ф' Ш (X)] -[X — М (X)].
К полученной линейной функции применяют известные правила (2.11), (2.12), (2.21) и получают:
М [ф (X)] =ё ф [М (X)]; |
|
|
| |
£ [ ф ( Х ) ] ^ { Ф ' Ш (X)]}2 D (X); а[ср (х)]^\ц>' Ш ( Х ) ] | а ( Х ) . | |
(2.27) |
||
Для функции многих случайных аргументов |
cp(Xlt |
Х 2 , |
Х„) |
имеем: |
|
|
|
М [ф ( Х ъ Х 2 , . . , Х„)] ~ ф [М (X,), М(Х2),М |
(Xn )]; |
j |
|
™ « 2 № ; ) D ™ + |
|
| |
( 2 , 8 , |
+Ї І І + 1 ( £ ) ( £ Н < * ' * А
где все производные йф°/дХй вычисляются в точке f*° - М ( Х ^ *° = М (Х2 ), .... = М (*„)},
на что указывает индекс 0; cov(Xf t X,) = pw 0(Xf e )a(X,) [см формулу (2.25)]. Если случайные величины Хх , Хп некоррелированы, т. е. р,а = 0, то дисперсия
d № ( х „ х „ x j ] = <TJ а 2 ( U ) ' C та =
(2.29)
k= I
15
Иногда в литературе эту формулу называют з а к о н о м |
н а к о п |
л е н и я п о г р е ш н о с т и . |
|
Закон распределения монотонной функции одного случайного |
|
аргумента. Пусть X — непрерывная случайная величина, |
распре |
деленная в интервале [а, Ь] по закону f(x). В случае монотонно воз
растающей или убывающей на [а, |
Ь] функции |
Y = ф(Х) диффе |
ренциальный закон для Y имеет вид |
|
|
dtp-1 |
(у) |
(2.30) |
|
I dyidx |
|
dy |
I |
|
где x — ф 1(y) — функция, обратная у = ф(х).
Закон распределения функции двух случайных аргументов.
Если функция Z = Ф(Х, Y), где ( X , Y) — система двух случайных величин, распределенная по закону f(x, у), то интегральный закон, согласно формуле (2.1),
G (г) = Р {Z < z) = Р {Ф (XY) < z) = Р {(XY) Є S).
Здесь область S представляет собой ту часть плоскости х, у, на которой Ф(ХУ) •< г. Отсюда
G (z) = J J / (х, г/) dwfy и g (г) = G' (г). |
(2.31) |
Величина г в выражение для G(z) входит неявно, через пределы ин
тегрирования. |
|
|
|
|
|
|
Композиция |
законов. |
Закон |
распределения суммы |
независи |
||
мых |
случайных |
величин |
называется к о м п о з и ц и е й |
з а к о |
||
н о в |
р а с п р е д е л е н и я |
слагаемых. Известно, что если |
X |
|||
и У независимы, то fix, |
у) — Д(л:) Д(г/) [1]. Подставляя |
это fix, |
у) |
|||
в формулу (2.31), получаем выражение для композиции двух зако нов, или плотность распределения вероятностей случайной вели
чины Z = |
X + Y: |
|
|
|
|
|
|
8 (г) = |
[ |
Д (*) Д (z — х) dx, |
|
|
|
|
—СО |
(2.32) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
оо |
|
|
или |
g{z) |
= |
l |
Д (z — у) Д (у) dy. |
Интегралы |
такого |
типа |
называются с в е р т к о й двух функций |
||
и часто обозначаются символом Д * Д.